Скачать презентацию ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Интегральное исчисление 5 Скачать презентацию ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Интегральное исчисление 5

Л8 ОПР ИНТЕГРАЛ ФСП.pptx

  • Количество слайдов: 27

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Интегральное исчисление ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Интегральное исчисление

§ 5 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 5. 1. Понятие определенного интеграла Пусть на отрезке [а; b] § 5 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 5. 1. Понятие определенного интеграла Пусть на отрезке [а; b] задана неотрицательная непрерывная функция у = ƒ(х). y=f(x) ►Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = ƒ(х), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. x=a x=b Найдем площадь этой трапеции.

С помощью точек х0=а, x 1, х2, . . . , хn = b С помощью точек х0=а, x 1, х2, . . . , хn = b (х0

y y=f(x) c 1 c 2 O a=x 0 x 1 x 2 ci y y=f(x) c 1 c 2 O a=x 0 x 1 x 2 ci xi-1 xi cn xn-1 b=xn x Умножим значением функции ƒ(ci) на длину ∆xi=xi-xi-1 соответствующего частичного отрезка.

 Геометрический смысл интегральной суммы - это площадь под ломаной. Обозначим через λ длину Геометрический смысл интегральной суммы - это площадь под ломаной. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆xi(i = 1, 2, . . . , n). Если λ = max∆xi → 0 ⇒ ломаная →y = f(x).

 Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, ƒ(х) — Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, ƒ(х) — подынтегральной функцией, ƒ(х) dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования, отрезок [а; b] — областью (отрезком) интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. Геометрический смысл определенного интеграла Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл и неопределенный интеграл существенно различные понятия. семейство функций. площадь криволинейной трапеции ( определенное число).

5. 2. Свойства определенного интеграла 5. 2. Свойства определенного интеграла

5. 3. Формула Ньютона-Лейбница Пусть функция у = ƒ(х) интегрируема на отрезке [а; b]. 5. 3. Формула Ньютона-Лейбница Пусть функция у = ƒ(х) интегрируема на отрезке [а; b].

Примеры: Вычислить интегралы. Примеры: Вычислить интегралы.

5. 4. Несобственные интегралы ►Определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования 5. 4. Несобственные интегралы ►Определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв называется несобственным интегралом.

5. 4. 1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода) Пусть функция 5. 4. 1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода) Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а; +∞).

 y=f(x) x=a y=f(x) x=a

Примеры: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: Примеры: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

5. 4. 2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода) Пусть функция ƒ(х) 5. 4. 2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода) Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный разрыв при х = b.

 Если функция ƒ(х) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [а; b], то Если функция ƒ(х) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [а; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой

Примеры: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: Примеры: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

5. 5. Геометрические приложения определенного интеграла 5. 5. 1. Вычисление площадей плоских фигур 1)Пусть 5. 5. Геометрические приложения определенного интеграла 5. 5. 1. Вычисление площадей плоских фигур 1)Пусть ƒ(х) ≥ 0 и непрерывна на отрезке [а; b]. y=f(x) x=a x=b

2)Пусть ƒ(х) ≤ 0 и непрерывна на отрезке [а; b]. y= -f(x) Отразим y=ƒ 2)Пусть ƒ(х) ≤ 0 и непрерывна на отрезке [а; b]. y= -f(x) Отразим y=ƒ (x) относительно оси ОХ, получаем функцию y = -ƒ (x). x=a x=b y=f(x)

3)Пусть y=ƒ 1(х) и y=ƒ 2(х) непрерывны на отрезке [а; b], причем ƒ 2(х) 3)Пусть y=ƒ 1(х) и y=ƒ 2(х) непрерывны на отрезке [а; b], причем ƒ 2(х) ≥ ƒ 1(х). x=a y=f 2(x) y=f 1(x) x=b y=f 2(x) y=f 1(x) x=a x=b

y=f 2(x) a x=b x=b y=f 1(x) y=f 2(x) a x=b x=b y=f 1(x)

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы. y S 1 a S 2 c S 3 d b x y y =d x=ϕ(y) y = c x

Примеры: 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2 -2 x+3 и Примеры: 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2 -2 x+3 и y = 3 x-1; 2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0, 5 x-2, 5 и y =- 2/x; 3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x 2, y = 2 еx, x = 0 и x = 1.

5. 5. 2. Вычисление объемов тел вращения Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, 5. 5. 2. Вычисление объемов тел вращения Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = ƒ(х) ≥ 0, отрезком а ≤ x ≤ b и прямыми х = а и х = b. ►Полученная от вращения фигура называется телом вращения. y=f(x) Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох (х Є [а; b]), есть круг с радиусом у= ƒ(х). Следовательно, S(x)=πy 2. x=a x=b

 • y y = d y = с х=ϕ(у) x • y y = d y = с х=ϕ(у) x

Примеры: 1) Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x 2, Примеры: 1) Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x 2, y = 1 и y = 4 вокруг оси Оу. y y = 4 y =1 x 2) Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = 4 - x 2, y = 0 и x = 0 вокруг оси Оу и Ox. 3)Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x 2 и y = x 3 вокруг оси Оу и Ox.