Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка

Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то функция возрастает на этом промежутке.

Рассмотрим значения х 1 и х 2 , принадлежащие промежутку Х. Пусть 12 xx Для функции f(x) на отрезке [x 1 ; x 2 ] выполняется теорема Лагранжа: )()( 1212 xxfxfxf где 21 xx Т. е. ξ принадлежит промежутку, на котором производная функции положительна:

и правая часть последнего равенства тоже будет положительна: 0)()(12 xxf 0)(f Тогда левая часть тоже будет положительна: 0)()(12 xfxf То есть )()( 12 xfxf Получили, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Это означает, что функция возрастает.

Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.

Если касательные к кривой на некотором промежутке направлены под острыми углами к оси х, то функция возрастает. если они направлены под тупыми углами, то функция убывает.

xy xy

Найти интервалы монотонности функции 34 2 xxy

Найдем производную этой функции: 42)34( 2 xxxy Исследуем знак этой производной: 2042 xприxy Следовательно, функция будет возрастать на промежутке ); 2( Функция будет убывать на промежутке )2; (