Dimensión fractal y problemas de escala Carlos Reynoso

$Dimensión fractal y problemas de escala Carlos Reynoso UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES http: //carlosreynoso.$

Dimensión fractal y problemas de escala Carlos Reynoso UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES http: //carlosreynoso. com. ar

Objetivos • Comprender el carácter problemático de la noción de escala • Clarificar un concepto expresivo pero delicado • Establecer una forma relativamente correcta de trabajar con la cuestión • No meterse en cuestiones excesivamente técnicas o en problemas de camarillas de los geómetras • Examinar las principales herramientas de análisis de dimensión fractal y sus aplicaciones – Patrones de asentamiento, formas geométricas, series temporales, música • Establecer tareas y recursos 2

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Agenda • • • Problemas de escala Dimensión fractal Conceptos esenciales Herramientas Casos en ciencias sociales, arte, diseño, arquitectura • Recursos • Tareas a realizar 3

Problemáticas de la escala (1/2) • Presupuestos de monotonía y homogeneidad en el análisis espacial clásico • Inexistencia de “longitudes” precisas independientes de la unidad de medida • Falacia locacional – Presupuesto de ubicación única de los actores, con impacto en análisis sanitario, etc – Casa, trabajo, transporte • Problema de la unidad areal modificable (MAUP) – Diferentes correlaciones con distintas agrupaciones de datos – De -0, 99 a +0, 99 4

Problemáticas de la escala (2/2) • Problema del límite [boundary problem] – Diferentes formas de trazar los límites producen distintos resultados en la estimación de la distribución y en diversos párámetros estadísticos • Autocorrelación espacial – – – Primera ley de la geografía (Waldo Tobler, 1970) Modelo gravitacional Imposibilidad de aplicar estadísticas convencionales • Falacia ecológica – Imposibilidad de inferir probabilidades individuales a partir del conjunto • Múltiples distribuciones en un área • Cómo pasar de lo local a lo global 5

$Fractales - Conceptos • Dimensión fractal • Auto-repetición (homotecia) • Distribución de ley de$

Fractales - Conceptos • Dimensión fractal • Auto-repetición (homotecia) • Distribución de ley de potencia – Ruido 1/f 6

Distribución normal • Cerca del 68% del conjunto se encuentra a 1 desviación estándar de la media, 95 a 2 y 99, 7 a 3 • Regla de 68 -95 -99, 7 • Mal llamada “curva de Bell” 7

Ley de potencia • Independiente de escala = No hay valores normales, ni una media, ni una escala característica • La dispersión de los valores puede ser de orden astronómico 8

$Dimensiones fraccionales 0 1 . 2 3 0. 4498 0. 6309 1. 2619 2$

Dimensiones fraccionales 0 1 . 2 3 0. 4498 0. 6309 1. 2619 2 2. 06 1. 5850 2. 7268 1. 70 9

$Dimensión fractal • Benoît Mandelbrot – Geometría fractal de la naturaleza – Los objetos$

Dimensión fractal • Benoît Mandelbrot – Geometría fractal de la naturaleza – Los objetos fractales • Dimensiones geométricas no enteras • ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? – Lewis Fry Richardson, 1928 • Log/log = Ley de potencia • “Las montañas no son conos, las nubes no son esferas, las islas no son círculos, los rayos no son líneas rectas” • Dimensión efectiva: depende de escala de observación • No es subjetivo según el observador, sino función determinista de la escala 10

¿Cuánto mide. . . ? 1. 24958 11

Versión en cuenta de cajas • Basado en Wolfgang Lorenz (2001) 12

Paradoja de Steinhaus 13

Richardson-Hayes 14

$Dimensión fractal • Método de la cuenta de cajas – Dimensión logarítmica, de entropía$

Dimensión fractal • Método de la cuenta de cajas – Dimensión logarítmica, de entropía o de capacidad • Logaritmo natural – Tamaño de la caja – Número de cajas en que aparece la curva • Inclinación de la curva Dimensión = 1, 24958 15

