«Что такое ничего и что такое много» или

«Что такое ничего и что такое много» или «Число Грэма на пальцах» Александр ФИЛАТОВ Иркутский государственный университет [email protected]

Что идет за миллионом? Древние люди: «раз, два, много…» Детский сад: «десять, сто…» Начальная школа: «тысяча, миллион, миллиард…» 1012 – триллион Какое число самое большое? Потренируемся на кошках!  1015 – квадриллион 1018 – квинтиллион 1021 – секстиллион 1024 – септиллион 1027 – октиллион 1030 – нониллион 1033 – дециллион 1036 – ундециллион 1039 – додециллион

Дипломат с миллионом долларов (реально входит 600 тыс.) Миллион

Миллиард 1 млрд секунд ~ 32 года 7 млрд человек в мире 100 млрд звезд в галактике 100 млрд нейронов в головном мозге человека

Триллион 1 трлн рыб во всех океанах Земли 10 трлн клеток в теле человека 100 трлн $ - мировой ВВП 100 трлн см от Земли до Сатурна 100 трлн букв во всех книгах мира Квадриллион 1 квадриллион муравьев на Земле

Числовые монстры 1 квинтиллион комбинаций кубика Рубика (1018) 1 секстиллион звезд во Вселенной (1021) 1 септиллион – масса Земли в кг (1024)

В глубины Вселенной… 1026 метров – диаметр обозримой Вселенной 1051 атомов – составляют планету Земля 1080 – примерное количество элементарных частиц во Вселенной 10100 – гугол; просто круглое и красивое число, а также компания, которая поставила себе целью индексировать гугол ссылок 10122 – плотная упаковка Вселенной протонами 10185 – объем Вселенной в планковских объемах (кубиках размера планковской длины 10–35 метра; меньших размеров наука не знает) 10185 – наибольшее число, которое в принципе может что-то значить в современной науке, которая может пощупать и измерить! ЧТО БОЛЬШЕ??? Гуголплекс = 10гугол ? (чтобы всего лишь записать такое число, понадобится вся обозримая Вселенная, если писать «наноручкой» прямо по вакууму _ПОЧТИ_ в планковские ячейки космоса!) Гуголплексгуголплекс ? …………………………………………………………………………………………

В глубины Мультивселенных… Дохулион = 1010185 – цифра в каждой планковской ячейке Вселенной! Вселенная лишь одна из многих пузырьков Мультивселенной? Сколько всего пузырьков? Операция флип: Возьмем число, длиною со все сущее и представим себе Мультивселенную с подобным количеством Вселенных, каждая из которых под завязку исписана цифрами. Второй флип: Возьмем столько Вселенных, сколько было цифр во Вселенных, количество которых было равно дохулиону цифр, заполнявших нашу Вселенную. Третий-четвертый-десятый-тысячный… флип флипов…

Спустимся с небес на землю… Начало XX века – теория случайных графов, абстрактная теория Начало XXI века – топология связей имеет значение! Комбинаторика: размещения, перестановки, раскраски и прочие красивые, но (казалось бы!) абстрактные вещи. Число способов разложить колоду карт: 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 или примерно 8 × 1067 ЗАДАЧИ: Поиск спамовых колец. Распространение эпидемий. Каскадные дефолты в банковской системе. Распространение общественного мнения. ................................................................................

Фейсбушка на курьих ножках Для BIG DATA нужны BIG NUMBERS !!!

Задача Франка Рамсея Пусть дан куб, все вершины которого соединены отрезками двух цветов, крас-ного или синего. Можно ли так подобрать конфигурацию этих двух цветов, чтобы при раскраске отрезков у нас НЕ ВЫШЛО правой картинки, т.е. что все отрезки одного цвета, соединяющие четыре вершины, лежат в одной плоскости? 8 вершин, 28 отрезков… OK!!!

Задача Франка Рамсея Четырехмерный куб (тессеракт)? 16 вершин, 120 отрезков – OK! Пятимерный пентакуб? – OK! Шестимерный – OK! Семимерный – ??? Восьмимерный – ??? Рональд Грэм в 1971 – взялся за задачу, но доказать не смог ни для 7, ни для 8. Но доказал обратное: что существует минимальная размерность гиперкуба, при котором раскраски нет! Задача: Рассмотрим n-мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2n вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в синий цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости? Число Грэма!

