{ двойной интеграл – двукратный интеграл — пример

Скачать презентацию { двойной интеграл – двукратный интеграл — пример Скачать презентацию { двойной интеграл – двукратный интеграл — пример

zykina.ppt

  • Размер: 2.3 Мб
  • Автор:
  • Количество слайдов: 11

Описание презентации { двойной интеграл – двукратный интеграл — пример по слайдам

{ двойной интеграл – двукратный интеграл - пример – замена переменной в двойном интеграле{ двойной интеграл – двукратный интеграл — пример – замена переменной в двойном интеграле – якобиан преобразования – вычисление двойного интеграла в полярной системе координат – примеры }

Двойной интеграл z x y 0 k n * k k k max 0Двойной интеграл z x y 0 k n * k k k max 0 k 1 S nf ( x , y )d lim f ( x , y * ) nnn n k kkk)y, x(f. . . )y, x(f)y, x(f 222111 1 Sf(x, y) z = f(x, y ) k * * k k kf ( x , y ) i j n m i j jmax x , y 0 i 1 j 1 m, n lim x f ( x , y ) y % k k n * * k kmax x , y 0 k 1 Sn f ( x , y )dxdy lim f ( x , y ) x y 1 1 ( x )b a ( x )dx f ( x , y ) dy % 2 1 ( x ) b a ( x ) f ( x , y ) dxdy Двойной интеграл Двухкратный интеграл x = a x = b 1 x xa b Интегральная сумма Римана

@@ Вычислить двойной интеграл: Решение Примерdxdy yx S 42 2030, , : S @@ Вычислить двойной интеграл: Решение Примерdxdy yx S 42 2030, , : S dxdyyxdxdy yx S 3 0 2244 dxyyx 3 0 22 0 2 2 3 2 0 2 x 8 dx 33 2 x 8 x 3 0 42 y x 2 3 S

S 2 Двойной интеграл z x y 0 Sz = f(x, y)2 1 (S 2 Двойной интеграл z x y 0 Sz = f(x, y)2 1 ( x )b S S a ( x ) f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dy dx Объем цилиндроида (цилиндрического бруса) y = c y = d 2 y 1 y 2 1 ( y ) d S c ( y ) f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dx dy dc Свойства S S Saf ( x , y ) bg( x , y ) d a f ( x , y )d b g( x , y )d 1 2 S S S f ( x , y )d 1 2 s s s S 1 Площадь плоской фигуры — S d Теорема Фубини d b b d S c a a c f ( x , y ) dxdy d c a b S : a, b c , d

@@ Вычислить двойной интеграл: Решение Пример dxdy e D yx 3 D x ,@@ Вычислить двойной интеграл: Решение Пример dxdy e D yx 3 D x , y 1 y 2 , y x y y xy = 1 y = 2 x = y 3 2 1 3 dydxey y yx dxdy e D yx 2 1 3 dy y y yey x dy yeyey 2 1 1 2 22 12 2 eyey 1 4 2 2 e e DD DD 11 DD 22 dxdy e D yx 3 3 x x 2 x 8 2 y y 1 2 x x e dy dx 1 2 x x y y D D e dxdy Второй способ вычисления интеграла — неэффективен

Пример @@ Решение. Вычислить     8 ln x y 2 0Пример @@ Решение. Вычислить 8 ln x y 2 0 e dxdy 8 ln x y y 2 0 e dxdy e dy dx 8 y 2 ln x e dx 0 8 2 x 1 dx 2 8 x x 24 2 2 y x X = 2 X = 8 lnx. SS

v u. V = 2 V = 5 U = 1 U = 3v u. V = 2 V = 5 U = 1 U = 3 Замена переменных в двойном интеграле Замена переменных в двойном интеграле определяется отражением T области R в плоскости uv в область S плоскости xy. y x (x, y) S v u (u, v) Ry x Y = 2 -x Y = 5 -xy = 2 x+3 y = 2 x+1 Пусть S – область , ограниченная прямыми линиями y = 2 x + 3 , y = 2 x + 1 , y = 5 — x and y = 2 — x. Найти преобразование T с отражением области R в плоскости uv на S , где R – прямоугольная область с границами , параллельными осям u , v. Пример. S R xyv xyu 2 2 vuy v-ux

Якобиан преобразования Якобианом преобразования называется определитель : x x u v y y uЯкобиан преобразования Якобианом преобразования называется определитель : x x u v y y u v¶ ¶ ¶ ¶ ¶Js R ( x , y ) f ( x , y ) dxdy f ( x ( u, v ), y( u, v )) dudv ( u, v ) Замена переменной в двойном интеграле y x (x, y) S v u (u, v) R s R f ( x , y ) dxdy f ( x ( u, v ), y( u, v )) dudv J 1 ¶ ¶ ¶¶ )y, x( )v, u( )y, x( ¶ ¶ J

Пример @@ Решение. Вычислить     y x. Y = 2 -xПример @@ Решение. Вычислить y x. Y = 2 -x Y = 5 -xy = 2 x+3 y = 2 x+1 S 2 S ( x 2 xy ) dxdy y 2 x 1 y 2 x 3 S : y 2 x y 5 x xyv xyu 2 2 vu y v-u x 3 3 1 1 1 3 3 3 1 2 3 3 JRS dudv))vu)(vu()vu((dxdy)xyx(3 1 9 2292 22 R dudv)vuvuvu(22224422227 1 R dudv)vu(22 9 1 dudv)vu( 3 1 5 2 22 9 1 duvvu 3 1 32 2 5 39 1 du u 3 1 2117927 1 1 3 117327 13 uu 952 7826 91 1 3 39 913 uu 1 ¶ ¶ ¶¶ )y, x( )v, u( )y, x( 12 11 31 1 J v u. V = 2 V = 5 U = 1 U = 3 R

Двойной интеграл в полярной системе координат Якобиан преобразования : Преобразование T :  отражениеДвойной интеграл в полярной системе координат Якобиан преобразования : Преобразование T : отражение области R : на S: x, y. siny cosx : T cos sin cos ), ( )y, x( ¶¶ J J RS dd)sin, cos(fdxdy)y, x(f )(g. R dd), (f 2 1 y x( , )(x, y) SR 0 g 2() g 1() 0 п. о. R d d d

Пример Решение. The area of the region  D  is then,  Пример Решение. The area of the region D is then, Найти площадь плоской фигуры , ограниченной кривой и лежащей вне круга 3 2 sin 2 2 x y 4 £ 0 2 2 2 x y 2 2 3 2 sin 1 sin 2 7 6 6 2 3 2 sin R S d 3 2 sin 7 / 6 2 d d R 1 = = 7 / 6 2 / 6 3 2 sin d 2 2 7 / 6 7 6 sin cos 2 d 2 7 / 67 1 6 cos sin 2 2 2/ 6 11 3 14 24. 187 2 3 R S d d @@