ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Д вугранным углом

ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Д вугранным углом называ ется фигур а (рис. 1), образованн ая двумя полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью пространства, ограниченной этими полуплоскостями. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая граничная прямая – ребром двугранного угла. Линейным углом двугранного угла называется угол, полученный в результате пересечения данного двугранного угла и какой- нибудь плоскости, перпендикулярной его ребру (рис. 2). Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Куб 1 В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1. Ответ: 90 o.

Куб 2 В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1. Ответ: 45 o.

Куб 3 В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD 1. Ответ: 90 o.

Куб 4 В кубе A…D 1 найдите тангенс угла между плоскостями ABC и BC 1 D. Решение: Обозначим O середину BD. Искомым линейным углом будет угол COC 1. В прямоугольном треугольнике COC 1 имеем CC 1 = 1; CO = Следовательно,

Куб 5 В кубе A…D 1 найдите тангенс угла между плоскостями ABC и AB 1 D 1. Решение: Плоскость AB 1 D 1 параллельна плоскости BC 1 D. Из предыдущей задачи следует, что

Куб 6 В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BDD 1. Ответ: 90 o.

Куб 7 В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D 1 и BA 1 D. Решение: Заметим, что плоскость равностороннего треугольника BDA 1 перпендикулярна диагонали AC 1, которая проходит через центр этого треугольника. Следовательно, данные плоскости перпендикулярны. Искомый угол равен 90 o. Ответ: 90 o.

Куб 8 В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC 1 и BB 1 D 1. Решение: Заметим, что плоскость равностороннего треугольника ACB 1 перпендикулярна диагонали BD 1, которая проходит через центр O этого треугольника. Искомым линейным углом будет угол B 1 OE, который равен 60 o. Ответ: 60 o.

Куб 9 В кубе A…D 1 найдите косинус угла между плоскостями BC 1 D и BA 1 D. Решение: Пусть O – середина BD. Искомый угол равен углу A 1 OC 1. Имеем Используя теорему косинусов, получим Ответ:

Куб 10 В кубе A…D 1 точка E – середина ребра BB 1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEC 1 и ABC. Решение: Искомый угол равен углу CAC 1. Его тангенс равен Ответ:

Пирамида 1 В правильном тетраэдре ABCD найдите косинус угла между плоскостями ABC и BCD. Решение: Пусть E – середина BC. Искомым линейным углом является угол AED. В треугольнике AED имеем: AD = 1, AE = DE = По теореме косинусов находим Ответ:

Пирамида 2 В правильном тетраэдре ABCD точка E – середина ребра AD. Найдите угол между плоскостями ACD и BCE. Ответ: 90 о.

Пирамида 3 В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями SBC и ABC. Решение: Пусть E, F – середины ребер BC и AD, O – центр основания. Искомым линейным углом является угол SEF. В прямоугольном треугольнике SEO имеем EO = , SE = Следовательно, Ответ:

Пирамида 4 В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус двугранного угла, образованного гранями SAB и SBC. E Решение: Пусть E – середина ребра SB. Искомым линейным углом является угол AEC. В треугольнике AEC имеем: AC = , AE = CE = По теореме косинусов находим Ответ:

Пирамида 5 В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями SAD и SBC. Решение: Пусть E, F – середины ребер AD, BC. Искомым линейным углом является угол ESF. В треугольнике ESF имеем: EF = 1, SE = SF = По теореме косинусов находим Ответ:

Пирамида 6 В правильной 6 - ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, н айдите косинус угла между плоскостями ABC и SBC. Решение: Пусть O – центр основания, G – середин ребра BC. Искомым линейным углом является угол SGO. В прямоугольном треугольнике SGO имеем: OG = , SG = Следовательно, Ответ:

Пирамида 7 В правильной 6 - ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите косинус двугранного угла, образованного гранями SAB и SBC. Решение: В треугольниках SAB и SBC опустим высоты AH и CH на сторону SB. Искомым линейным углом является угол AHC. В прямоугольном треугольнике AHC имеем: AC = , AH = CH = По теореме косинусов находим Ответ:

Пирамида 8 В правильной 6 - ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите косинус двугранного угла, образованного гранями SAB и SBC. Решение: Продолжим ребра AB и DC до пересечения в точке G. В треугольниках SAG и SDG опустим высоты AH и DH на сторону SG. Искомым линейным углом является угол AHD. В треугольнике AHD имеем: AD = 2, AH = DH = По теореме косинусов находим Ответ:

Пирамида 9 В правильной 6 - ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите косинус двугранного угла, образованного гранями SAB и SDE. Решение: Пусть G, H – середины ребер AB, DE. Искомым линейным углом является угол GSH. В треугольнике GSH имеем: GH = , SG = SH = По теореме косинусов находим Ответ:

Призма 1 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 найдите угол между плоскостями ABC и BB 1 C 1. Ответ: 90 o.

Призма 2 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BCC 1. Ответ: 60 o.