Порисуем стрелочки Одна стрелочка – обычное возведение в степень 2↑2 = 22 = 4 3↑3 = 33 = 27 4↑4 = 44 = 256 … 10↑10 = 1010 = 10 000 000 000 Две стрелочки – возведение в степень степени 2↑↑3 = 2↑2↑2 = 222 = 24 = 16 3↑↑3 = 3↑3↑3 = 333 = 327 = 7 625 597 484 987 (больше 7 триллионов) 3↑↑4 = 3↑3↑3↑3 = 3333 = 37 625 597 484 987 = = число, в котором около 3 триллионов цифр 3↑↑5 = 3↑3↑3↑3↑3 = 33333 = 337 625 597 484 987 = = 3 в степени числа, в котором 3 триллиона цифр >> гуголплекс!!! 5↑↑8 – «башня» из восьми пятерок «Число ↑↑ другое число» показывает, какая высота степеней («башня») выстраивается из первого числа.

От «башен» к «безбашням» Три стрелочки: Если двойная стрелочка показывала высоту башни степеней, то тройная, каза-лось бы, укажет «высоту башни высоты башни»? Какой там!!! Уже для тройки мы имеем высоту башни высоты башни высоты башни (в математике такого понятия нет, назовем его «безбашней»): 3↑↑↑3 – безбашня из троек, высотой 7 триллионов штук (отсюда и до Сатурна!), притом что пять троек покрывают гуголплекс!!! Движемся дальше… 3↑↑↑4 = 3↑↑3↑↑3↑↑3 = 3↑↑3↑↑7 625 597 484 987 = 3↑↑безбашня Не 3 в степени безбашни, а «три стрелочка стрелочка безбашня» (!!!), она же безбашня безбашни. 3↑↑↑5 = 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 – заканчиваются слова!!! 3↑↑↑6 = 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 – заканчиваются междометия!!!!!!!

Ни представить, ни описать!!! Четыре стрелочки: g1 = 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑ безбашня Рассчитывать его бесполезно, да и не получится! Количество степеней здесь не поддается осмысленному учету. Это число невозможно ни представить, ни описать. Никакие аналогии на пальцах неприменимы, число просто не с чем сравнивать. Можно говорить, что оно огромно, грандиозно, монументально и заглядывает за горизонт событий. Но визуализация, даже вольная и образная невозможна! Если с тремя стрелочками еще хоть что-то удавалось сказать, нарисовать безбашню от Земли до Сатурна, как-то с чем-то сопоставить, то тут аналогий быть просто не может! Попробуйте вообразить себе тонкую башню из троек от Земли до Сатурна, рядом еще одну почти такую же и еще одну, и еще... Бескрайнее поле башен уходит вдаль, в бесконечность, башни повсюду, башни везде! И, что самое обидное, эти башни даже отношения к числу не имеют, они лишь определяют высоту других башен, которые нужно построить, чтобы получить высоту башен, чтобы получить высоту башен... чтобы через невообразимое количество времени и итераций получить само число.

Рост эскалации от стрелочки к стрелочке 3↑3 = 27 3↑↑3 = 7 625 597 484 987 3↑↑↑3 = башня, высотой от Земли до Сатурна 3↑↑↑↑3 = число, которое невозможно ни представить, ни описать 3↑↑↑↑↑3 3↑↑↑↑↑↑3 ……………………………………………………………………………………… Стрелочек может быть сто!!! ……………………………………………………………………………………… g2 = 3↑↑↑…↑↑↑3 g1 стрелок Всё, что было написано до сих пор, расчеты, степени и башни, не помещаю-щиеся в мультивселенные мультивселенных нужны были только для одного. Чтобы показать КОЛИЧЕСТВО СТРЕЛОК в числе g2. Есть еще g3, в котором содержится g2 стрелок, а также g4, g5, g6,…

Число Грэма = g64 Game Over!

Назад в будущее! 10000 лет назад человек вышел из пещер 500 лет назад доказал, что земля круглая 400 – «а всё таки она вертится»! 200 – с помощью пара привел в движение мёртвый металл 100 – поверил в полёты на аппаратах тяжелее воздуха 60 – вышел в космос 20 – запустил мировую сеть 5 – в ней осела половина человечества… НАСТОЯЩЕЕ будущее рождается в НАСТОЯЩЕМ настоящем! To be or not to be continued… Всё, что мы в состоянии осознать сегодня, воплотится в реальность завтра!