Дифференциальные уравнения Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую
71-6.differencialynye_uravneniya.ppt
- Количество слайдов: 38
Дифференциальные уравнения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , неизвестную функцию и её производные. Наивысший порядок производной, входящей в уравнение называется порядком уравнения.
Всякая функция , которая, будучи подставленная в уравнение, обращает его в тождество, называется решением этого уравнения. Решить уравнение – значит, найти все его решения в заданной области.
Общим решением дифференциального уравнения называется такое его решение , которое содержит столько независимых постоянных, каков порядок этого уравнения. Если общее решение задано в неявном виде то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, если произвольным постоянным, в него входящим придать определенные значения, называется частным решением этого дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение связывающее независимую переменную , искомую функцию и её первую производную : или .
Функция называется общим решением диф.уравнения первого порядка в области , если она удовлетворяют двум условиям: 1) при любых значениях произвольной постоянной , принадлежащих некоторому множеству, функция является решением диф. уравнения;
2) какова бы ни была точка , лежащая в обл. , существует единственное значение постоянной , такое, что решение удовлетворяет начальному условию Решение называется частным решением.
Определение задачи Коши: Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию , называется задачей Коши. Общее решение , построенное на плоскости , называется интегральной кривой.
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Не существует общего метода решения дифференциального уравнения первого порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение связывающее независимую переменную , искомую функцию и её первую и вторую производные :
Функция называется общим решением диф.уравнения второго порядка в области , если она удовлетворяют двум условиям: 1) при любых значениях произвольных постоянных , принадлежащих некоторому множеству, функция является решением диф. уравнения;
2) какова бы ни были начальные условия , , существует единственное значение постоянных такое, что функция является решением уравнения и удовлетворяет начальным условиям
Простейшие уравнения второго порядка допускающие понижение порядка
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянным коэффициентами
1.Линейные однородные диф.уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянным коэффициентами