«Дискретная математика представляет собой математический аппарат и технику,

«Дискретная математика представляет собой математический аппарат и технику, необходимую для проектирования и понимания вычислительных систем.» Р.Хаггарти

Изучаемые разделы: Основы комбинаторики Основы теории графов Основы теории кодирования Основы теории конечных автоматов Список литературы: Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. Гаврилов Г. П. Задачи и упражнения по дискретной математике. Белоусов А. И. Дискретная математика. Зайцева С. С. Дискретная математика.

3 §1 Множества. Множества. Операции над множествами.

4 Способы описания некоторого множества: Задать список элементов, входящих в данное множество. А={a1,…,an} Указать общее свойство элементов, принадлежащих множеству. А={х|Р(х)}, где Р(х) – свойство, характеризующее в точности все элементы множества А Указать порождающую процедуру, т.е. способ получения элементов множества А.

5 Примеры задания множеств Пример1: Множество М арабских цифр: перечислением М={0,1,2,…,9} посредством свойства М={x| x –арабская цифра} Пример2: Множество нечётных чисел перечислением { } порождающая процедура

6 Основные операции над множествами Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то А называется подмножеством множества В. А  В Два множества А и В называются равными, если справедливо А  В и В  А тогда А=В

7 Объединение множеств А и В есть множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В - объединение произвольной системы множеств А1,…,Аn.

8 Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам А и В - пересечение произвольной системы множеств А1,…,Аn.

9 Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества А, которые не принадлежат В Если А – подмножество множества U (универсальное множество), то дополнение множества А в множестве U, есть множество, состоящее из тех и только тех элементов U, которые не принадлежат А:

10 Булеан множества А есть множество всех подмножеств множества А: Прямое (декартово) произведение непустых множеств А и В (АВ) определяется как множество всех упорядоченных пар вида (х1, х2), где х1А, х2В. Для упорядоченных пар (х1, х2), (х1/, х2/) справедливо:

11 Прямое произведение системы множеств А1,…,Аn: причём Если

12 2. Алгебра множеств Идемпотентные законы Законы тождества А   = А А   =  Законы дополнения   

13 Законы коммутативности Законы ассоциативности Законы дистрибутивности

14 Законы де Моргана Проверка всех законов может быть выполнена с помощью диаграмм Венна или часто используемого в теории множеств Метода сравнения элементов. К экзамену доказать все законы.

15 Принцип двойственности Символы  и  и символы и  называются двойственным друг к другу. Если в каком-либо из основных законов заменить каждый из этих символов на двойственный ему, то в результате снова получится один из этих же законов, например: Отсюда имеем: каждой теореме, которая может быть выведена из основных законов, соответствует другая, двойственная ей теорема, получающаяся из первой посредством указанных перестановок символов.

16 3. Эквивалентные множества. Мощность множеств. Если элементы двух множеств А и В могут быть приведены в по парное соответствие таким образом, что каждому элементу из множества А сопоставлен один и только один элемент из множества В, а каждому элементу из множества В сопоставлен один и только один элемент из множества А, то такое соответствие называется взаимно-однозначным.

17 Два множества называются (количественно) эквивалентными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Число элементов в множестве А называется мощностью и обозначается |А|. Относительно двух эквивалентных множеств говорят, что они имеют одинаковую мощность.

18 Если множество А конечно, то оно не может быть эквивалентно никакому своему правильному подмножеству, то есть такому множеству, которое состоит из элементов множества А, но не из всех его элементов. Если данное множество содержит бесконечное число элементов, то оно может быть эквивалентно некоторому своему правильному подмножеству. взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством всех чётных чисел, при этом второе есть правильное подмножество первого