Элементы алгебры логики.ppt
- Количество слайдов: 27
Элементы алгебры логики
Основные положения алгебры логики (АЛ): § § § Правила функционирования цифровых автоматов подчиняются законам алгебры логики (Булевой алгебры). Независимые переменные и ФАЛ принимают только два значения: 0 (ложь) и 1 (истина). Определены три простейшие канонические операции над независимыми переменными: ü ü ü Логическое сложение (дизъюнкция) – операция «ИЛИ» ; Логическое умножение (конъюнкция) – операция «И» ; Инверсия (отрицание) –операция «НЕ» . Канонические операции образуют полный набор (базис) возможных операций над независимыми переменными.
Основные положения алгебры логики (АЛ): § ФАЛ организуются как композиция канонических операций над независимыми переменными Обозначение операций: § Дизъюнкция: + или V § Конъюнкция: ● или Λ § Инверсия: Х (черта над независимой переменной)
§ ФАЛ – это композиция конечного числа независимых переменных, над которыми совершается конечное число операций. § Независимая переменная - это простейшая ФАЛ. § Если k – количество независимых переменных, то ФАЛ принимает значение 0 или 1 на 2 k наборах независимых переменных. § Если k – количество независимых переменных, то 2 k различных ФАЛ от этих переменных. существует 2
Способы задания ФАЛ § § § Таблица истинности (пример) Карта Карно (пример) Алгебраическая форма (пример) Далее >>
Способы задания ФАЛ. Таблица истинности Х 1 Х 2 Х 3 Х 4 Q 0 0 0 1 1 2 0 0 1 3 0 0 1 1 0 4 0 1 0 0 1 5 0 1 0 6 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 0 8 1 0 0 0 1 9 1 0 0 1 1 10 1 0 0 11 1 0 1 12 1 1 0 0 0 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 1 15 1 1 1 Возврат на Слайд 5
Способы задания ФАЛ. Карта Карно § Картой Карно называется таблица, в ячейках которой помещены значения ФАЛ, а в столбцах и строках указаны значения независимых переменных. § Заполнение карты Карно осуществляется в два этапа: 1. Нахождение нужной клетки; 2. Занесение в нее значения. Х 3 Х 4 Х 2 Х 1 00 01 11 10 00 0 1 Х 4 Х 3 01 11 1 0 0 0 1 1 10 1 0 Возврат на Слайд 5
Способы задания ФАЛ. Алгебраическая форма записи Q = X 1 X 4 + X 1 X 2 X 3 + + X 1 X 2 X 3 X 4 + X 1 X 2 X 3 X 4 Возврат на Слайд 5
Аксиомы АЛ § Операции над независимыми переменными подчиняются определенным правилам (аксиомам): Х+0=Х Х+1=1 Х+Х=Х Х+Х=1 Х● 1=Х Х● 0=0 Х●Х=Х Х●Х=0 Х=Х
Свойства ФАЛ § Коммутативность: Х 1+Х 2=Х 2+Х 1, Х 1●Х 2= Х 2●Х 1 § Ассоциативность: (Х 1+Х 2)+Х 3=Х 1+(Х 2+Х 3), (Х 1●Х 2)●Х 3=Х 1●(Х 2●Х 3) § Дистрибутивность: Х 1●(Х 2+Х 3)=Х 1●Х 2+Х 1●Х 3, (Х 2+Х 3)●Х 1= Х 2●Х 1+Х 3●Х 1 Законы де Моргана Х 1+Х 2=Х 1●Х 2=Х 1+Х 2
Теоремы поглощения § § § (Х 1+Х 2)●Х 2=Х 2 Х 1●Х 2+Х 0=(Х 1+Х 0)(Х 2+Х 0) (Х 1+Х 0)●Х 0=Х 1●Х 0+Х 0=Х 1+Х 0 Теоремы склеивания § Х 1 Х 0+Х 1 Х 0=Х 0 § (Х 1+Х 0)=Х 0
Основные понятия § Независимая переменная или ее инверсия называется первичным термом (или просто термом). § Замечание: Термы Хi и Хi называют родственными. Определение Логическое произведение (конъюнкция) нескольких независимых переменных (со знаком или без знака инверсии) не содержащее родственных термов называется контермом. Пример: Х 4●Х 3●Х 1 – контерм Х 4●Х 3 Х 1 – не является контермом
Определение Логическая сумма (дизъюнкция) нескольких независимых переменных (со знаком или без знака инверсии) не содержащая родственных термов, называется дизтермом. Пример: Х 3+Х 1 – дизтерм Х 3+Х 1 – не является дизтермом Определение § Контерм (дизтерм), содержащий все независимые переменные данной функции алгебры логики, называется минтермом (макстермом).
Основная теорема алгебры логики I. Функция алгебры логики может быть представлена как дизъюнкция минтермов единицы. Такое представление ФАЛ получило название – совершенная дизъюнктная нормальная форма (СДНФ). II. Функция алгебры логики может быть представлена как конъюнкция макстермов нуля. Такое представление ФАЛ получило название совершенная конъюктивная нормальная форма (СКНФ).
