Л8 ОПР ИНТЕГРАЛ ФСП.pptx
- Количество слайдов: 27
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Интегральное исчисление
§ 5 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 5. 1. Понятие определенного интеграла Пусть на отрезке [а; b] задана неотрицательная непрерывная функция у = ƒ(х). y=f(x) ►Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = ƒ(х), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. x=a x=b Найдем площадь этой трапеции.
С помощью точек х0=а, x 1, х2, . . . , хn = b (х0
y y=f(x) c 1 c 2 O a=x 0 x 1 x 2 ci xi-1 xi cn xn-1 b=xn x Умножим значением функции ƒ(ci) на длину ∆xi=xi-xi-1 соответствующего частичного отрезка.
Геометрический смысл интегральной суммы - это площадь под ломаной. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆xi(i = 1, 2, . . . , n). Если λ = max∆xi → 0 ⇒ ломаная →y = f(x).
Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, ƒ(х) — подынтегральной функцией, ƒ(х) dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования, отрезок [а; b] — областью (отрезком) интегрирования.
Геометрический смысл определенного интеграла Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл и неопределенный интеграл существенно различные понятия. семейство функций. площадь криволинейной трапеции ( определенное число).
5. 2. Свойства определенного интеграла
5. 3. Формула Ньютона-Лейбница Пусть функция у = ƒ(х) интегрируема на отрезке [а; b].
Примеры: Вычислить интегралы.
5. 4. Несобственные интегралы ►Определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв называется несобственным интегралом.
5. 4. 1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода) Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а; +∞).
y=f(x) x=a
Примеры: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
5. 4. 2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода) Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный разрыв при х = b.
Если функция ƒ(х) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [а; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой
Примеры: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
5. 5. Геометрические приложения определенного интеграла 5. 5. 1. Вычисление площадей плоских фигур 1)Пусть ƒ(х) ≥ 0 и непрерывна на отрезке [а; b]. y=f(x) x=a x=b
2)Пусть ƒ(х) ≤ 0 и непрерывна на отрезке [а; b]. y= -f(x) Отразим y=ƒ (x) относительно оси ОХ, получаем функцию y = -ƒ (x). x=a x=b y=f(x)
3)Пусть y=ƒ 1(х) и y=ƒ 2(х) непрерывны на отрезке [а; b], причем ƒ 2(х) ≥ ƒ 1(х). x=a y=f 2(x) y=f 1(x) x=b y=f 2(x) y=f 1(x) x=a x=b
y=f 2(x) a x=b x=b y=f 1(x)
Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы. y S 1 a S 2 c S 3 d b x y y =d x=ϕ(y) y = c x
Примеры: 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2 -2 x+3 и y = 3 x-1; 2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0, 5 x-2, 5 и y =- 2/x; 3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x 2, y = 2 еx, x = 0 и x = 1.
5. 5. 2. Вычисление объемов тел вращения Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = ƒ(х) ≥ 0, отрезком а ≤ x ≤ b и прямыми х = а и х = b. ►Полученная от вращения фигура называется телом вращения. y=f(x) Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох (х Є [а; b]), есть круг с радиусом у= ƒ(х). Следовательно, S(x)=πy 2. x=a x=b
• y y = d y = с х=ϕ(у) x
Примеры: 1) Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x 2, y = 1 и y = 4 вокруг оси Оу. y y = 4 y =1 x 2) Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = 4 - x 2, y = 0 и x = 0 вокруг оси Оу и Ox. 3)Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x 2 и y = x 3 вокруг оси Оу и Ox.