Факультет дистанционного обучения направление 38 03 01 Экономика

Факультет дистанционного обучения, направление 38. 03. 01 «Экономика» , профиль «Финансы и кредит» Дисциплина МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ Кафедра математических методов в экономике

СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗЛП 1. Введение. 2. Определение К-матрицы в КЗЛП 3. Переход от одной К-матрицы КЗЛП к другой К-матрице 4. Симплекс-разность К-матрицы КЗЛП 5. Способ построения опорного плана, более близкого к оптимальному 6. Критерий оптимальности опорного плана 7. Критерий отсутствия конечного решения 8. Алгоритм симплексного метода 9. Пример 1 10. Пример 2

Симплекс-метод решения ЗЛП Пусть требуется решить задачу (1) Или (2) Симплекс-метод 7

Так как решением задачи (2) является крайняя точка множества Р ее допустимых решений, или, что то же самое, неотрицательное базисное решение системы линейных уравнений , то метод решения задачи (1) должен содержать 4 момента: 1) обоснование способа перехода от одного опорного плана (Кматрицы) к другому; 2) указание признака оптимальности, позволяющего проверить, является ли данный опорный план оптимальным; 3) указание способа построения нового опорного плана, более близкого к оптимальному; 4) указание признака отсутствия конечного решения. Симплекс-метод 8

Определение К-матрицы в КЗЛП Рассмотрим каноническую задачу линейного программирования (КЗЛП): Будем считать, что ранг матрицы А равен m, причем m<n. Запишем КЗЛП в векторном виде: (*) где – j-й столбец матрицы А. Дадим одно из определений опорного плана. ОП ЗЛП будем называть такой план , что векторы , входящие в разложение со строго положительными , линейно независимы. К-матрицей КЗЛП будем называть расширенную матрицу системы линейных уравнений, равносильной системе (*), содержащую единичную подматрицу на месте первых n своих столбцов и все элементы (n+1)-го которой неотрицательны. Число К-матриц конечно и не превышает. Каждая К-матрица определяет ОП КЗЛП и наоборот. АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА 9

Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой К-матрице. Пусть известна К-матрица (3) Обозначим через вектор номеров базисных (единичных) столбцов матрицы , - вектор, компоненты которого есть базисные компоненты опорного плана, определяемого матрицей , и могут быть отличны от нуля. Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 10

Остальные (n - m) компонент опорного плана, определяемого матрицей , равны нулю. Очевидно, что векторы и полностью задают опорный план, определяемый матрицей Например, пусть: , тогда ; опорный план, определяемый и, следовательно, , имеет вид: Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 11

Итак, пусть К-матрица (3) определяет невырожденный опорный план Выберем в матрице столбец , не принадлежащий единичной подматрице, т. е. , , и такой, что в этом столбце есть хотя бы один элемент больше нуля. Пусть матрицей новую матрицу . Считая направляющим элементом, совершим над один шаг метода Жордана - Гаусса. В результате получим , в которой стал единичным, но которая может и не быть К-матрицей, т. к. среди величин могут быть отрицательные. Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 12

Теорема 1. Пусть в каком-либо столбце К-матрицы один строго положительный элемент ( , есть хотя бы ). Тогда с помощью одного шага метода Жордана-Гаусса можно построить новую К-матрицу , выбрав направляющий элемент из условия Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 13

Доказательство: Пусть известна К-матрица задачи линейного программирования, которая определяет невырожденный опорный план , , следовательно, Остальные n-m компонент опорного плана равны нулю. Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 14

Возьмем в матрице столбец К , не принадлежащий единичной подматрице ( , ) и такой, что в этом столбце есть хотя бы один отличный от нуля элемент. Пусть. Считая направляющим элементом, совершим над матрицей один шаг метода Жордана-Гаусса. В результате получим новую матрицу , элементы которой выражаются через элементы матрицы следующим формулам: АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА по 15

(1*) (2*) (3*) Таким образом, в результате одного шага метода Жордана. Гаусса мы получили L-матрицу ЗЛП, причем компоненты вектора выражаются по следующим формулам: (4*) Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 16

Однако матрица как среди величин может и не быть К-матрицей ЗЛП, так могут быть отрицательные. Получим условия, которым должен удовлетворять направляющий элемент , чтобы. Из следует, что тогда и только тогда, когда (4) Это первое условие, которое мы должны наложить на выбор направляющего элемента. Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 17

Из следует, что тогда и только тогда, когда (5) Условие (5) выполняется для всех , Перепишем неравенство (5) для строго положительных в виде (6) Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 18

Очевидно, неравенство (6) будет выполняться для всех если выбрать таким, что , (7) Если минимум в соотношении (7) достигается при одном значении индекса i, то , т. е. матрица определяет в этом случае план ЗЛП. Если минимум в соотношении (7) достигается при нескольких значениях индекса i , то Тогда при определяет вырожденный опорный план ЗЛП. , т. е. матрица (ч. т. д. ) Переход от одной К-матрицы ЗЛП к другой 19

