Дифференциальные уравнения Пушникова Марина Юрьевна Определение дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения Пушникова Марина Юрьевна

Определение дифференциального уравнения Уравнение, связывающее функцию, аргумент и производную функции, называется дифференциальным Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение, обращает его в верное тождество Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется его интегрированием График решения дифференциального уравнения – интегральной кривой

Примеры

Доказать, что функция является решением уравнения 1. 2. 3.

Общее и частное решение дифференциального уравнения Общим решением дифференциального уравнения называется функция, зависящая не только от аргумента х, но и от такого количества произвольных постоянных С, каков порядок дифференциального уравнения Частным решением дифференциального уравнения называется функция, полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных Условие, что при некотором значении аргумента функция или ее производные должны быть равны заданным числам, называется начальным условием Задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши

Теорема существования и единственности решения задачи Коши Если функция и ее производные непрерывны в некоторой области, содержащей точку , то существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая, проходящая через точку

Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям: если - общее решение данного уравнения. Решение: 1. 2. 3. Ответ:

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными 1. Разделяй 2. Интегрируй

Решить уравнение Решение: 1. 2. 3. 4. или 5. и - особые решения Ответ: , х=0 и у=0.

Найти частное решение дифференциального уравнения

Однородные дифференциальные уравнения Замена или , а

Проинтегрировать Решение: пусть или

Решить уравнение, сведя его к однородному

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 1 метод: метод замены или метод Бернулли

Пример 1. 2. 3. 4.

2 метод: метод вариации произвольной константы или метод Лагранжа 1. 2. 3.

Пример 1. 2. 3.