Дифференциальные уравнения первого порядка План лекции: 1. Основные

Дифференциальные уравнения первого порядка

План лекции: 1. Основные понятия. 2. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям. 3. Дифференциальные уравнения первого порядка. 4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. 5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. 6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 7. Уравнение Бернулли.

1. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала. Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящей в уравнение производной (или дифференциала) неизвестной функции. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения носит название интегрирования дифференциального уравнения.

2. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям. Пример 1. Найти закон движения тела под влиянием заданных действующих сил. Движение считается прямолинейным. Решение: По закону Ньютона сила равна произведению массы на ускорение. Поэтому где m– масса, x– пройденный путь, t– время, f– сила.

Пример 2. Найти уравнение кривой на плоскости, обладающей тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой её точке равен удвоенной абсциссе. Решение. Согласно условию =>

3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения 1-го порядка имеют вид или - уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция такая, что: 1) она удовлетворяет уравнению (2) 2)найдется такое значение постоянной , что функция будет удовлетворять условию

Соотношение вида неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка. Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной , называется частным интегралом дифференциального уравнения.

Условие называют начальным условием. (2) - задача Коши.

Теорема 1. Пусть функция определена и непрерывна на открытом множестве , Тогда через точку проходит по крайне мере одна интегральная кривая. Если функция имеет на непрерывную частную производную по переменной y: то существует единственное решение , уравнения (2), удовлетворяющее условию

Задача интегрирования дифференциального уравнения геометрически может быть истолкована следующим образом: - - угловой коэффициент касательной. - вектор, образующий с осью угол ; получим некоторое поле направлений; требуется провести кривые так, чтобы расставленные стрелки показывали в каждой точке направление касательной.

Изоклиной дифференциального уравнения (2) называется геометрическое место точек, в которых касательные к интегральным кривым имеют одно и то же направление. Семейство изоклин определяется уравнением где - параметр.

4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. Дифференциальное уравнение вида называется уравнением с разделенными переменными.

Дифференциальное уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными. и -непрерывные функции

Решениями дифференциального уравнения (3) будут те и только те дифференцируемые функции , которые при некоторой постоянной удовлетворяют уравнению

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Решение. Разделим переменные и придем к уравнению Решением дифференциального уравнения будет функция такая, что , где – произвольная постоянная. Отсюда .

подстановка: Действительно, Следовательно ,или откуда

, если В этом случае при некотором . Следовательно, подстановка приводит к уравнению с разделяющимися переменными.

5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Функция называется однородной функцией нулевого измерения, если Полагая , получаем

Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если - однородная функция нулевого измерения. Однородное уравнение можно записать в виде Подстановка приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

Если есть корень уравнения то решением уравнения будет а исходного - . Решения, отличные от где есть корень уравнения получаются разделением переменных в уравнении

Мы будем говорить, что есть однородная функция измерения n , если Если где и - однородные функции одного измерения, то оно приводится к однородному дифференциальному уравнению

Дифференциальное уравнение приводится к однородному в том случае, когда

6. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Дифференциальное уравнение вида (4) где и некоторые заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка Если , то уравнение имеет вид (5) и называется однородным.

Его решением является . Если то разделяя переменные, получаем откуда или , где - примитивная функция Таким образом, все решения дифференциального уравнения могут быть найдены по формуле (6) где – произвольная постоянная.

Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной: (4) (6)- решение однородного уравнения Заменим - решение неоднородного уравнения (4)

Следовательно, в качестве можно взять любую примитивную функции Пусть Тогда общим решением линейного дифференциального уравнения (4) будет функция

Метод подстановки (4) подстановка