Этот метод заключается в последовательном исключении переменных из
2.2.ppt
- Размер: 529.0 Кб
- Автор: Шамиль Имамов
- Количество слайдов: 19
Описание презентации Этот метод заключается в последовательном исключении переменных из по слайдам
Этот метод заключается в последовательном исключении переменных из системы уравнений. 1. МЕТОД ГАУССА
Дана система из трех уравнений: Матрица системы будет иметь вид: 043 432 632 321 321 xxx xxx 413 132 321 Если включить в нее столбец свободных членов, то она будет называться расширенной:
Исключим переменную x 1 из всех уравнений, кроме первого. Это эквивалентно получению нулей во 2 -й и 3 -ей строке первого столбца. Для этого умножим первое уравнение на (-2) и (-3) и сложим соответственно, со 2 -м и 3 -м уравнением: 0 4 6 413 132 321 )3)(2(
18 8 6 1350 710 321 Теперь исключим переменную x 2 из третьего уравнения (получим ноль в 3 -ей строке 2 -го столбца). Для этого умножим 2 -е уравнение на (-5) и сложим его с третьим: )5(
Запишем полученную систему уравнений: Последовательно находим: 2222 87 632 321 x xx xxx 1871223 xxx 1632 11 xx Ответ: 1 11 321 xx x
2. МЕТОД КРАМЕРА Пусть дана система (1). Рассмотрим частный случай, когда число неизвестных равно числу уравнений. Найдем определитель матрицы системы: nnnn nn aaa aaa A. . .
Пусть Δ J – определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j –го столбца столбцом свободных членов: Тогда, если определитель матрицы системы не равен 0, то система уравнений (1) имеет единственное решение, которое определяется по формулам: nnnn nn aab aab. . . 2 2222 1121 1 nnnn nn aba aba. . . 1 2221 1111 2. . .
). . . 2, 1( njx j j
Решим систему из предыдущего примера. Матрица системы имеет вид: 413 132 321 Находим ее определитель:
Найдем определители Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 :
Используем формулы Крамера: Ответ: 1 11 321 xx x 1 22 22 11 x 1 22 22 2 2 x 1 2222 33 x
Замечание: Если Δ=0 при том, что хотя бы один из определителей Δ J не равен нулю, то система (1) несовместна. Если Δ=0 и все Δ J тоже равны нулю, то система неопределенная, так как она имеет бесконечное множество решений.
3. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Пусть дана система (1). Снова рассмотрим случай, когда число неизвестных равно числу уравнений. В матричной форме система имеет вид: BXA Пусть существует обратная матрица А -1 к матрице системы А.
Тогда решением матричного уравнения будет матрица-столбец Х: Проверяем: BAX
Решим систему из предыдущего примера. 0 4 6 413 132 321 BA Матрица системы и столбец свободных членов имеют вид: Найдем обратную матрицу А -1 : Ранее был найден определитель матрицы А:
Находим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А : 11112 41 13 )1(11 2 11 MA 5)38( 43 12 )1(12 3 12 MA 792 13 32 )1(13 4 13 MA 11)38( 41 32 )1( 213 21 M
1394 43 31 )1(22 4 22 MA 5)61( 13 21 )1(23 5 23 MA 1192 13 32 )1(31 4 31 MA 7)61( 12 31 )1( 325 32 MA 143 32 21 )1(33 6 33 M
Составляем матрицу из найденных алгебраических дополнений: 1711 51311 7511 Транспонируем ее и делим на определитель. Получаем обратную матрицу: 157 7135 111111 T
Находим решение системы уравнений: Ответ: 1 11 321 xx x 0 4 6 157 7135 111111 22 11 BAX 1 1 1 22 22 1 0)1(456)7( 074)13(65 0)11(4116)11(