Этот метод заключается в последовательном исключении переменных из

Скачать презентацию Этот метод заключается в последовательном исключении переменных из Скачать презентацию Этот метод заключается в последовательном исключении переменных из

2.2.ppt

  • Размер: 529.0 Кб
  • Автор: Шамиль Имамов
  • Количество слайдов: 19

Описание презентации Этот метод заключается в последовательном исключении переменных из по слайдам

Этот метод заключается в последовательном исключении переменных из системы уравнений.  1.  МЕТОДЭтот метод заключается в последовательном исключении переменных из системы уравнений. 1. МЕТОД ГАУССА

Дана система из трех уравнений: Матрица системы будет иметь вид:  043 432 632Дана система из трех уравнений: Матрица системы будет иметь вид: 043 432 632 321 321 xxx xxx 413 132 321 Если включить в нее столбец свободных членов, то она будет называться расширенной:

Исключим переменную x 1 из всех уравнений,  кроме первого.  Это эквивалентно получениюИсключим переменную x 1 из всех уравнений, кроме первого. Это эквивалентно получению нулей во 2 -й и 3 -ей строке первого столбца. Для этого умножим первое уравнение на (-2) и (-3) и сложим соответственно, со 2 -м и 3 -м уравнением: 0 4 6 413 132 321 )3)(2(

   18 8 6 1350 710 321 Теперь исключим переменную x 2 18 8 6 1350 710 321 Теперь исключим переменную x 2 из третьего уравнения (получим ноль в 3 -ей строке 2 -го столбца). Для этого умножим 2 -е уравнение на (-5) и сложим его с третьим: )5(

Запишем полученную систему уравнений: Последовательно находим:   2222 87 632 321 x xxЗапишем полученную систему уравнений: Последовательно находим: 2222 87 632 321 x xx xxx 1871223 xxx 1632 11 xx Ответ: 1 11 321 xx x

2.  МЕТОД КРАМЕРА Пусть дана система (1).  Рассмотрим частный случай,  когда2. МЕТОД КРАМЕРА Пусть дана система (1). Рассмотрим частный случай, когда число неизвестных равно числу уравнений. Найдем определитель матрицы системы: nnnn nn aaa aaa A. . .

Пусть Δ J –  определитель матрицы,  полученной из матрицы А заменой jПусть Δ J – определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j –го столбца столбцом свободных членов: Тогда, если определитель матрицы системы не равен 0, то система уравнений (1) имеет единственное решение, которое определяется по формулам: nnnn nn aab aab. . . 2 2222 1121 1 nnnn nn aba aba. . . 1 2221 1111 2. . .

). . . 2, 1( njx j j  ). . . 2, 1( njx j j

Решим систему из предыдущего примера. Матрица системы имеет вид:   413 132 321Решим систему из предыдущего примера. Матрица системы имеет вид: 413 132 321 Находим ее определитель:

Найдем определители Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 : 22326012072 410 134Найдем определители Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 :

Используем формулы Крамера: Ответ:  1 11 321 xx x 1 22 22 11Используем формулы Крамера: Ответ: 1 11 321 xx x 1 22 22 11 x 1 22 22 2 2 x 1 2222 33 x

Замечание: Если Δ=0 при том, что хотя бы один из определителей Δ J неЗамечание: Если Δ=0 при том, что хотя бы один из определителей Δ J не равен нулю, то система (1) несовместна. Если Δ=0 и все Δ J тоже равны нулю, то система неопределенная, так как она имеет бесконечное множество решений.

3.  МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Пусть дана система (1).  Снова рассмотрим случай, 3. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Пусть дана система (1). Снова рассмотрим случай, когда число неизвестных равно числу уравнений. В матричной форме система имеет вид: BXA Пусть существует обратная матрица А -1 к матрице системы А.

Тогда решением матричного уравнения будет матрица-столбец Х: Проверяем: BAX 1 BBEBAA 1 Тогда решением матричного уравнения будет матрица-столбец Х: Проверяем: BAX

Решим систему из предыдущего примера.    0 4 6 413 132 321Решим систему из предыдущего примера. 0 4 6 413 132 321 BA Матрица системы и столбец свободных членов имеют вид: Найдем обратную матрицу А -1 : Ранее был найден определитель матрицы А:

Находим алгебраические дополнения для  каждого элемента матрицы А : 11112 41 13 )1(11Находим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А : 11112 41 13 )1(11 2 11 MA 5)38( 43 12 )1(12 3 12 MA 792 13 32 )1(13 4 13 MA 11)38( 41 32 )1( 213 21 M

1394 43 31 )1(22 4 22 MA 5)61( 13 21 )1(23 5 23 MA1394 43 31 )1(22 4 22 MA 5)61( 13 21 )1(23 5 23 MA 1192 13 32 )1(31 4 31 MA 7)61( 12 31 )1( 325 32 MA 143 32 21 )1(33 6 33 M

Составляем матрицу из найденных алгебраических дополнений:   1711 51311 7511 Транспонируем ее иСоставляем матрицу из найденных алгебраических дополнений: 1711 51311 7511 Транспонируем ее и делим на определитель. Получаем обратную матрицу: 157 7135 111111 T

Находим решение системы уравнений: Ответ:  1 11 321 xx x   Находим решение системы уравнений: Ответ: 1 11 321 xx x 0 4 6 157 7135 111111 22 11 BAX 1 1 1 22 22 1 0)1(456)7( 074)13(65 0)11(4116)11(