Призма 3 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которо равны 1, найдите тангенс уг ла между плоскост ями ABC и A 1 B 1 C. Решение: Обозначим O, O 1 - середины ребер AB и A 1 B 1. Искомым линейным углом будет угол OCO 1. В прямоугольном треугольнике OCO 1 имеем OO 1 = 1; OC = Следовательно,

Призма 4 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и ACB 1. Решение: Обозначим O - середину ребра AC. Искомым линейным углом будет угол BOB 1. В прямоугольном треугольнике BOB 1 имеем BB 1 = 1; BO = Следовательно,

Призма 5 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями ACB 1 и A 1 C 1 B. Решение: Данные плоскости пересекаются по прямой DE. Обозначим G середину DE и F середину AC. Угол BGF будет искомым. В треугольнике BGF имеем BF = ; BG = FG = По теореме косинусов, имеем

Призма 6 В правильной 6 -й призме A…F 1 найдите угол между плоскостями ABC и ABB 1. Ответ: 90 о.

Призма 7 Найдите двугранный угол, образованный соседними боковыми гранями правильной 6 -й призмы A…F 1. Ответ: 120 о.

Призма 8 В правильной 6 -й призме A…F 1 найдите угол между плоскостями ABB 1 и CDD 1. Ответ: 60 о.

Призма 9 В правильной 6 -й призме A…F 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и CDD 1. Ответ: 90 о.

Призма 10 В правильной 6 -й призме A…F 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и DEE 1. Ответ: 30 о.

Призма 11 В правильной 6 -й призме A…F 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и CEE 1. Ответ: 60 о.

Призма 12 В правильной 6 -й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и BCD 1. Решение: Искомый угол равен углу O 1 GO, где O, O 1 – центры оснований призмы, G – середина BC. В прямоугольном треугольнике O 1 GO имеем: OO 1 = 1, OG = . Следовательно, Ответ:

Призма 13 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BCE 1. Решение: Искомый угол равен углу E 1 CE. В прямоугольном треугольнике E 1 CE имеем: EE 1 = 1, CE = , CE 1 = 2. Следовательно, . Ответ: .

Призма 14 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BDE 1. Решение: Искомый угол равен углу E 1 DE. Он равен 45 о. Ответ: .

Призма 15 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и BDF 1. Решение: Искомый угол равен углу F 1 GF, где G – середина BD. В прямоугольном треугольнике F 1 GF имеем: FF 1 = 1, FG = Следовательно, Ответ:

Призма 16 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и ADE 1. Решение: Искомый угол равен углу E 1 GE, где G – середина CE. В прямоугольном треугольнике E 1 GG имеем: EE 1 = 1, EG = Следовательно, Ответ:

Призма 17 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями CDE 1 и AFE 1. Решение: Пусть O, O 1 – центры оснований призмы, P, Q – середины ребер AF и CD. Искомый угол равен углу PO 1 Q. В треугольнике PO 1 Q имеем: PO 1 = QO 1 = , PQ = Из теоремы косинусов получаем Ответ:

Призма 18 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями CDF 1 и AFD 1. Решение: Пусть O – центр призмы, G, G 1 – середины ребер CD и C 1 D 1. Искомый угол равен углу GOG 1. В треугольнике GOG 1 имеем: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Следовательно, = 60 о. Ответ:

Призма 19 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями BCD 1 и AFE 1. Решение: Пусть O, O 1 – центры боковой грани и верхнего основания призмы. Искомый угол равен углу A 1 GB 1, где G – середина OO 1. В треугольнике A 1 GB 1 имеем: A 1 B 1 = 1, A 1 G = B 1 G = Из теоремы косинусов получаем Ответ:

Призма 20 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями BCC 1 и AFE 1. Решение: Продолжим отрезки CB и FA до пересечения в точке G. Прямая B 1 G будет линией пересечения данных плоскостей. Из точки A опустим перпендикуляры AO и AH соответственно на прямые B 1 G и BG. Угол AOH будет искомым линейным углом. По теореме косинусов находим

Октаэдр Найдите двугранные углы октаэдра. Решение: Рассмотрим правильный октаэдр с ребром 1. Из вершин E и F опустим перпендикуляры EG и FG на ребро BC. Угол EGF будет линейным углом искомого двугранного угла. В треугольнике EGF имеем: EF = , EG = FG = . Используя теорему косинусов, находим . Откуда 109 о 30'. Ответ: , 109 о 30'.

Икосаэдр Найдите двугранные углы икосаэдра. Решение: Рассмотрим правильный икосаэдр с ребром 1. Из вершин A и C опустим перпендикуляры AG и CG на ребро BF. Угол AGC будет линейным углом искомого двугранного угла. В треугольнике AGC имеем: AC = , EG = FG = . Используя теорему косинусов, находим . Откуда 138 о 11'. Ответ: , 138 о 11'.

Додекаэдр Найдите двугранные углы додекаэдра. Решение: Рассмотрим правильный додекаэдр с ребром 1. Из вершин A и C опустим перпендикуляры AG и CG на ребро BF. Угол AGC будет линейным углом искомого двугранного угла. В треугольнике AGC имеем: AC = , EG = FG = . Используя теорему косинусов, находим . Откуда 116 о 34'. Ответ: , 116 о 34'.