ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Измерительные приборы • высокоточные (прецизионные), • точные • технические Измерения и их классификация • Равноточные • Неравноточные число избыточных величин k = n – t где n - число всех измеренных величин t - число необходимых величин

Погрешности измерений Δ = l – X - истинная погрешность измерения l - результат измерения X - истинное значение измеряемой величины • Инструментальные Δ = Δ'+ Δ". погрешности • Личные • Δ' - Систематическая погрешности погрешность • Внешние • Δ"- Случайная погрешности погрешность • Методические погрешности

Свойства случайных погрешностей измерений Δ = l – X - случайная погрешность • при определенных условиях измерений случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела • малые по абсолютной величине погрешности в данном ряду измерений появляются чаще больших • одинаковые по абсолютной величине положительные и отрицательные погрешности в данном ряду измерений равновозможны • среднее арифметическое из всех случайных погрешностей данного ряда равноточных измерений одной и той же величины при неограниченном возрастании числа измерений п стремится к нулю (i= 1, 2, …, ∞)

Принцип арифметической средины Пусть некоторая величина, истинное значение которой равно X, измерена п раз. При этом получены значения l 1, l 2, … , ln. Δ 1 = l 1 – X 1 ; Δ 2 = l 2 – X 2 ; …………. учитывая Δn = ln – Xn. (i= 1, 2, …, ∞) - среднее арифметическое

Средняя квадратическая погрешность Формула Гаусса Формула Бесселя (i = 1, 2, …, n). где представим в виде квадрат средней квадратической погрешности арифметической средины Если наблюдения равноточны, то можно положить m 1=m 2=…=mn=m Тогда М 2 = т2/п, откуда

средние квадратические ошибки самих средних квадратических ошибок имеют такие значения

Пример. В результате шести измерений длины линии на местности получены данные Измеренное δ, см δ 2, см 2 значение линии, м 56, 25 +1 1 56, 23 -1 1 56, 23 0 56, 26 +2 4 56, 23 -1 1 =56, 24 Σ=0 Σ=8

Предельная, абсолютная и относительная погрешности Δпр = 2 m Пример. Дано т = 0, 11 м; l = 212, 43 м. Δпр = 3 m Δпр = 0, 22 м; Δотн = 0, 11/212, 43 ≈ 1/2000. Δотн =

Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин z = x + y, z + Δz = (х + Δх) + (у + Δу) Δz= Δх + Δу учитывая (i = 1, 2, …, n). mz 2 = m x 2 + my 2 что справедливо и для z = x - y При m x = my = m

z = x 1 ± x 2 ± … ± xn mz, m 1 , m 2, …, mn mz 2 = m 12 + m 22 + … + mn 2 При mz 2 = m 12 + m 22 + … + mn 2 z = f (x 1, x 2, …, xn) если x 1, x 2, …, xn – независимые величины, то

Пример. Определить среднюю квадратическую погрешность превышения по формуле h = d tg ν, где d = 143, 5 м; ν = 2030΄. md = 0, 5 м mν = 1΄

Двойные измерения d 1 = x 1 – y 1; x 1, x 2, …, xn; d 2 = x 2 – y 2; y 1, y 2, …, yn …………. dn = xn – yn;

Пример. В результате измерения отрезка AB на местности двумя 20 -метровыми лентами получены данные, приведённые в таблице Вычислив разности di = xi – yi возведем их в квадрат и сложим. Пользуясь формулой получим

Понятие о весе измерения. Общая арифметическая средина Вес - определяет степень надежности результатов измерений Р/р = т2/М 2 = т2/(т2/п)=n Пусть величина X измерена п раз в различных условиях. При этом получены значения x 1, x 2, …, xn с весами p 1, p 2, …, pn. где vi = xi – x 0