Элементы теории нечётких множеств Понятие нечёткого множества –

Элементы теории нечётких множеств Понятие нечёткого множества – попытка математической формализации нечёткой информации с целью её использования при построении математических моделей сложных систем. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно, принадлежать данному множеству в различной степени. При таком подходе высказывания типа «элемент x принадлежит данному множеству» теряют смысл, так как необходимо указать, в какой степени данный элемент принадлежит данному множеству

Однин из простейших способов математического описания нечёткого множества – это характеристика степени принадлежности элемента множеству чисел, например, из промежутка [0, 1].

Определение 3. 1 Пусть Х некоторое множество элементов. Нечётким множеством С в Х называется совокупность пар вида (х, (х) ), где х ϵ Х, а : Х→[0, 1] – функция (т. е. - закон соответствия , по которому каждому элементу х ϵ Х ставится в соответствие единственное число отрезка [1, 0]), называется функцией принадлежности нечёткого множества С. Значение (х) этой функцией для конкретного элемента х называется степенью принадлежности этого элемента к нечёткому множеству С.

Определение 3. 2 Нечёткое множество называется пустым, если его функция принадлежности равна 0 на всём множестве Х, т. е. = 0 для каждого элемента х ϵ Х. Определение 3. 3 Множество Х называется универсальным, если его функция принадлежности µᵪ(х) = 1 для каждого элемента х ϵ Х. Определение 3. 4 Носителем нечёткого множества А с функцией принадлежности (х) называется множество, обозначаемое supp. A и определяемое формулой supp. A = {x|x ϵ Х, (x)>0}.

Определение 3. 5 Пусть А и В нечёткие множества в Х, а (х) и (х) – их функции принадлежности. Говорят, что А включает в себя В (обозначается В А), если для каждого элемента х ϵ Х выполнено неравенство (х). Определение 3. 6 Нечёткие множества А и В в Х называют эквивалентными или совпадающими, если (х)= (х) для каждого элемента х ϵ Х.

Отметим, что если А и В – нечёткие множества в Х, что В А, то supp. B supp. A. Вводя операции над нечёткими множествами, необходимо помнить, что класс нечётких множеств охватывает и множества в обычном смысле. Поэтому для нечётких множеств есть операции, которые соответствуют обычным операциям, принятым в теории множеств.

Определение 3. 7 Объединением нечётких множеств А и В в Х называют нечёткое множество, обозначаемое AUB и имеющее функцию принадлежности (х)=max{ (x), (x)}, х ϵ Х. Определение 3. 8 Пересечением нечётких множеств А и В называется нечёткое множество А В и имеющее функцию принадлежности (х)=min { (x), (x)}, х ϵ Х.

Определение 3. 9 Дополнением нечёткого множества А в Х называется нечёткое множество А с функцией пинадлежности (х)=1 – (х), х ϵ Х. Пример 3. 1 Пусть дано нечёткое множество А = {Множество чисел гораздо больших 0}. Тогда А = {Множество чисел, не являющихся гораздо больше 0}

Определение 3. 10 Разностью нечётких множеств А и В в Х называется нечёткое множество, обозначаемое АΘВ и имеющее функцию принадлежности

Определение 3. 11 Множеством уровня α нечёткого множества А в Х называется множество, обозначаемое , составленное из элементов х ϵ Х, степени принадлежности которых нечёткому множеству А не меньше числа α: ={х ϵ Х| α}. Представление нечёткого множества А в Х в виде А = U α , где (х) = α (х), называется разложением множества по его множествам уровня α. Здесь объединение нечётких множеств α берётся в соответствие с определением 3. 7 по всем α

Пример 3. 2 Дано множество Х = {3, 4}, а функции принадлежности нечётких множеств Аи. Вв. Х и заданы таблицей: 1. Найти объединение, пересечение, разность Нечётких множеств А и В в Х, а также дополнение нечёткого множества А в Х. 2. Разложить нечёткое множество В по множествам уровня α.

Решение. По определениям 3. 7 – 3. 10 имеем: 1. ={х ϵ Х | 0, 7} = {3} – множество уровня 0, 7 , нечёткого множества В в Х. 2. ={х ϵ Х | 0, 6} = {3, 4} - множество уровня 0, 6 , нечёткого множества В в Х. Тогда нечёткое множество В в Х можно разложить по множествам α : В = 0, 6 U 0, 7

Прежде чем рассмотреть понятие нечётких отношений, сначала дадим определения обычных отношений на множестве Х и операций над этими отношениями.