Conteo de cajas (box counting) • Método simple de asignar una dimensión a un conjunto, tal que en ciertos casos esa dimensión no es entera • Estos conjuntos son los llamados fractales • Desde el punto de vista dinámico, los conjuntos con propiedades fractales se dice que están regidos por atractores extraños 16

Jerga técnica • Transformada de Wavelet – – Método de transformación de ondas complejas Sirve, entre otras cosas, como procedimiento para calcular la dimensión fractal de un objeto – Hay varias clases: continua, compleja, discreta • Transformada de Fourier – Método alternativo – Se usa para calcular espectro de potencia • Detección o extracción de bordes • Thresholding – Establecer umbrales de datos a tratar – Rango para pasar otros colores a blanco o a negro 17

Jerga técnica • [Sliding box] lacunarity – Medida de heterogeneidad de una imagen. – Similar a standard box counting. • Convex hull – Identificación de los pixels más distantes de una imagen y trazado del círculo correspondiente. • Análisis multifractal – Permite establecer si la estructura se rige por un solo principio constructivo o si éste varía a distintas escalas. – O también: identifica diferentes partes del atractor que poseen diferentes conductas de escala. – La mayoría de los objetos complejos reales o de las series temporales es multifractal. 18

$Jerga técnica • Lagunaridad – Cómo llena un fractal un espacio – Fractales densos$

Jerga técnica • Lagunaridad – Cómo llena un fractal un espacio – Fractales densos tienen baja lagunaridad 19

Lagunaridad 20

$Jerga técnica • Agregación limitada por difusión (DLA) – Modelo fractal de crecimiento (urbano)$

Jerga técnica • Agregación limitada por difusión (DLA) – Modelo fractal de crecimiento (urbano) – Propiedades parecidas: gradiente de densidad negativa, estructuras caóticas ordenadas – Algunos programas fractales incluyen un módulo de DLA – Algunos programas de medición de densidad también (Frac. Lab) – Idem modelos basados en agentes – Estudiado como fenómeno urbano por Batty, Longley y Fotheringham – Otros geógrafos utilizan modelos de percolación • Cuyo gráfico es una escalera del diablo* 21

Washington-Baltimore & DLA 22

$Importancia de DLA • Los formas de agregación son fractales • A mayor fractalidad,$

Importancia de DLA • Los formas de agregación son fractales • A mayor fractalidad, mayor presunción de organicidad y auto-organización • Baja probabilidad de asentarse en el centro • Quizá DLA no sea un buen modelo, pero es una base para pensar en modelos de crecimiento – Los modelos algorítmicos simples (en contra de las funciones analíticas, que pueden no existir) permiten una comprensión conceptual más clara. 23

Importancia de DLA • Otros modelos alternativos – – – – – Modelo de Eden Sólido-sobre-sólido [solid-on-solid] Deposición aleatoria Deposición balística estocástica Percolación de invasión Percolación dirigida Screened growth model Modelo polinuclear Modelos carcinogénicos • DLA sigue siendo el más popular 24

Dilación 25

Preliminares • Pasar a gama de grises • Dilación • Thresholding • Extracción de bordes • Pre-procesamiento de imágenes – Con analizadores fractales o con programas especializados. – Programa recomendado Image. J, con propio analizador fractal 26

Programas • • **Har. FA **Frac. Lab Fractalyse Frac. Top Fractal 3 e Kindratenko Simu. Lab Frac. Lac - Módulos (plugins) de Image. J 27

**Har. FA • Versión reducida disponible – Versión completa, supeditada a posteo de un paper • Análisis armónico (Transformada de Fourier), análisis de wavelet y análisis fractal • Diversas técnicas de reconocimiento de bordes, eliminación de márgenes (borlas, escalas), filtrado (incluyendo Kuwahara*) • El más completo en cuanto a formatos – Imágenes, series temporales, videos, música en forma directa • Observación: Espectros discretos y continuos dan dimensiones diferentes. 28

