Скачать презентацию Численные методы решения нелинейных уравнений Постановка задачи Скачать презентацию Численные методы решения нелинейных уравнений Постановка задачи

Лек2_Решен. нелин. ур..ppt

  • Количество слайдов: 13

Численные методы решения нелинейных уравнений Численные методы решения нелинейных уравнений

Постановка задачи Дано уравнение f (x) = 0 (1) – алгебраическое или трансцендентное. Функция Постановка задачи Дано уравнение f (x) = 0 (1) – алгебраическое или трансцендентное. Функция f (x) определена и непрерывна в некотором конечном интервале: a < x < b. Пусть ξ (кси) − изолированный корень уравнения (1). Нужно найти его приближенное значение с точностью до ε > 0, где ε = ½ · 10 -m или ε = 1 · 10 -m (m Є {0, 1, 2, . . , k}).

n Опр. 1: Число ξ, обращающее функцию в 0, т. е. ƒ (ξ)=0 − n Опр. 1: Число ξ, обращающее функцию в 0, т. е. ƒ (ξ)=0 − верное числовое равенство называют КОРНЕМ уравнения f (x) = 0 или корнем функции y = ƒ (x) (нулем функции). n Опр. 2: Корень ξ называют ИЗОЛИРОВАННЫМ, если для него существует окрестность, не содержащая других корней.

Вычисление приблизительного значения ξ с точностью до ε выполняется в два этапа: n отделение Вычисление приблизительного значения ξ с точностью до ε выполняется в два этапа: n отделение корня; n уточнение корня.

Отделение действительных корней уравнения Постановка задачи: Дано уравнение f (x) = 0 (1) – Отделение действительных корней уравнения Постановка задачи: Дано уравнение f (x) = 0 (1) – алгебраическое или трансцендентное. Нужно отделить действительные корни этого уравнения на некотором промежутке [a, b].

n Опр. 3. Отделить корень уравнения – значит найти промежуток (отрезок) [ , ], n Опр. 3. Отделить корень уравнения – значит найти промежуток (отрезок) [ , ], который принадлежит промежутку [a, b] и содержит один и только один корень данного уравнения. n Опр. 4. Отделить все корни уравнения – значит найти все такие промежутки, в каждом из которых содержится только один корень уравнения.

Методы отделения корней 1. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД а) строим график y = f (x) и Методы отделения корней 1. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД а) строим график y = f (x) и находим точки пересечения с OX.

Y X 1 0 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Y X 1 0 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 X 2 X 3 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Х 1 Є [-8; -7], Х 2 Є [5; 6], Х 3 Є [11; 12]

б) если график функции y = f (x) сложен, то y = f (x) б) если график функции y = f (x) сложен, то y = f (x) f 1 (x) = f 2 (x) и находим точки пересечения функций y 1 = f 1 (x) и y 2 = f 2 (x).

Y y 2 = f 2 (x) X 2 y 1 = f 1 Y y 2 = f 2 (x) X 2 y 1 = f 1 (x) X 1 0 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Х 1 Є [-3; -2], Х 2 Є [6; 7]

2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД Теорема. Если функция f (x), определяющая уравнение (1), непрерывна и на 2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД Теорема. Если функция f (x), определяющая уравнение (1), непрерывна и на концах отрезка [a, b] принимает значения разных знаков (f (a) f (b) < 0), то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения (1). Если же функция f (x) дифференцируема, и ее производная сохраняет знак внутри отрезка [a, b], то на этом отрезке находится только один корень уравнения.

Идея: отрезок [a, b] разбивается на отрезки вида [a + kh, a + (k Идея: отрезок [a, b] разбивается на отрезки вида [a + kh, a + (k + 1)h], k = 0, 1, 2, … n , причем a + (k + 1) h b. На концах каждого из отрезков находятся знаки функции f (x). Если окажется, что f (a + kh)·f (a + (k + 1) h) < 0 при некотором значении k, то при достаточно малом шаге h с большой степенью вероятности можно утверждать, что на промежутке [a + kh, a + (k + 1) h] лежит только один корень уравнения

Y X 1 A+2 h 0 X 2 A A+h ƒ (A) · ƒ Y X 1 A+2 h 0 X 2 A A+h ƒ (A) · ƒ (A + h) > 0, ƒ (A + h) · ƒ(A + 2 h) < 0, ƒ (A +2 h) · ƒ(A + 3 h) > 0 =>=> Х 1 Є [A + h, A + 2 h] Х 2 Є [A + 14 h, A + 15 h], Х 3 Є [A + 20 h, A + 21 h] X 3 X В