ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Лекция 8 LU-разложение

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Лекция 8

LU-разложение строго невырожденной матрицы n Определение 1 Если в Аm n выбрать k строк и столбцов, то элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу Аk k-го порядка, определитель которой называют минором k-го порядка, причем k< min (m, n).

LU-разложение строго невырожденной матрицы n Определение 2 Главным минором Аn называют любой минор, построенный на непрерывном фрагменте (или на всей) диагонали Аn, начиная с a 11, например:

LU-разложение строго невырожденной матрицы n Определение 3 Матрицу А называют строго невырожденной (неособенной), если все ее главные миноры не равны нулю.

LU-разложение строго невырожденной матрицы n Определение 4 Для положительно определенной матрицы A необходимы и достаточны неравенства Сильвестра всех ее главных миноров:

LU-разложение строго невырожденной матрицы Разложением матрицы А называют ее представление в виде произведения нескольких (обычно двух или трех) матриц. n Рассмотрим разложение строго невырожденной матрицы A = L U – так называемое LU-разложение, где L и U соответственно нижняя и верхняя треугольные матрицы. n

LU-разложение строго невырожденной матрицы С целью получения единственного LUразложения все диагональные элементы матрицы L 1 (или U 1) делают равными единице. n Определение 5 В теории матриц LUразложением строго невырожденной матрицы А называют ее представление в виде: А = L U 1 = L 1 U, где L – нижнетреугольный вид матрицы А; U – верхнетреугольный вид матрицы А; n

LU-разложение строго невырожденной матрицы

LU-разложение строго невырожденной матрицы Теорема 1. Для существования LUразложения матрицы А необходимо и достаточно, чтобы А была строго невырожденной, т. е. все главные миноры матрицы А отличны от нуля:

ПРИМЕР 1. Провести LU-разложение матрицы:

РЕШЕНИЕ: Условия существования теоремы 1 выполнены: a 11 = 2 0;

РЕШЕНИЕ ПРИМЕРА n Тогда с учетом определения 5 можно записать:

РЕШЕНИЕ ПРИМЕРА Используя правило умножения матриц, или навыки приведения матрицы к ступенчатому виду, последовательно получаем: L 1 = U = Заметим, что det А = det(L • U) = det. L det. U = 1 • 29 = 29.

Обусловленность СЛАУ. Числа обусловленности матрицы. Задача является хорошо обусловленной, если при небольших изменениях входных данных результаты ее решения изменяются незначительно (непрерывная зависимость решения от исходных данных) Рассмотрим пример плохо обусловленной задачи.

Пример 2. n Пусть задана система двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными: З 00 х1 + 400 х2 = 700 100 х1 + 133 х2 =233 Выяснить, является ли эта задача хорошо обусловленной.

РЕШЕНИЕ: Система имеет точное решение х1, 2 =(1; 1). Пусть одно из исходных данных — число b = 233 изменилось на доли процента, и вместо него приняли число b* = 232. Тогда получается решение х*1 = -3; x*2 = 4. Таким образом, при изменении b на 0, 43% х1 и х2 изменились соответственно в 3 и 4 раза. Задача является плохо обусловленной, т. к. при небольшом изменении входных данных результаты решения изменились значительно.

Число обусловленности матрицы А: cond. A = ||А-1|| А||.

Эта оценка необходима при расчетах, так как предвидит возможные ошибки, связанные с погрешностью вычисления ЭВМ "некачественной" матрицы А, причем вычислительная практика рекомендует оценки: 1)cond(A) 1 —- матрица (А) "отлично" обусловлена, 2)cond(A) < 10 — матрица (А) "хорошо" обусловлена.

ПРИМЕР 3. n Вычислить число обусловленности матрицы: n РЕШЕНИЕ: det(А) = -1, ||А||I = А||II = max{17, 19}=19 n

РЕШЕНИЕ: n n det(А)-1 = -1 ||А-1||I = А-1||II = max{17, 19}=19 cond(A) = ||А-1|| А|| = 361 следовательно матрица (А) плохо обусловлена.