Экономические задачи ЕГЭ
• Задача 1. Жанна взяла в банке в кредит 1, 2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?
• Сначала несколько слов о типе возврата кредита, который описан в задаче. Это дифференцированный платеж. При таком типе платежа клиент отдает основной долг равными частями. Каждая выплата состоит из двух частей: • а) выплата основного долга, которая равна сумме, взятой в кредит, деленной на количество платежей. • б) проценты на оставшуюся часть долга.
• Первая часть платежа остается неизменной, а вторая меняется с каждым платежом. Поскольку с каждой выплатой размер оставшейся части долга уменьшается, соответственно после каждой очередной выплаты уменьшается размер выплаты процентов по кредиту. • Сумма, которую Жанна взяла в кредит в банке в задаче называется сумма долга. Размер ежемесячной выплаты по основному долгу равен рублей. • Это ежемесячная выплата в счет основного долга.
Помимо основного долга Жанна каждый месяц выплачивает банку 2 процента от суммы основного долга, которую она должна банку на момент начисления процентов. Итак. Каждый месяц Жанна выплачивает банку 50 000 рублей в счет погашения основного долга плюс 2% от оставшейся части основного долга.
В течение первого года кредитования в счет уплаты процентов Жанна выплатит банку Мы видим в скобках арифметическую прогрессию, в которой Тогда
Итак, в течение первого года кредитования Жанна выплатит банку
Задача 2. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4, 5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы: -каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года; -с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; -в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1, 4 млн рублей, а наименьший – не менее 0, 6 млн рублей.
Задача 3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: -каждый январь долг возрастает на 25 % по сравнению с концом предыдущего года; -с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; -в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей.
Задача 4. В ян ва ре 2000 года став ка по де по зи там в банке «Воз рож де ние» со ста ви ла х % го до вых, тогда как в ян ва 2001 года — у % го до вых, при чем из вест но, что x + y = 30%. ян ва ре 2000 года вклад чик от крыл счет в банке «Воз рож де ние» , по ло жив на него не ко то рую сумму. В ян ва 2001 года, по про ше ствии года с того мо мен та, вклад чик снял со счета пятую часть этой суммы. Ука жи те зна че ние х при ко то ром сумма на счету вклад чи ка в ян ва ре 2002 года ста нет мак си маль но воз мож ной.
Пусть вкладчик положил в банк А рублей. Тогда к 31 декабря 2001 года у вкладчика на счету стало В ян ва ре 2001 года, по про ше ствии года с того мо мен та, вклад чик снял со счета пятую часть этой суммы. То есть на вкладе осталось рублей. В январе 2001 года ставка по вкладам составила у % годовых, причем , следовательно, еще через год на счету стало рублей.
Нам нужно найти значение : , при ко то ром сумма на счету вклад чи ка в ян ва ре 2002 года ста нет мак си маль но воз мож ной. То есть нам нужно найти наибольшее значение функции Упростим функцию. Вынесем за первую и вторую скобку множитель Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вниз. Функция принимает наибольшее значение в вершине параболы, абсцисса которой равна среднему арифметическому корней квадратного трехчлена. Чтобы найти корни, приравняем каждый множитель к нулю. Ответ: 25
Задача 5. В фермерском хозяйстве собрали 800 тонн картофеля, которые в настоящий момент можно продать по 7200 руб за тонну, получив в общей сложности 5 млн 760 тыс. рублей. Фермер посчитал, что если хранить картофель на складе, то за каждую неделю он будет терять 16 тонн, однако цена за тонну при этом увеличится на 1200 рублей. В начале какой недели выгоднее всего продать картофель.
Задача 6. Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе трудятся суммарно часов в неделю, единиц товара. то за эту неделю они производят Если рабочие на заводе, расположенном во втором городе трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих? Пусть на первом заводе рабочие работали тогда они произвели часов в неделю, единиц товара. Пусть на втором заводе рабочие работали часов в неделю, тогда они произвели единиц товара. При этом суммарно рабочие на обоих заводах работали и Владимир должен им заплатить часов в неделю, рублей.
По условию задачи каждую неделю нужно производить 580 единиц товара, следовательно, Выразим через И при этом Тогда функция зависимости зарплаты рабочих от выглядит так:
Очевидно, что данная функция - это квадратичная функция. Упростим выражение в правой части уравнения функции.
Если старший коэффициент квадратичной функции больше нуля (как в нашем случае), то функция принимает наименьшее значение в вершине параболы, то есть в точке Отсюда Ответ: 5 800 000
Задача 7. 31 декабря 2013 года Андрей взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), а затем Андрей переводит в банк 3 460 600 рублей. Какую сумму взял Андрей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?
Задача 8. 31 декабря 2014 года Борис взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определённое количество процентов), затем Борис переводит очередной транш. Борис выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 560 тыс. рублей, во второй - 644, 1 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Борису?
Задача 9. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк ¾ от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а ещё через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Задача 10. Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей, а сумма на счете каждый год увеличивается на 10%. Алексею будет выгодно положить деньги на счет, когда 10% от суммы на счете превысит 2 тыс. руб. На n-й год после покупки у Алексея на счете будет тыс. рублей.
Получаем неравенство: Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству равно 8. Ответ: 8
интернет-ресурсы: 1. http//mon. gov. ru/pro/fgos 2. http//www. ege. edu. ru. / 3. http//www. etudes. ru/ 4. http//math. mioo. ru/ 5. http//www. fipi. ru/