Економіко-математичні методи і моделі Термін економіко-математичні

Економіко-математичні методи і моделі • Термін економіко-математичні методи розуміється в свою чергу як узагальнююча назва комплексу економічних і математичних наукових дисциплін, об’єднаних для вивчення соціально-економічних систем і процесів.

2 Розподіл годин Лекції -1 8 годин Практичні і лабораторні заняття -1 6 годин Самостійна робота — 38 годин Залік —

Лекція 1 Основні поняття економетрії. Моделі парної регресії. Вступ 1. Об’єкт, предмет, мета i завдання економетрії. 2. Кореляцiйно-регресiйний аналіз в економіці. 3. Моделі парної регресії та їх дослідження. 4. Метод найменших квадратів.

4 Вступ Е конометрія ( економетрика ) буквально означає «вимірювання в економіці» Дуже широко

5 Економетрія — це наукова дисципліна, яка вивчає комплекс економіко-математичних методів і побудованих на їх основі моделей для кількісного вимірювання взаємозв ` язків між економічними показниками.

61. Об’єкт, предмет, мета i завдання економетрії Об’єкт Е кономічні системи та простор и різного рівня складності Підприємства Фірми Окремі галузі Регіони Держави

7 Предмет економетрії методи побудови та дослідження математико-статистичних моделей економіки, проведення кількісних досліджень економічних явищ, пояснення та прогнозування розвитку економічних процесів.

8 Метою економетричного дослідження є аналіз реальних економічних систем i процесів, що в них відбуваються, за допомогою економетричних методів i моделей , їх застосування прийнятті науково обґрунтованих управлінських рішень.

9 Основне завдання економетрії • оцінити параметри моделей з урахуванням особливостей вхідної економічної інформації, • перевірити відповідність моделей досліджуваному явищу • спрогнозувати розвиток економічних пpoцecів.

10 Основні етапи економетричного аналізу 1) ви б iр конкретної форми аналітичної залежності між економічними показниками ( специфікація моделі ) на підставі відповідної економічної теорії; 2) з б ирання та підготовка статистичної інформації; 3) оцінювання параметрів моделей; 4) перевірка адекватності моделі та достовірності її параметрів; 5) застосування моделі для прогнозування розвитку економічних процесів з метою подальшого керування ними.

11 Коротка історична довідка “ Г арвардський барометр ” , за допомогою якого в 20 -тi роки намагалися передбачити поведінку товарного і грошового ринку.

12 В. Парето доходи населення в різних країнах (1897 р) Гукер вплив банкрутств на товарній біржі на ціну зерна (початок ХХ ст. )К. Пiрсон (1857 -1936)

13 Ч. Кобб i П. Дуглас виробнича функція (1928 р. ) Економетрія як окрема галузь ( 1930 р. ) «Міжнародне товариство для розвитку економічної теорії і її зв’язку зі статистикою та математикою». П. Дуглас

14 Термін » економетрія » вперше запровадив львівський вчений П. Чомпа , який опублікував у Львові в 1910 р. книгу «Нариси економетрії i природної теорії бухгалтерії, яка ґрунтується на політичний економії». Засновники економетрії Р. Фрiш, Е. Шумпетер, Я. Тiнберген Р. Фрiш Е. Шумпетер

15 Т. К. Купманс (1975 ) Лінійні економічні моделі Л. Р. Клейн (1980) Моделі економічної політики. В. Леонтьєв (1973) Балансові моделі Л. Канторович (1975) Виробничі моделі Ангус Дітон (2015) Аналіз споживання, бідності і добробуту

162. Кореляцiйно-регресiйний аналіз в економіці С татистичною називають залежність, коли зі змінюванням однієї випадкової величини змінюється закон розподілу ймовірностей іншої. Зокрема, статистична залежність виявляється в тому, що зі змінюванням однієї величини змінюється середнє значення іншої. Така залежність називається кореляційною.

17 X X Рівноправні Y Y

18 X X Y YНерівноправні)(/xfx. YM Умовне математичне сподівання функці я регресії У на Х. Регресор (незалежна) Регресанд (залежна)

19)(/xfx. YMП арн а регреc ія М ножинн а регресія ), . . . , , (, . . . , , / 2121 mm xxxfxxx. YM

20 Термін “ регресія ” від латинського regressio – рух назад, введено англійським статистиком Френсісом Гальтоном

21 Означення. 3 в’язки між залежною та незалежною (незалежними) змінними, що описуються співвідношеннями називають регресійними рівняннями ( моделями ). uxfy)( uxxx. Fy m ), . . . , , ( 21 Випадкова складова

22 П ричини присутності в регресійних моделях випадкового фактора (відхилення) 1. Уведення в модель не всіх пояснюючих змінних. 2. Неправильний вибір функціональної форми моделі. 3. Агрегування змінних. 4. Помилки вимірювань. 5. Обмеженість статистичних даних. 6. Непередбачуваність людського фактору.

23 Сукупність методів, за допомогою яких досліджуються та узагальнюються взаємозв’язки кореляційно пов’язаних змінних, називається кореляцiйно-регресiйним аналізом.

