Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Понятие производной.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Понятие производной. Решение задачи Коши. Метод Эйлера - с пересчетом - усовершенствованный Метод Рунге-Кутта Метод Адамса Метод предиктор-корректор

A B M V=const V=var Понятие производной (физический смысл) t S, V S V S V a Скорость V определяет величину (закон) нарастания пути. Ускорение а определяет величину ( закон) нарастания (изменения) скорости. S, V, а t

x 0 х0 M х0 + ∆х ? Понятие производной

Определение производной Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в точке x0 к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Операция отыскания производной функции называется дифференцированием.

Дифференциальные уравнения

дополнительные условия. Конец раздела

Задача Коши. Метод Эйлера Заменим производную на приращение h – шаг по х Конец раздела

Задача Коши. Метод Эйлера В результате получена табулированная функция, удовлетворяющая решению дифференциального уравнения. При необходимости получения функции в аналитическом виде она аппроксимируюется известными методами. Конец раздела

Задача Коши. Метод Эйлера с пересчетом Данная схема является неявной, поскольку входит в правую и левую части.

Метод Эйлера с пересчетом имеет меньшую погрешность. Усовершенствованный метод Эйлера Остальные значения вычисляются аналогично Конец раздела

Задача Коши. Метод Рунге-Кутта Конец раздела

Сравнительная оценка методов решения задачи Коши Решим задачу Коши следующими методами: Метод Эйлера. Метод Эйлера с пересчетом. Усовершенствованный метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта. Аналитическим методом.

18% 1,1% 1,3% 0,003% ПОГРЕШНОСТЬ МЕТОДА Конец раздела

Задача Коши. Метод Адамса Метод Адамса более экономичен чем метод Рунге-Кутта при той же точности, но для вычисления значений Y0, Y1, Y2, Y3 нужно Воспользоваться другими методами, например Эйлера или Рунге-Кутта. Конец раздела

Метод прогноза и коррекции (метод предиктор-корректор) 1 этап - предикатор 2 этап - корректор Значения Y0,Y1,Y2,Y3 вычисляются другими методами Предиктор рассчитывается один раз, корректор вычисляется итерационно Конец раздела