ЭКОНОМЕТРИКА Модели со стохастическими регрессорами. Модели со стохастическими

ЭКОНОМЕТРИКА Модели со стохастическими регрессорами

Модели со стохастическими регрессорами Ранее мы предполагали, что COV(xi,ui)=0 На практике это не всегда справедливо Причины: 1. В моделях временных рядов, регрессоры являются функциями времени, что приводит к их корреляции со случайными возмущениями 2. Регрессоры измеряются с ошибками т.е являются случайными величинами 3. Использование лаговых переменных

Модели со стохастическими регрессорами Возможны три ситуации: 1. В уравнениях модели отсутствует корреляция между регрессорами и случайным возмущением (COV(xi,ui)=0 (оценки несмещенные и эффективные) 2. Регрессоры не коррелируют со случайными возмущениями в текущих наблюдениях, но коррелируют со случайными возмущениями в предыдущих наблюдениях: COV(xi,ui)=0, CОV(xi,ui-1)≠0 (Оценки смещенные на небольших выборках и состоятельные на выборках большого объема) 3. Регрессоры коррелируют со случайными возмущениями в текущих уравнениях наблюдений: СOV(xi,ui)≠0 (Оценки смещенные и неэффективные)

Модели со стохастическими регрессорами Рассмотрим модель вида: Система уравнений наблюдений для модели (1.1) (1.1) (1.2) Лаговая переменная yt-1 коррелирует со случайным возмущением в предыдущих наблюдениях Модель (1.1) частный случай авторегрессионных моделей

Модели со стохастическими регрессорами В эконометрике существуют две полезные двойственные концепции, использование которых приводит к моделям с лаговыми переменными: 1. Модель адаптивных ожиданий 2. Модель частичной корректировки

Модели адаптивных ожиданий Спецификация простейшей модели адаптивных ожиданий: (2.1) Переменные: хt –реально наблюдаемая переменная xet – ожидаемое значение переменной xt

Модели адаптивных ожиданий В системе уравнений (2.1) 1. Текущее значение переменной yt объясняется будущим ожидаемым значением xet+1 переменной xt 2. Второе уравнение системы (2.1) моделирует процесс адаптации ожидаемого значения xet+1 к реальному Константа λ характеризует скорость адаптации xet+1 к реальному значению xt Запишем второе уравнение системы (2.1) в виде: (2.2) λ=1 - адаптация ожиданий происходит мгновенно λ=0 - адаптация не происходит вообще Xet+1 интерпретируется как средневзвешенное значение переменных xt и xet

Модели адаптивных ожиданий Внимание. На первый взгляд модель (2.1) не имеет практического применения имеет в спецификации не наблюдаемую переменную. Однако, если рекуррентно применить к (2.2) это же соотношение, то получим: (2.3) Коэффициенты (2.4) – члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При этом (2.4) (2.5)

Модели адаптивных ожиданий Функцию (2.4) целочисленного аргумента i называют распределением лагов Койка Подставив равенство (2.3) в первое уравнение модели (2.1), получим модель адаптивных ожиданий в форме модели распределенных лагов (2.5) Здесь a0, a1, λ, σu – неизвестные параметры модели a1 – предельное значение эндогенной переменной модели (2.1) в долгосрочном периоде a1λ – предельное значение переменной yt в краткосрочном периоде

Модели адаптивных ожиданий 2. Задаются значением максимального лага 3. Задают набор значений параметра λ, например, (0.1, 0.001, 0.0001) 4. Для каждого λ рассчитывается значение переменной Модель (2.5) строится методом последовательных приближений: Значение максимального лага «L» подбирается из условия стабильности значений параметров в ответ на изменение «L» 1. Переменная xet-1 аппроксимируется конечной суммой:

Преобразование Койка модели адаптивных ожиданий Запишем с учетом (2.2) первое уравнение системы (2.1) То же уравнение в предшествующий момент времени имеет вид: Умножив (2.7) на (1-λ), его можно привести к виду: (2.6) (2.7) (2.8)

Преобразование Койка модели адаптивных ожиданий Раскрывая скобки в уравнении (2.6) и подставляя в него правую часть уравнения (2.8), получим эквивалентную форму модели (2.1) (2.9) Уравнение (2.9) называется преобразованием Койка модели адаптивных ожиданий Здесь лаговая переменная yt-1 замещает всю бесконечную последовательность распределения Койка Однако COV(yt-1,ut)=-(1-λ)σ2u≠0 Приемлемый метод оценки модели (2.9) – ММП!