24 Задачі кореляцiйно-регресiйн ого аналіз у З находження за лежності між змінними ( регресійний аналіз ) В изначення тісноти зв’язку між змінними ( кореляцiйн ий аналiз )

25 Етапи п обудов и рівняння регресії 1. В ибір форми рівняння регресії ( сnецифiкацi я моделі ) 2. В изначення параметрів обраного рівняння 3. А наліз якості рівняння та перевірка адекватності рівняння емпіричним даним, удосконалення рівняння.

26. . . XY 0. Y X 0 Y. . . . . а б в Кореляційне поле (діаграма розсіювання)01 axa. Y 01 2 2 axaxa. Y

273. Моделі парної регресії та їх дослідження. Рівень доходу Споживання Ціна товару Попит Розмір основних фондів Обсяг виробництва

28 Модель Кейнсаb. Yc. C 0 С індивідуальне споживання Y прибуток де с о — величина автономного споживання; b — гранична схильність до споживання ( 0<b 1).

29 З алежність між рівнем безробіття х i рівнем інфляції у відображається так званою кривою Фiлiпса: де а > 0, b > 0 — параметри моделі, а змінні х i у вимірюються у процентах. bx a y

30 При незмінний річний дисконтній (обліковій) ставці r i початковому внеску а через х років у банку наявна сума грошей обчислюватиметься за формулою де а, r — параметри моделі. x ray)1(

31 При маркетингових i ринкових дослідженнях, при дослідженні збуту продукції та в демографії застосовують так звану криву Гомперця : де параметри а та с можуть набувати будь-яких значень, а b перебуває в межах: 0 < b < 1. cab x ey

32 У загальному випадку nарна лінійна регресія є лінійною функцією мiж залежною змінною У i однiєю пояснюючою змінною Х : Це спiввiдношення називається теоретичною лінійною регресiйною моделлю а 0 i а 1 — теоретичні параметри (теоретичні коефіцієнти) peгpeciї. 01 a. Xa. Y

33 За вибiркою обмеженого обсягу будують так зване емпіричне рівняння peгpecii , у якому коефіцієнтами є оцінки теоретичних коефiцiєнтiв регресії: де — оцінки невідомих параметрів а 1 i а 0 . 01 ~~ ~ a. Xa. Y 01 ~~ aia

34 y xx 1. . u 1 { 1 M(Y/X)= a 0 + a 1 X. . . x i u i i 0 01 ~~~ a. Xa. Y. . .

35 Задачі лінійного регресiйного аналізу полягають у тому, щоб за наявними статистичними даними д ля змінних Х i У: а) отримати найкращі оцінки невідомих параметрів а 1 i а 0 ; б) перевірити статистичні гіпотези про параметри моделі; в) перевірити, чи досить добре модель узгоджується зi статистичними даними (адекватність моделі даним спостережень). niyxii, 1), , ( 01 ~~ aia

36 Для відображення того факту, що кожне індивідуальне значення y i відхиляється відповідного умовного математичного сподівання, у модель уводять випадковий доданок u i : Таким чином, регресiйне рівняння набуває виглядуu. Xaa. Y 10 ~~ iiiiiuxaauxx. YMy 10 ~~ /

37 Мiрою якостi знайдених оцiнок можуть бути визначені композиції вiдхилень niu i , 1, n i n i iiiiixaayyyu 111 10)~~()~( n i n i iiiiixaayyyu 111 10 ~~~ n i n i iiiiixaayyyu 111 2 10 22 ) ~~ () ~ ( метод найменших модулів (МНМ). метод найменших квадратів (МНК ).

38 4. Метод найменших квадратів x 1 x 2 x 3. . . x n-1 x n y 1 y 2 y 3. . . y n-1 y n

39 y xx 1. . u 1 {. . . x i u i 001 ~~~ a. Xa. Y. . . u 2 {

40 min)~~()~()~, ~( 111 2 10 2 n i n i iiiiixaayyyaa. Qu. Необхідною умовою існування мінімуму неперервної диференційованої функції двох змінних є рівність нулю її частинних похідних. Так як ; 1 ~ ; ~ 00 11 i i i a Y x a Y

41 n 1 i i 0 i 1 n 1 i iii 0 2 i 1 ynaxa yxxaxa ˆˆ ; ˆˆ n i iii aˆxaˆy aˆ Q xaˆxaˆy aˆ Q

42 n y a n x a n yx n x a n 1 i i 0 n 1 i i 1 n 1 i ii n 1 i i 0 n 1 i 2 i 1 ; ˆˆПозначимо: n x x n i i 1 n y y n i i 1 n x x n i i 1 2 2 n yx xy n i ii

43 yaxa xyxaxa 01 0 2 1 ˆˆ ˆˆодержимо звідки маємо xaya xx yxxy a 10 22 1 ˆˆ ˆ n x x n i i 1 n y y n i i 1 n x x n i i 1 2 2 n yx xy n i ii

442222 yyxx yxxy SS S r yx xy xy К оефіцієнт кореляції 10 xy r

45 Завдання 10 1 100 i ix 10 1 200 i iy 10 1 21000 i iiyx 10 1 2 12000 i ix 10 1 2 45000 i iy За 10 парами спостережень отримано такі результати: За МНК оцініть коефіцієнти рівняння регресії Y на X. Оцініть коефіцієнт кореляції r xy