Определение 3. 12 Пусть на одном и том же множестве Х – это значит указать все пары элементов (x, y), где x, y ϵ X, которые связаны отношениями R. Для обозначения того, что элементы x и y связаны отношением R, используется запись x. Ry. Очевидно, отношение R на множестве Х есть подмножество декартова произведения Х x Х = {(x, y) | x ϵ X, y ϵ Y}. Если множество Х конечно, то отношение R удобно писать матрицей R = (rᵢ ), i, j = 1, 2, …, n

Элементы определяются следующим образом Эта матрица называется характеристической функцией отношения R. Отношение R в конечном множестве Х можно описать и ориентированным графом, вершины которого соответствуют элементам множества Х, а дуга от вершины хᵢ к вершине Проводится в том и только в том случае, если

Определение 3. 13 Пусть на одном и том же множестве Х заданы два отношения R₁ и R₂. Множества С = R₁ U R₂ и D = R₁ R₂ называются соответственно объединением и пересечением отношений R₁ и R₂. Если R₁ = ( ), R₂ = ( ) – матрицы отношений R₁ и R₂, С = ( ), D = ( ), i, j = 1, 2, … , n, то = max{ , }, = min{ , }.

Определение 3. 14 Композиция (произведение) отношений R₁ и R₂, Заданных на одном и том же множестве Х, определяется как отношение, обозначаемое R = R₁ ◦ R₂, для которого элементы матрицы отношения R находятся по формулам = maxmin{ , }, т. е. матрица отношения R равна максминному произведению матриц отношений R₁ и R₂.

Определение 3. 15 Если R – отношение на множестве Х, то отношение R на множестве Х называется обратным отношением, если x. Ry имеет место тогда и только тогда, когда y. Rx. Если R = ( ), R =( ), i, j = 1, 2, … , n - матрицы отношений R и R , то элементы этих матриц связаны неравенствами = , т. е. матрица R получается путём транспонирования матрицы R.

Пример 3. 3 На множестве X = {4, 6, 8} даны два отношения R₁=( ) и R₂=(<). Составить характеристические функции заданных отношений и найти объединение R₁UR₂, пересечение R₁ R₂ и композицию R₁ ◦ R₂ этих отношений, а также обратное отношение R₁.

Решение Составим декартово произведение X x X = {(x, y) | xϵ{4, 6, 8}, yϵ{4, 6, 8}} = = {(4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 4), (6, 6), (6, 8), (8, 4), (8, 6), (8, 8)}. Тогда x. R₁y => R₁ = {(x, y)ϵ X x X | x R₂ = {(x, y)ϵ X x X | x

А) Согласно определению 3. 13, имеем: так как C = R₁UR₂ = ( ), i, j = 1, 2, 3, то 1 1 1 R₁UR₂ = 0 1 1 ; 0 0 0 так как D = R₁ R₂ = ( ) , i, j = 1, 2, 3, то 0 1 1 R₁ R₂ = 0 0 1 ; 0 0 0

Согласно определению 3. 14, так как R = R₁ ◦ R₂ = ( ), I, j = 1, 2, 3, то = maxmin{ , } = max{0, 0, 0} =0; = maxmin{ , } = max{1, 0, 0} =1; = maxmin{ , } = max{1, 1, 0} =1; = maxmin{ , } = max{0, 0, 0} =0; = maxmin{ , } = max{0, 0, 0} =0. Следовательно, 0 1 1 R = R₁ ◦ R₂ = 0 0 1. 0 0 0

В) По определению 3. 15 1 0 0 R₁ = 1 1 0 1 1 1 Обычное отношение можно рассматривать как частный случай более широкого понятия – нечёткого отношения, основанного на понятии нечёткого множества.

Определение 3. 16 Нечётким отношением R на множестве Х называется нечёткое подмножество декартова произведения Х х Х, для которого функцией принадлежности является функция : Х х Х→[0, 1]. Значение (x, y) этой функции понимается как степень выполнения отношения x. Ry. Если Х – конечное множество, то функция нечёткого отношения R представляет собой квадратную матрицу, элементами которой могут быть произвольные числа из отрезка [0, 1]. Если элемент этой матрицы равен αϵ[0, 1], то это значит, что степень выполнения отношения xᵢRyᵢ равна α.

Определение 3. 17 Носителем нечёткого отношения R на множестве Х называется подмножество декартова произведения Х х Х вида supp. R = {(x, y)ϵ Х х Х | (x, y) > 0}. Определение 3. 18 Нечёткие множества С = R₁ U R₂ и D = R₁ R₂, для которых функции принадлежности соответственно равны (x, y) = max{ (x, y), (x, y)}, (x, y) = min{ (x, y), (x, y)}, Называются объединением и пересечением нечётких отношений R₁ и R₂ на множестве Х.