Симплекс-разность К-матриц ЗЛП. Изменение функции при переходе от одной К-матрицы к другой. Определение. Величину , где - вектор, компонентами которого являются коэффициенты линейной функции при базисных ( опорного плана, определяемого матрицей симплекс - разностью матрицы Симплекс-разность К-матриц ЗЛП ) переменных , назовем j-й . 20

Пусть и и - опорные планы, определяемые матрицами соответственно. Тогда очевидно, что и , где К-номер столбца матрицы из , вводимого в базис при получении. Симплекс-разность К-матриц ЗЛП 21

Способ построения опорного плана (матрицы ), более близкого к оптимальному, чем Теорема 2. Пусть в матрице ( , есть , и в столбце ) есть хотя бы один строго положительный элемент. Тогда от матрицы можно перейти к матрице , причем . Способ построения опорного плана 22

Критерий оптимальности опорного плана Теорема 3 Пусть все симплекс - разности матрицы неотрицательные. Тогда опорный план , определяемый матрицей , является оптимальным. Критерий оптимальности опорного плана 23

Критерий отсутствия конечного решения. Теорема 4 Пусть в матрице есть , ив столбце ( , ) нет ни одного положительного элемента. Тогда ЗЛП (1) не имеет конечного решения. Критерий отсутствия конечного решения 24

Алгоритм симплекс-метода Пусть известна исходная К-матрица определяющая исходный опорный план ЗЛП, Последовательно строятся К-матрицы ЗЛП, пока не выполнится критерий оптимальности или критерий, позволяющий убедиться в отсутствии конечного решения. Рассмотрим алгоритм S-ой итерации симплекс-метода. В начале S-ой итерации имеем К-матрицу ЗЛП, определяющую опорный план Алгоритм симплекс-метода 25

Шаг 1. Вычисляем для столбцов матрицы , -разности и находим номер К из условия симплекс Шаг 2. Если , то опорный план является оптимальным, а есть оптимальное значение линейной формы , иначе переходим к шагу 3 Шаг 3. Если то ЗЛП не имеет конечного решения. Иначе находим номер L из условия ; направляющий элемент на S-ой итерации метода есть элемент Алгоритм симплекс-метода 26

Шаг 4. Вычисляем компоненты вектора : Шаг 5. Производим один шаг метода Жордана-Гаусса с направляющим элементом . Присваиваем переменной S алгоритма значение S+1 и переходим к шагу 1. Алгоритм симплекс-метода 27

Пример 1 • Симплекс-методом решить ЗЛП: (1) (2) ПРИМЕР № 1 28

• Приводим систему линейных неравенств (2) к каноническому виду, вводя в каждое неравенство дополнительную переменную , . • Получим систему линейных уравнений: (3) ПРИМЕР № 1 29

• Целевая функция (1) будет иметь вид • Расширенная матрица системы линейных уравнений (3) является исходной К -матрицей ЗЛП, которая определяет исходный опорный план: ПРИМЕР № 1 30

• Введём следующие обозначения: S-номер итерации • i-номера строк таблицы • • • -номера столбцов, образующих единичную подматрицу -коэффициенты целевой функции при столбцах, образующих единичную подматрицу -соответствуют переменным задачи -сначала содержит правые части системы уравнений , в конце алгоритма - искомые значения переменных -для вычисления значений ПРИМЕР № 1 31

Результаты последовательных итераций симплексалгоритма оформим в виде симплекс-таблицы. 32

Пересчёт таблицы

• На второй итерации S=2, все опорный план определяемый К-матрицей следовательно, , оптимальный, • Оптимальное значение линейной формы равно: ПРИМЕР № 1 34

Пример 2 • Симплекс-методом решить ЗЛП: (4) (5) § Приводим ЗЛП (4 -5) к каноническому виду (6) ПРИМЕР № 2 35

Результаты последовательных итераций запишем в симплекс-таблицу. ПРИМЕР № 2 36

• Из симплекс-таблицы при S=2 следует, что согласно шагу 3 симплекс-алгоритма, данная ЗЛП не имеет конечного решения, т. к. отрицательная симплекс-разность соответствует столбцу , все элементы которого неположительны. • Итак, ПРИМЕР № 2 37

Список литературы 1. Мастяева И. Н. , Горемыкина Г. И. , 2. 3. Семенихина О. Н. , Методы оптимизации: линейные модели. М. : МЭСИ, 2015. Мастяева И. Н. , Горемыкина Г. И. , Семенихина О. Н. , Исследование операций и методы оптимизации. М. : МЭСИ, 2015. Мастяева И. Н. , Горемыкина Г. И. , Семенихина О. Н. , Методы оптимальных решений. М. : Курс, 2016.