Модель потребления М. Фридмена Кейнсианская модель потребления прогнозирует, что с ростом располагаемого дохода, средняя склонность к потреблению снижается (2.10) Данный прогноз получил название «вечной стагнации» Однако, практика опровергло этот прогноз Следовательно Кейнсианская модель потребления слишком проста для моделирования этого процесса

Модель потребления М. Фридмена Фридмен предположил, что доход Yt и потребление Ct имеют следующую структуру (11) где: Yet – постоянная или ожидаемая часть дохода; vt – нерегулируемая или случайная часть дохода; CPt – постоянная часть потребительских расходов ut – случайная часть потребительских расходов При этом: M(ut)=M(vt)=0

Модель потребления М. Фридмена Фридмен предположил, что постоянная часть текущих потребительских расходов CPt полностью определяется ожидаемой частью текущего дохода Yet (2.12) А ожидаемый уровень дохода подвержен процессу адаптации к реальному значению Yt (2.13)

Модель потребления М. Фридмена Комбинируя (2.11), (2.12) и (2.13), получим модель Фридмена потребительских расходов: (2.14) В результате Фридменская модель потребления в преобразовании Койка имеет вид: (2.15)

Модель потребления М. Фридмена Задача. Оценить модель потребления Фридмена для экономики России Исходные данные Результаты оценки модели Вид модели Склонность к потреблению в краткосрочном долгосрочном периодах

Модели частичной корректировки В экономической практике часто приходится моделировать не фактические значения эндогенной переменной, а ее ожидаемое или целевое значение Такие модели получили название модели частичной корректировки Общий вид такой модели следующий: (3.1)

Модели частичной корректировки В спецификации модели (3.1): y*t –желаемое значение эндогенной переменной в текущий момент времени yt-1 – значение эндогенной переменной в предыдущий период времени xt – текущее значение экзогенной переменной При этом значения переменной y*t наблюдению не поддаются

Модели частичной корректировки Равенство во втором уравнении модели(3.1) моделирует процесс настройки реального уровня эндогенной переменной на ее ожидаемый уровень Константа λ характеризует скорость настройки Второе равенство модели можно записать так: При λ=1 настройка происходит мгновенно При λ=0 Настройка не осуществима Отметим, что спецификация (3.1) содержит четыре неизвестных параметра: а0, а1, λ, σu (3.2) yt – средневзвешенное желаемого уровня эндогенной переменной и фактическим ее значением в предыдущем периоде

Подставив первое уравнение модели (3.1) в (3.2) получим выражение: Модели частичной корректировки (3.3) Поэтому оценку модели (3.3) необходимо проводить по выборке большого объема Оценив параметры модели (3.3), получим оценки всех необходимых параметров: λ, а0 и а1 Модель (3.3) имеет стохастический регрессор yt-1, однако он не коррелирует со случайным возмущением ut , но коррелирует со случайным возмущением ut-1

Построение модели Лизера Модель корректировки уровня сбережений Лизера

Построение модели Лизера Спецификация модели где: S*t –ожидаемый уровень сбережений в текущем году Используется предположение: (4.5) (4.6) Подставляя (4.5) в (4.6) после преобразования получим (4.7)

Построение модели Лизера Вводя новые значения параметров: (4.8) спецификация (4.7) принимает вид: (4.9) Оценка спецификации (4.9) по имеющимся данным Возвращаемся к исходным параметрам согласно (4.8)

Модели со стохастическими регрессорами Выводы: 1. В моделях со стохастическими регрессорами возникают проблемы с выполнением четвертой предпосылки теоремы Гаусса-Маркова 2. К этому виду моделей относятся модели с лаговыми эндогенными переменными в качестве регрессоров 3. Уменьшение влияния не «полного» невыполнения четвертой предпосылки на оценки моделей достигается за счет увеличения объема выборки 4. На практике наибольшее распространение получили модели «частичной корректировки» и «адаптивного ожидания»