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**Frac. Lab • Componente de Matlab, independiente • Síntesis de funciones parametrizadas – DLA, secuencias 1/f, percolación, IFS, movimiento browniano, movimientos estables – f. BM, m. BM – Se pueden simular texturas en 2 D • Cálculos de dimensiones de señales, imágenes o datos binarios • Cálculo multifractal y de exponentes • Métodos de limpieza (denoising) • Insólitamente, no tiene dilación 30

**Frac. Lab • Interpolación – Se pueden tomar series temporales generadas por la ecuación logística o datos de terreno – Se pueden hacer interpolaciones en series cortas para analizarlas en los gráficos de recurrencia de VRA, etc • Precaución – Medir dimensión de archivos binarios con método binario. – Si se mide por escala de grises la dimensión fractal es mucho mayor (casi una unidad) – Igual precaución debe observarse con otros programas 31

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Práctica • Análisis del índice Nikkei – Fraclab_mcr nikkei 225. txt • Generación de síntesis de percolación y diffusion-limited aggregation • Elegir siempre dimensión de regularización y no conteo de caja – Es más exacto y menos voluble • Los archivos de texto (series temporales de Excel, por ejemplo) deben estar separados por tabulaciones 33

Fractalyse • Basado en Matlab, autónomo – Desarrollado por Gilles Vuidel & Pierre Frankhauser (escuela francesa) • Soporta Tab, BMP, TIF (sólo B&W) • Se requieren imágenes bien contrastadas • Un poco inestable – Algunas opciones señaladas como Testing son de resolución incierta • Box counting, dilación, lagunaridad, multifractal, tentacularidad, extracción de borde – No proporciona información tabular de medidas de caja – Si lo hacen Simu. Lab y Frac. Top • • La dilación es una de las mejores en plaza Práctica de lagunaridad con mapa de Milán 34

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Fractal 3 e • Programa de la Secretaría de Agricultura y Ganadería de Japón, prestaciones limitadas • Pocos formatos gráficos (BMP) • Ciertas imágenes complejas no pueden ser tratadas • Buenas operaciones de preprocesamiento • Problemas de foco en el form de resultados • Hay una versión más nueva (3. 4. 6) y sigue siendo gratis, pero hay que tramitar el pedido • Vigilar sobre qué color se realiza el cálculo • Gráfico log/log y tabla de valores por caja 36

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Image. J – Preparación de imágenes • Open Source con innumerables módulos agregados – Es el sitio por excelencia para computación de imágenes • Prestaciones casi ilimitadas de tratamiento preliminar de representaciones gráficas • No es para efectos bonitos (tipo Photoshop) sino para manipulación, conversión y análisis • No lee BMP compactado, pero debe haber un plugin en alguna parte • Incluye módulo de análisis fractal – El archivo. Jar de análisis fractal debe copiarse al directorio plugins 38

Image. J 39

Kindratenko • Fractal Analysis of Contours 1. 0, ca. 2000 • Básico, pero adecuado para problemas simples* que no requieren demasiada especificación • No mide música, video ni series temporales – Sólo contorno de imágenes. • Se controla con botón derecho. Encuentra automáticamente el contorno, pero *sólo de imágenes monocromáticas únicas. • Cuando se obtiene la curva, el objetivo es trazar una línea entre dos medidas cualesquiera. • Sirve para mostrar variabilidad de la dimensión conforme a la inclinación de la línea. 40

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Frac. Top • • Modelo analítico simple, ca. 2003 – Java RE Programa de la Charles Sturt University (Australia) http: //www. csu. edu. au/faculty/sciagr/eis/fractop/ La visualización de las imágenes poco contrastadas es un poco sumaria Las operaciones de thresholding etc no están documentadas JPG, GIF, PNG, TIFF, pero no BMP Las tablas de pueden pasar a Excel y analizar allí como gráfico XY, con ejes logarítmicos Vale la pena comparar los gráficos built in con los de Excel, que son más controlables y profesionales 50

