Численное решение систем линейных алгебраических уравнений С Л

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений С Л А У

Общий вид СЛАУ где aa – коэффициенты системы, bb – свободные члены, хх – неизвестные nn – – количество уравнений в системе и количество неизвестных (порядок системы) nnnnjnjnn ininjijii nnjj bxaxaxaxa

Запись СЛАУ в матричной форме. BXA nnnjnn inijii nj nj aaaa A 21 21 222221 111211 njxxxx. X 21 ni b b

При решении СЛАУ возможно возникновение 3 случаев: 1. Пример: 2. Пример: 3. Пример: 8 3 13 3125 2 1 21 21 x x xx xx 62410 3125 21 21 xx xx 28410 3125 21 21 xx xx

2 класса методов решения СЛАУ: 1. Прямые методы. 2. Итерационные методы.

Прямые методы Достоинство: устойчивость методов. Недостаток: точность решения зависит от особенностей метода и от количества уравнений.

Итерационные методы Достоинство: точность решения задается пользователем. Недостаток: методы являются неустойчивыми.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) Является прямым методом. Исходные данные: 1. 1. АА 2. 2. ВВ

Алгоритм метода Гаусса: 1. 1. Ввод исходных данных. 2. 2. Прямой ход. 3. 3. Обратный ход. 4. 4. Вывод результатов.

Метод Гаусса для 3 уравнений с 3 -мя неизвестными (система 3 -го порядка) 1. х 11 : : 2. х 11 подставляется во все оставшиеся уравнения системы. 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa 11 313 11 212 11 1 1 a xa a b x

Получим следующее: 3. Новые обозначения: 11 21 123 11 21 13232 11 21 1222 a a bbx a a aa 11 31 13332 11 31 1232 a a bbx a a aa 11 31 133333 11 31 123232 ‘ » aa bbb aa aaa 11 21 122 11 21 132323 11 21 122222 ‘ ‘ ‘ a a bbb a a aaa

Новая система: 4. х22 : : 5. х 22 подставляется во все оставшиеся уравнения системы. 3333232 2323222 1313212111 »’ bxaxaxa 22 323 22 2 2 ‘ ‘ a xa a b x

Получим следующее: 6. Новые обозначения: Новая система в верхнетреугольном виде: 2232 2333′ ‘ » a a bbx a a aa 22 32 233333 ‘ ‘ »» a a bbb a a aaa 3333 2323222 1313212111 »» bxa bxaxaxa

7. Неизвестные вычисляются в обратном порядке (обратный ход): 11 3132121 1 22 3232 2 33 3 3 ‘ » » » a xaxab x a b x

НАЧАЛО ввод n i=1, n j=1, n ввод a(i, j) ввод b(i) k=1, n-1 i=k+1, n c=a(i, k)/a(k, k) a(i, k)=0 j=k+1, n a(i, j)= a(i, j)- a(k, j)*c b(i)= b(i)- b(k)*c x(n)=b(n)/a(n, n) i=n-1, 1, -1 S=0 j=i+1, n S= S+a(i, j)* x(j) x(i)= (b(i)-S)/a(i, i ) i=1, n вывод x(i) КОНЕЦБлок-схема метода Гаусса ввод исходных данных прямой ход обратный ход вывод результатов

ЗАМЕЧАНИЕ В случае единственности решения СЛАУ методом Гаусса всегда находится необходимое решение. Необходимо выполнения условия: 0 ii a

Метод Зейделя (метод простых итераций) Является итерационным методом. Исходные данные: 1. 1. АА 2. 2. ВВ 3. 3. ХХ(0)(0) 4. 4. ЕЕ

Метод Зейделя для 3 уравнений с 3 -мя неизвестными 1. 1. Из 1 -го уравнения выражаем неизвестное х11 , из 2 -го уравнения — х 22 , из 3 -го — х33. . 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa

Получим новую систему: 2. В правую часть 1 -го уравнения подставляем начальные приближения неизвестных х 22 (0)(0) и х 33 (0)(0). Получаем уточненное значение неизвестного х 11 (1)(1). . 3. В правую часть 2 -го уравнения подставляем начальное приближение неизвестного х 33 (0)(0) и уточненное значение х 11 (1)(1). . Получаем уточненное значение неизвестного х 22 (1)(1). . 4. В правую часть 3 -го уравнения подставляем уточненные значения неизвестных х 11 (1)(1) и х 22 (1)(1). Получаем уточненное значение неизвестного х 33 (1)(1). . 2321313 33 3 3231212 22 2 3132121 11 1 1 xaxab a x

5. Далее рассчитывается разность между значениями начальных приближений и уточненными значениями неизвестных. Если то считается, что значения х 11 (1)(1) , х, х 22 (1)(1) , х, х 33 (1)(1) являются решением данной системы. В противном случае эти значения принимаются за начальное приближение и процесс повторяется. )1( 232)1( 1313 33)1( 3 )0( 323)1( 1212 22)1( 2 )0( 313)0( 2121 11)1( 1 1 xaxab a x Exx и Exx )0( 3 )1( 3 )0( 2 )1( 2 )0( 1 )1(

ЗАМЕЧАНИЕ Метод Зейделя является итерационным, итерации сходятся не всегда. Итерации всегда сходятся при выполнении следующего условия: условие преобладания диагональных коэффициентов. ji ijiiaa

Блок-сх ема метода Зейделя НАЧАЛО ввод n, E i=1, n j=1, n ввод a(i, j) ввод b(i), x(i) i=1, n R=0 j=1, n S=S + a(i, j)*x(j) W= (b(i) – S)/a(i, i) R = d. S=0 i=1, n вывод x(i) КОНЕЦ i≠j дане т d = | W — x(i) | R Eда не т

Метод Крамера для решения СЛАУ 2 -го и 3 -го порядка Прямой метод. Метод линейной алгебры. Исходные данные: 1. 1. АА 2. 2. ВВ

Условие существования единственного решения СЛАУ det A ≠ 0≠

Метод Крамера для системы 2 -го порядка 2222121 1212111 bxaxa 21122211 211211 2221 1211 221 111 2 21122211 212221 1211 222 121 1 aaaa abba aa aa ba ba x aaaa baab aa aa ab ab x

Метод Крамера для системы 3 -го порядка 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa 333231 232221 131211 33323 23222 13121 1 aaa aaa aab aab x 333231 232221 131211 33331 23221 13111 2 aaa aaa aba aba x 333231 232221 131211 33231 22221 11211 3 aaa aaa baa baa x

Окончательные формулы: Для систем более высоких порядков метод Крамера практически не применяется 221331231231321321331221322311332211 2213121231321213122132211 3 221331231231321321331221322311332211 213312313131321331213231133211 2 221331231231321321331221322311332211 221332312332132331223223133221 1 aaaaaaaaa ababaaababaa x aaaaaaaaa baaababaaaba x aaaaaaaaa aabaabaab x

Реализация метода Крамера в электронных таблицах Microsoft Excell Функция МОПРЕД(матрица)

Функция МОПРЕД

Пример расчета определителя