Правила составления логических выражений ФАЛ по таблице истинности. I. Составление СДНФ Этап 1. Выписываются все наборы (минтермы) независимых переменных, на которых ФАЛ равна 1. Этап 2. Поскольку каждый из этих минтермов, согласно теореме, должен быть равен 1, то, если в конкретном наборе (минтерме) некоторая независимая переменная Хi имеет значение 0, то она записывается в минтерм в инверсной форме, то есть Хi. Этап 3. Составляется дизъюнкция из выбранных и организованных по правилу (Этап 2) минтермов. Полученное логическое выражение – искомая СДНФ функции алгебры логики.
Правила составления логических выражений ФАЛ по таблице истинности. II. Составление СКНФ Этап 1. Выписываются все наборы (макстермы) независимых переменных, на которых ФАЛ равна 0. Этап 2. Поскольку каждый из этих макстермов, согласно теореме, равен 0, то, если в конкретном наборе (макстерме) независимая переменная Хi имеет значение 1, то она записывается в макстерм в инверсной форме, то есть Хi. Этап 3. Составляется конъюнкция из выбранных и организованных по правилу (Этап 2) макстермов. Полученное логическое выражение – искомая СКНФ функции алгебры логики.
Пример Х 3 Х 2 Х 1 Q 0 0 0 1 1 2 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 1 5 1 0 6 1 1 0 0 7 1 1
Составление СДНФ I. II. Х 3 Х 2 Х 1 Совершенная дизъюнктная нормальная форма Q=Х 3 Х 2 Х 1+Х 3 Х 2 Х 1
Составление СКНФ I. Х 3+Х 2+Х 1 II. Совершенная конъюнктная нормальная форма Q=(Х 3+Х 2+Х 1)(Х 3+Х 2+Х 1)
Минимизация логических выражений с помощью карт Карно Аппаратная реализация ФАЛ с использованием логических выражений, представленных в форме СДНФ или СКНФ чрезмерно сложна. Упрощение аппаратной реализации ФАЛ достигается посредством минимизации логических выражений. Применение карт Карно позволяет находить минимизированные логические выражения без промежуточных математических выкладок.
Понятие о соседних клетках Х 3 Х 4 Х 2 Х 1 00 01 11 10 Утверждение 1. Каждая клетка карты Карно может иметь n соседних клеток (n – число независимых переменных). Соседними являются: Х 4 Х 3 00 01 С С А С E 11 10 D С B §клетки, соприкасающиеся своими сторонами (клетки С – соседние по отношению к клетке А); §клетки, расположенные на краю карты Карно (в верхней и нижней строках – клетки B и D, а также в левом и правом крайних столбцах B и E).
Принцип объединения клеток в контур Поле карты Карно разбивается на контура по следующему правилу: - В контур может входить только 2 n клеток, где n=0, 1, 2, 3, 4; - Значение ФАЛ в каждой клетке контура должно быть равно 1 (при составлении минимизированной дизъюнктной нормальной формы) или 0 (при составлении минимизированной конъюнктной нормальной формы).
Таблица 1. Х 3 Х 4 Таблица 2. Х 4 Х 3 Х 3 Х 4 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 0 1 1 11 1 0 0 10 1 0 0 Х 2 Х 1 Х 4 Х 3 00 01 11 10 00 0 1 1 0 0 01 0 1 11 1 0 0 1 10 1 0 0 0 Х 2 Х 1
Составление минимизированной дизъюнктивной нормальной формы § Каждому контуру соответствует одна конъюнкция; § Если какая-либо независимая переменная на клетках контура меняет свое значение, то в конъюнкцию она не входит; § Составление минимизированной дизъюнктивной нормальной формы опирается на основную теорему алгебры логики и следует правилам ее применения. Минимизированная дизъюнктная нормальная форма (Таблица 1) Q=Х 3 Х 2+Х 4 Х 3 Х 2+Х 3 Х 2 Х 1
Составление минимизированной конъюнктивной нормальной формы § Каждому контуру соответствует одна дизъюнкция; § Если какая-либо независимая переменная на клетках контура меняет свое значение, то в дизъюнкцию она не входит; § Составление минимизированной дизъюнктивной нормальной формы опирается на основную теорему алгебры логики и следует правилам ее применения. § Минимизированная дизъюнктивная нормальная форма (Таблица 2) Q=(Х 3+Х 2)(Х 4+Х 2+Х 1)
Аппаратная реализация ФАЛ Пример 1. Q=Х 3 Х 2+Х 4 Х 3 Х 2+Х 3 Х 2 Х 1 & Х 1 Х 2 Х 3 & Х 3 Х 4 1 & Х 4 & 1 Q
Аппаратная реализация ФАЛ Пример 2. Q=(Х 3+Х 2)(Х 4+Х 2+Х 1) Х 1 Х 2 1 Х 3 1 Х 4 & Q
Элементы алгебры логики.ppt