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Simu. Lab • Programas de la Universidad de Bar-Ilan, Israel, ca. 2000 – Tecnología de 16 bits • Sólo soporta BMP en blanco y negro, sin compactar • Módulos de fractalidad de costas y de análisis fractal de formas diversas • Métodos de regla y caja • Permite comparar diferencias de resultados entre ambos procedimientos • No funciona en Windows Vista / Windows 7 52

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Aplicaciones en estudios urbanos

Michael Batty – Pierre Frankhauser • Batty & Longley, Fractal cities, 1994. – Análisis de la dimensión fractal de las áreas urbanas – Las ciudades planificadas tienden a ser ortogonales (no fractales) – Las periferias se fractalizan – Las áreas de poblamiento no planificado son fractales (de agregación) – En Cardiff, proceso histórico inverso por mejoras en el sistema de transporte del centro a la periferia • Frankhauser – Relación de dimensión fractal con renta, especializaciòn funcional, etc 56

Batty & Longley (cont. ) 57

Análisis innovador de modelos de crecimiento (esp. Orgánico) 58

Análisis innovador de modelos de crecimiento (esp. Orgánico) 59

Relación entre jerarquía y distribuciones de Pareto / Zipf • Autosimilitud en diversas escalas • Distribuciones de ley de potencia • Vinculación con la ley de Zipf de rango/frecuencia para las ciudades 60

Aplicaciones • Geografía urbana – Ejemplo • Investigaciones de Frankhauser 61

Investigaciones de Frankhauser 62

Aplicaciones • Rodina, Rodin, Dumachev – Optimización de patrullaje policial en Moscú • Zonas residencias sub-patrulladas: mayor D 63

Analogía entre neoplasmas malignos y crecimiento urbano (1/2) • Warren Hern, U. Colorado (2008) 64

Baltimore-Washington (Masek & al 2006) 65

Analogía entre neoplasmas malignos y crecimiento urbano (2/2) • Rasgos propios de procesos de criticalidad autoorganizada – http: //carlosreynoso. com. ar/criticalidad-auto-organizada-ydinamicas-complejas/ • Metástasis (colonización distante) • Crecimiento rápido • Progresión (tasa creciente de expansión en nuevas colonias) • Invariancia de escala • Topofagia (devora los espacios disponibles) • Falta de mecanismos antagónicos inhibitorios • Apoptosis (resistencia a la extinción normal) – Semejanza con muerte celular programada de Penelas 66

$Sitios arqueológicos fractales, etc • Maschner & Bentley – Asentamientos en Aleutianas • Brown$

Sitios arqueológicos fractales, etc • Maschner & Bentley – Asentamientos en Aleutianas • Brown & Witschey – Mayas. • Burkle Elizondo – Estelas y calendarios mexicanos. 67

Otras aplicaciones

$Ron Eglash – Dimensión fractal de la música 69$

Ron Eglash – Dimensión fractal de la música 69

Shakespeare – Eli Eftekhari 70

Relacionado: Ley de Zipf 71

$Artistas fractales • Patrones de Mandelbrot en arte escita, vikingo, avaronogurio, parto, sogdiano, chino,$

Artistas fractales • Patrones de Mandelbrot en arte escita, vikingo, avaronogurio, parto, sogdiano, chino, japonés • Espirales complejos en arte indígena colombiano y en tallas de madera Maori • Jackson Pollock • František Kupka (Amorpha, 1912) • Arte psicodélico • Percepciones narcóticas, estados alterados de conciencia – Materiales en DVDs de Ciencia Cognitiva y en curso de CC y antropología del conocimiento en http: //carlosreynoso. com. ar 72

Aplicaciones • Richard Taylor y el Pollockizer 73

$Aplicaciones • Richard Taylor – Las pinturas de Jackson Pollock tienen una dimensión fractal$

Aplicaciones • Richard Taylor – Las pinturas de Jackson Pollock tienen una dimensión fractal característica a dos escalas diferentes, que se acentúa con los años – Se pudo hacer un peritaje de 6 (sobre 32) pinturas sospechosas encontradas en Long Island (1999) – Taylor encontró desviaciones significativas – Otros expertos disienten, argumentando que en ese lote Pollock estaba experimentando variantes estilísticas 74

