Для проведения письменного экзамена надо составить 4 варианта

Для проведения письменного экзамена надо составить 4 варианта по 7 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 28 задач на 4 варианта? Будем считать, что порядок следования задач в каждом варианте безразличен, порядок следования вариантов также безразличен.

По правилу произведения получаем: Варианты равноправны, поэтому полученное число надо разделить на 4! =

Риэлтерская фирма предлагает на продажу 5 больших квартир и 4 малогабаритных. Банк намерен купить 4 квартиры, причём среди них не должно быть более двух малогабаритных. Сколько вариантов выбора имеет банк?

Банк может купить 4 большие квартиры. У него есть возможность выбрать 4 из 5 -ти предлагаемых квартир, и число вариантов здесь равно. Если банк решит купить три большие квартиры и одну малогабаритную, то число вариантов выбора у него будет равно. Если будет принято решение купить две малогабаритных квартиры и две больших квартиры, то число вариантов будет равным Таким образом, у банка есть 105 вариантов выбора

10 молодых людей решили отпраздновать окончание университета обедом в ресторане. Когда все собрались, и обед был подан, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие по возрасту, третьи - по росту и т. д. Спор затянулся, суп успел остыть, а за стол никто не садился. Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью: Друзья мои, сядьте за стол как кому придется и выслушайте меня. Все сели как попало. Официант продолжал: Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать, и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т. д. , пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда, обещаю торжественно, я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами. Рисковал ли официант, давая такое обещание? Сколько раз пришлось бы молодым людям посетить ресторан, чтобы дождаться бесплатных обедов?

Число всех возможных размещений за столом равняется 3628800 (почти 10 тысяч лет).

Количество перестановок из n элементов без повторений: n! Количество перестановок из n элементов с повторениями: n P , n , …, n = n 1 2 k n! n 1! n 2! … nk! где ni – количество повторений i-го элемента, k

Количество вариантов выборки n – общее число элементов, k – количество элементов в выборке C учётом порядка С возвращениями Без возвращений k S n = nk n! А n= (n-k)! k Без учёта порядка ~ k k С n = C n+k-1 k С n= n! k!(n-k)!

Основы теории вероятностей

Пусть М - некоторое множество, а М, |М|=n. Требуется выбрать из этого множества наугад один элемент. Если шансы каждого элемента быть выбранным одинаковы, то какова вероятность того, что выбранным элементом окажется а?

Если n – общее количество однотипных событий, то вероятность наступления каждого из них равна 1 n Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число очков, делящееся на 3?

В зале присутствуют 200 студентов из одного ВУЗа, 250 из второго, 300 - из третьего. Какова вероятность того, что студент, с которым Вы случайно заговорили, учится во втором институте?

Допустим теперь, что нам надо определить вероятность некоторого события а экспериментально, проведя серию опытов. n – общее количество испытаний, среди них в m случаях произошло интересующее нас событие а Тогда вероятность наступления данного события равна m Р(а)= n

Допустим, что в некотором тексте (не содержащем ошибок и опечаток) встретилось буквосочетание которо. Проведём эксперимент: отгадайте следующую букву текста? Для носителя языка ясно, что это может быть только одна из букв г, е, й, м. Каждое из этих событий случайно, так как может произойти, а может и не произойти.

Результат опыта полностью исчерпывается только каким-либо одним из этих событий, значит эти события элементарны. Сложное событие – это событие, состоящее из нескольких элементарных (например, «появление букв м или е» ) События несовместимы, если появление одного из них при данном испытании исключает появление другого В противном случае события совместимы

Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти в результате произведённого опыта (исход опыта) Вероятность некоторого события равна отношению числа равновероятных исходов, благоприятных для данного события, к общему числу равновероятных исходов.

Если опыт может иметь несколько разных исходов, то ему соответствует таблица вероятностей: Исходы опыта А 1 Вероятности Р(А 1) А 2 Р(А 2) … Аk Р(Аk)

Пример. Число 0 бракованных изделий в сутки 1 2 3 Вероятности 0, 4 0, 2 0, 1 0, 3

Вероятность события А всегда находится в интервале между 0 и 1: 0 Р(A) 1

Если для некоторого А выполнено Р(А)=0, то А – практически невозможное событие. Если для некоторого А выполнено Р(А)=1, то А – достоверное событие. Если для некоторого А не выполнено ни то, ни другое, то А – случайное событие.

Пусть нас интересует случай, когда выполняется хотя бы один из возможных исходов А или В. Такое событие называется суммой событий А и В, обозначается А+В. Произведением двух событий А и В называется ситуация, когда выполняются сразу оба события А и В, обозначается АВ

Возможны такие варианты: 1) События А и В несовместимы, тогда Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (правило сложения вероятностей) 2) События А и В совместимы, тогда Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Допустим, что А происходит в m 1 из n 1 равновероятных исходов первого опыта, а независимое от него событие В – в m 2 из n 2 равновероятных исходов второго опыта. m 1 Тогда - вероятность события А, n 1 m 2 - вероятность события В n 2 m 1 m 2 Тогда Р(АВ)= = n 1 n 2 (правило умножения вероятностей)

Пусть А 1, А 2, … Аk – все такие события, что при каждом единичном испытании должно наступить одно и только одно из этих событий. Тогда эти события образуют полную систему событий Сумма вероятностей событий, образующих полную систему, равна единице: Р(А 1)+Р(А 2)+…+Р(Аk)=1

Вероятность, которую имеет событие В в том случае, когда известно, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В при условии А, обозначается РА(В) Если события А и В независимы, то РА(В)=Р(В)

В классе 30 одноместных парт. Сколькими способами можно рассадить на них шестерых школьников? Сколько существует пятизначных чисел, начинающихся с цифры 2 и оканчивающихся на 4? Сколько пятизначных чисел, не содержащих цифру 5?

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых содержит 4 цифры. Сколько таких чисел можно составить, если повторения цифр в числах запрещены? Сколько сигналов можно поднять на мачте, имея 4 флага различных цветов, если каждый сигнал должен состоять не менее чем из 2 флагов?

Задумано двузначное число. Найдите вероятность того, что задуманным числом окажется случайно названное двузначное число. Брошены два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 3.

В группе 12 студентов, среди которых 5 отличников. Наугад отобрано 8 студентов. Найдите вероятность того, что все отличники вошли в число отобранных студентов.

Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найдите вероятность того, что набраны нужные цифры.