Определение 3. 19 Если R – нечёткое отношение на множестве Х, то нечёткое отношение R’ , характеризующееся функцией принадлежности (x, y) = 1 - (x, y) , x, y ϵ X, Называется дополнением в Х отношения R. Дополнение имеет смысл отрицания исходного отношения R = (лучше) его дополнение есть R’= (не лучше).

Определение 3. 20 Максминное произведение R₁ ◦ R₂ нечётких отношений R₁ и R₂ на множестве Х характеризуется функцией принадлежности (x, y) = sup min{ (x, z), (z, y)} Определение 3. 21 Минмаксное произведение R₁ ◦ R₂ нечётких отношений R₁ и R₂ на множестве Х характеризуется функцией принадлежности (x, y) = inf max{ (x, z), (z, y)} В случае конечного множества Х матрица нечёткого отношения R₁ ◦ R₂ получается с помощью тех же операций, что и матрица произведения (композиции) обычных отношений

Пример 3. 4 На множестве X = {6, 8} даны матрицы нечётких отношений 0, 3 0, 9 0, 4 0, 6 1 0, 6 0, 2 0, 5 Найти объединение C = R₁ U R₂, пересечение D = R₁ R₂, максминное и минмаксное произведения R₁ ◦ R₂ нечётких отношений R₁ и R₂, а также дополнение R₂ в Х отношения R₂

Решение. А) По определению 3. 18 объединение C = R₁ U R₂ нечётких отношений R₁ и R₂ запишем в виде следующей матрицы: С = , где =max{0, 3; 0, 4} = 0, 4; =max{0, 9; 0, 6} = 0, 9; =max{ 1 ; 0, 2} = 1; =max{0, 6; 0, 5} = 0, 6. Следовательно, 0, 4 0, 9 1 0, 6

Б) Пересечение D = R₁ и R₂ нечётких отношений R₁ и R₂ определяется, согласно определению 3. 18, матрицей D = , где =min{0, 3; 0, 4}=0, 3; =min{0, 9; 0, 6}=0, 6; =min{ 1 ; 0, 2}=0, 2; =min{0, 6; 0, 5}=0, 5; Тогда 0, 3 0, 6 0, 2 0, 5

В) Для определения R₁ ◦ R₂ сначала составим декартово произведение Х х Х = {(6, 6), (6, 8), (8, 6), (8, 8)}. По определению 3. 20 функция принадлежности максминного произведения R₁ ◦ R₂ нечётких отношений R₁ и R₂ для каждого элемента множества Х х Х определяется следующим образом (6, 6) = sup{min{0, 3; 0, 4}, min{0, 9; 0, 2}} = sup{0, 3; 0, 2} = 0, 3 (6, 8) = sup{min{0, 3; 0, 6}, min{0, 9; 0, 5}} = sup{0, 3; 0, 5} = 0, 5 (8, 6) = sup{min{ 1 ; 0, 4}, min{0, 6; 0, 2}} = sup{0, 4; 0, 2} = 0, 4 (8, 8) = sup{min{ 1 ; 0, 6}, min{0, 6; 0, 5}} = sup{0, 6; 0, 5} = 0, 6 Следовательно 0, 3 0, 5 0, 4 0, 6

По определению 3. 21 функция принадлежности минмаксного произведения R₁ ◦ R₂ нечётких отношений R₁ и R₂ для каждого элемента множества Х х Х находится следующим образом (6, 6) = inf{max{0, 3; 0, 4}, max{0, 9; 0, 2}} =inf {0, 4; 0, 9}= 0, 4 (6, 8) = inf{max{0, 3; 0, 6}, max{0, 9; 0, 5}} =inf {0, 4; 0, 9}= 0, 6 (8, 6) = inf{max{ 1 ; 0, 4}, max{0, 6; 0, 2}} =inf { 1 ; 0, 6}= 0, 6 (8, 8) = inf{max{ 1 ; 0, 6}, max{0, 6; 0, 5}} =inf { 1 ; 0, 6}= 0, 6 Тогда 0, 4 0, 6 0, 6

Г) По определению 3. 19 функция принадлежности нечёткого отношения R₂ для каждого элемента множества Х х Х определяется так (6, 6) = 1 - (6, 6) = 1 – 0, 4 = 0, 6; (6, 8) = 1 - (6, 8) = 1 – 0, 2 = 0, 8; (8, 6) = 1 - (8, 6) = 1 – 0, 6 = 0, 4; (8, 8) = 1 - (8, 8) = 1 – 0, 5 = 0, 5. Следовательно, 0, 6 0, 4 0, 8 0, 5.