ДМ Булевские функции. Инъективные, сюръективные и биективные функции.

ДМ

Булевские функции. Инъективные, сюръективные и биективные функции. Обратимая функция Множество M с двумя введенными бинарными операциями (Ù-конъюнкцией ,Ú - дизъюнкцией), одной унарной операцией (* - отрицанием. которая обозначается либо звёздочкой, либо чертой над элементом или выражением, или знаком минус перед рассматриваемым элементом) и двумя выделенными элементами называется булевой алгеброй, если выполнены следующие свойства (аксиомы булевой алгебры). 1. X Ù Y = YÙX, X Ú Y = Y Ú X – коммутативность. 2. (X Ù Y) Ù Z = X Ù (Y Ù Z), (X Ú Y) Ú Z = X Ú (Y Ú Z) – ассоциативность. 3. (X Ú Y) Ù Z = (X Ù Z) Ú (Y Ù Z), (X Ù Y) Ú (Y Ù Z) = (X Ú Z) Ù (Y Ù Z) – дистрибутивность. 4. Поглощение – X Ù X = X, X Ú X = X. 5. Свойства констант X Ù 0 = 0 X Ù I = X, где I – аналог универсального множества. 6. Инвальтивность (двойное отрицание) (X*)* = X 7. Дополнимость X Ú X* = I, X Ù X* = 0. 8. Законы двойственности(законы де Моргана): (X Ù Y)* = X* Ú Y*, (X Ú Y)* = X* Ù Y* Булева алгебра 2n всех подмножеств данного множества. U = {a1, a2… an} [U] = N - мощность U [P(U)] = 2n - мощность подмножеств P множества U Легко показать, что свойства операций над множествами совпадают со свойствами (аксиомами) булевой алгебры. То есть, множество P(U) с операциями объединения, пересечения и дополнения является булевой алгеброй. Oбъединение эквивалентно Ú, пересечение - Ù дополнение - *, пустое множество – 0, а универсальное – I. Все аксиомы булевой алгебры справедливы в операциях над множествами. Различные определения булевой алгебры, включают: булевы алгебры - это частично- упорядоченные множества специального типа: булева алгебра - это алгебраическая система, которая в зависимости от обстоятельств может быть интерпретирована либо как система событий, либо как система высказываний, либо как дистрибутивная структура , то есть структура с двумя операциями, с неравными друг другу единицей (1) и нулём (0), в которой всякий элемент имеет дополнение Формы представления булевой алгебры включают формы характеристических векторы, формы высказываний, формы множеств.

Частичный порядок. Линейный порядок. Диаграмма Хассе.

Симметричные отношения. Бинарные отношения. Отношения эквивалентности. Рефлексивные отношения.

Карта Карно. Упрощение булевых выражений с использованием карты Карно.

Матрица примыканий и список примыканий, которые используется для представления графов. Алгоритм обхода графа в глубину. Алгоритм обхода графа по уровням.