Aplicaciones • Richard Taylor sobre Pollock 75

www. jacksonpollock. org Go. . . 76

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Consecuencias • Arte Neen – Miltos Manetas, ca 2000 – Andreas Angelidakis, Steven Schkolne, Amy Franceschini, Erik Loyer, Jon Wine, Mai Ueda – Uso oportunista de la tecnología, intrascendencia deliberada, temporario, cool – “Splatter” de Michael Migurski. Se volvió Neen cuando Manetas se lo apropió – http: //www. neen. org/demo. html 79

$Más aplicaciones • Mureika, Dyer, Cupchik – Estructura multifractal de arte abstracto – “Huellas$

Más aplicaciones • Mureika, Dyer, Cupchik – Estructura multifractal de arte abstracto – “Huellas digitales” multifractales – “Firmas” (signatures) fractales de estilos, artistas, períodos, series, épocas, pigmentos. . . 80

$Gerl, Schönlieb, Wang (2004) • Dimensión fractal entre los mejores índices, con 75 a$

Gerl, Schönlieb, Wang (2004) • Dimensión fractal entre los mejores índices, con 75 a 80% de efectividad 81

$¿Podría un arqueólogo o historiador de arte especializarse en peritaje fractal y encontrar las$

¿Podría un arqueólogo o historiador de arte especializarse en peritaje fractal y encontrar las signaturas de los estilos a 82

Análisis basado en ondículas [wavelets] Sección en preparación

Acentuación de diferencias y clasificación • L. A. Ruiz & al 84

Combinación con gramática de patrones para diseño arquitectónico • Sariyildiz & al 85

Detección de edificios • Thui & al 86

Combinación con gramática de patrones para diseño arquitectónico • Sariyildiz & al 87

Conclusiones (1/2) • Elemento de juicio fundamental – Análisis geográfico, patrones de asentamiento, uso de la tierra, ecología, diseños, música, peritaje artístico • Se debe vincular con otros factores: – Comparación con otros sitios/períodos/géneros – Hipótesis sobre la significación de los valores diferenciales • Especificación puntual de los procedimientos y de los programas empleados, incluyendo métodos de thresholding, etcétera 88

Conclusiones (2/2) • Tema apto para realizar experiencias de trabajo en el contexto del seminario – Encontrar dimensiones fractales características de barrio, periferia, zona planificada, zona autoorganizada, época, clase social – Comprobar mediciones contra juegos de prueba en más de un entorno de análisis • No sólo distintos programas de DF, sino otras medidas multiescalares [wavelets, lagunaridad] – Vincular con otras herramientas analíticas que se verán más adelante 89

Recursos • Batty M. and Longley P. (1994), Fractal Cities. A Geometry of Form and Function, London: Academic Press, 394 p. • Frankhauser P. (1994), La fractalité des structures urbaines. Collection Villes, Anthropos, Paris. • Frankhauser P. (1998): The Fractal approach: a new tool for the spatial analysis of urban agglomerations, Population: An English Selection, 205 -240. 90

Referencias (1/2) • Reynoso, Carlos – Complejidad y caos: Una exploración antropológica. Buenos Aires, SB Ediciones, 2006 • Grupo Anthropokaos – Exploraciones en antropología de la complejidad. Idem. • Eglash, Ron – African fractals. New Brunswick, Rutgers University Press, 1999. • Eve, Raymond, Sara Horsfall & Mary Lee. Chaos, complexity and sociology. Myth, models, and theories. Thousand Oaks, Sage, 1997. • Watts, Duncan. Six degrees. The science of a connected age. Londres, Random House, 2004. 91

Referencias • Reynoso, Carlos. 2010. Análisis y diseño de la ciudad compleja. Perspectivas desde la antropología urbana. Buenos Aires, Editorial Sb 92

Ejercicios de práctica • Generar matriz a partir de imagen con PASSa. GE 2 – Create > Surface from image, etc – Análisis de wavelet 93

¿Preguntas? http: //carlosreynoso. com. ar