Цилиндр. Конус. Шар. Сфера.

Цилиндр. Конус. Шар. Сфера.

Цилиндр Цили ндр (др. -греч. κύλινδρος — валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей). Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью называется боковой поверхностью цилиндра. Часть, ограниченная параллельными плоскостями, это основания цилиндра. В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность и основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии. Другие виды цилиндра — эллиптический, гиперболический, параболический. Согласно определению призма так же является разновидностью цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра К вычислению площади боковой поверхности цилиндра Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей. Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h и длиной P, равной периметру основания. Следовательно площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле: Sb = Ph В частности, для прямого кругового цилиндра: P = 2πR, и Sb = 2πRh

Площадь полной поверхности цилиндра и его объём Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований. Для прямого кругового цилиндра: Sp = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R) Объём цилиндра Для наклонного цилиндра существуют две формулы: Объём равен длине образующей, умноженной на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей. Объём равен площади основания, умноженной на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания): где l — длина образующей, а — угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра h = l. Для кругового цилиндра: где d — диаметр основания.

Конус Ко нус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Так же можно сказать что это тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой. Прямой круговой Усечённый круговой конус конус

Определения, связанные с конусом • Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса. • Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью. • Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса. • Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса. • Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии. • Круговой конус — конус, основание которого является кругом. • Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса). • Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём). • Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.

Площадь и объём конуса Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны. Площадь боковой поверхности такого конуса равна – – где — радиус основания, — длина образующей. Объем кругового конуса равен

Шар, Сфера Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра —полюсами шара. Поверхность шара называется сферой. Сфе ра (греч. σφαῖρα — шар) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учетом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252. 96 кв. градусов.

Площадь и объём шара Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r определяются формулами:

Площадь сферы, объём шара, ограниченного сферой, площадь сегмента сферы Площадь сферы Объем шара, ограниченного сферой Площадь сегмента сферы , где H - высота сегмента, а θ - зенитный угол