Если в точке экстремума существует производная, то она

Этому же числу f’(p) равны односторонние пределы. Так как з-точка минимума f,то в некоторой

Таким образом, f’(p)≥0 и f’(p)≤0. Следовательно f’(p)=0. Если p=точка максимума f, то рассуждения

Точки экстремума функции надо искать только там, где f'=0 или f’ не существует. Необходимый

Если в точке p производная меняет знак с минуса на плюс, то p –

Пусть функция f непрерывна в точке p. Тогда Если f’<0на (a,p) и f’>0 на

Так как f’<0 на (a,p) и а непрерывна в точке p, то f убывает

Так как f’>0на (p,b) и f непрерывна в точке p, то f возрастает на

Доказано, что при любом x≠p из (a,p) Выполнено неравенство f(x)> f(p), т.е. функция а

Скачать презентацию Если в точке экстремума существует производная, то она

134-teoremy_i_dokazatelystva_2.pptx

Количество слайдов: 12

>Если в точке экстремума существует производная, то она равна нулю Необходимый признак экстремума Если в точке экстремума существует производная, то она равна нулю Необходимый признак экстремума

>Этому же числу f’(p) равны односторонние пределы. Так как з-точка минимума f,то в некоторой Этому же числу f’(p) равны односторонние пределы. Так как з-точка минимума f,то в некоторой окрестности U точки p числитель дроби f(x) – f(p)≥0 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

>Таким образом, f’(p)≥0 и f’(p)≤0. Следовательно f’(p)=0. Если p=точка максимума f, то рассуждения Таким образом, f’(p)≥0 и f’(p)≤0. Следовательно f’(p)=0. Если p=точка максимума f, то рассуждения аналогичны. Необходимый признак экстремума

>Точки экстремума функции надо искать только там, где f'=0 или f’ не существует. Необходимый Точки экстремума функции надо искать только там, где f'=0 или f’ не существует. Необходимый признак экстремума

>Если в точке p производная меняет знак с минуса на плюс, то p – Если в точке p производная меняет знак с минуса на плюс, то p – точка минимума Если в точке p производная меняет знак с плюса на минус, то p – точка максимума Достаточный признак экстремума

>Пусть функция f непрерывна в точке p. Тогда Если f’<0на (a,p) и f’>0 на Пусть функция f непрерывна в точке p. Тогда Если f’<0на (a,p) и f’>0 на (p,b), то в точке p функция f имеет минимум; Если f’>0 на (a,p) и f’<0 на (p,b), то функция f в точке pимеет максимум Достаточный признак экстремума

>Так как f’<0 на (a,p) и а непрерывна в точке p, то f убывает Так как f’<0 на (a,p) и а непрерывна в точке p, то f убывает на (a,p], и поэтому для любого xє(a,p) выполнено неравенство f(x)>f(p). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

>Так как f’>0на (p,b) и f непрерывна в точке p, то f возрастает на Так как f’>0на (p,b) и f непрерывна в точке p, то f возрастает на [p,b), и поэтому для любого xє(a,p) выполнено неравенство f(x)>f(p). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

>Доказано, что при любом x≠p из (a,p) Выполнено неравенство f(x)> f(p), т.е. функция а Доказано, что при любом x≠p из (a,p) Выполнено неравенство f(x)> f(p), т.е. функция а в точке p имеет минимум ДОКАЗАТЕЛЬСТВО