Численное решение дифференциальных уравнений 1 Инженерные исследования

Численное решение дифференциальных уравнений 1

Инженерные исследования динамики процессов, протекающих в механизмах и машинах или объектах, на которые воздействуют машины, приводят к дифференциальным уравнениям, т. е. уравнениям, содержащим производные. 2

Например: o o o Уравнение разрушения почвы под воздействием любого орудия по ее обработке. Уравнение накопления и стекания заряда на обкладках конденсатора. Уравнение воздействия электростатического поля на семена растений. 3

4

Математическое решение уравнений 1. 2. Применимы только для уравнений канонического вида Результат решения – аналитический вид, а не численные характеристики 5

Проблема численного решения решение уравнения не сводится к какому-либо каноническому виду, но нужно получить ряд числовых значений исследуемой величины, т. е. возникает проблема табуляции результата решения дифференциального уравнения, при условии отсутствия самой табулируемой зависимости (функции) 6

Методы решения o o o Эйлера трапеций Рунге- Кутта 7

Пусть следует решить уравнение y’=F(x, y), т. е. установить зависимость y=f(x). o o существует целое семейство таких функций: y=f(x)+C, где С – есть произвольная константа. Графически такое семейство есть множество параллельных другу кривых. Но любого исследователя интересует фактически лишь одна конкретная зависимость, удовлетворяющая некоторым условиям или ограничениям. К таким условиям чаще всего относится то, что искомая зависимость должна быть известной в какой-то «пограничной» точке, т. е. при каком-то особенном значении аргумента ее значение известно заранее и конкретно определено. 8

Например исследуя характер распространения тепла по корпусу двигателя, можно не решая сказать, что до запуска двигателя температура корпуса равна температуре окружающей среды. С графической точки зрения такой факт отражает то, что искомая кривая проходит через точку с координатами (x 0, y 0), т. е. нас интересует единственная кривая из всего их семейства, проходящая именно через указанную точку. На языке решения дифференциальных уравнений такая точка обычно называется «начальными условиями» решения уравнения. И так, надо решить уравнение y’=F(x, y)при начальных условиях x=x 0 y=y 0. 9

После того как определена единственная интересующая нас зависимость, возникает вопрос о том, сколько значений для нее надо получить. 1)чем дальше вычисляемая точка находится от начальной, тем больше накапливается погрешность результата независимо от способа; 2)на точность вычислений существенно влияет величина шага изменения аргумента, чем он больше, тем грубее результат. Вывод: вычислять не более одного, двух десятков точек искомой зависимости, а шаг по аргументу редко берут более 0, 1. 10

Сущность методов Известно, что Следовательно при изменении аргумента 11

значение каждого следующего ответа определятся по значению предыдущего, причем и по аргументу и по функции 12

Идеальный математик 18 века o o o Леона рд Э йлер —российский, немецкий и швейцарский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер — автор более чем 800 работ. В 26 лет Эйлер был избран российским академиком. Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. 13

Метод Эйлера x=x 0 y=y 0 x 1=x 0+h y 1=y 0+h. F(x 0, y 0) x 2=x 1+h y 2=y 1+h. F(x 1, y 1) ……………………………. …. xi+1=xi+h yi+1=yi+h. F(xi, yi) Метод является самым простым, но, вместе с тем, и самым грубым. Каждая следующая точка все дальше и дальше отходит от истинного результата, т. е. ошибка расчетов накапливается, поэтому это метод используют для получения не более 10 ответов 14

Модифицированный (улучшенный) метод Эйлера второго порядка Этот метод позволяет получать уже до двух десятков более, менее точных результатов 15

Метод трапеций В нем искомые значения функции вычисляются через вычисление вспомогательных коэффициентов 16

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка 1. Самый точный метод решения дифференциальных уравнений. 2. Так же как и метод трапеций, он является методом последовательного уточнения получаемых результатов через вспомогательные коэффициенты. 17

РУНГЕ Карл Давид Толме После окончания университета в Берлине, где математику преподавал Вейерштрасс, Рунге был профессором математики в Ганновере, а с 1904 г. возглавил вновь открытую кафедру прикладной математики в Университете Георга-Августа в Геттингене. Считается исторически первым немецким математиком по этой дисциплине. В Геттингене, совместно с М. Куттой разработал метод численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений – Метод Рунге — Кутты. Его именем назван один из кратеров Луны. 18

Ма ртин Вильге льм Кутта (3. 11. 1867 — 25. 12. 1944) Учился в Бреславском университете (ныне — Вроцлавский) с 1885 по 1890 годы и продолжил обучение в Мюнхене до 1894 года, где стал ассистентом В. Дика. С 1898 проводит год в университете Кэмбриджа. Кутта стал профессором в Штутгарте в 1911 году, где продолжал работать до выхода на пенсию в 1935 году. В 1901 году разработал известное семейство методов приближённого решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Также известен благодаря аэродинамической поверхности Жуковского — Кутты и аэродинамическому условию Кутты. 19

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка 20

Реализация всех методов в пакете Math. CAD. 21

Условие решаемой задачи x: =x 0 y: =y 0 – начальные условия; i: =0. . 10 - определяем число (нумерацию) вычисляемых ответов; h: =0. 1 – шаг определяемых точек; F(x, y): =… вид решаемого уравнения; 22

Метод Эйлера xi+1: =xi+h yi+1: =yi+h. F(xi, yi) yi=… таблица результатов, полученных по методу Эйлера 23

Модифицированный метод Эйлера yi=… таблица результатов, полученных по модифицированному методу Эйлера. Вычисление аргумента делать не нужно. Он определен в предыдущем случае. 24

Метод трапеций yi=… таблица результатов, полученных по методу трапеций 25

Примечание. Если метод трапеций пишется без использования методов Эйлера, то он не сможет подсчитать даже k 1 i не говоря, обо всех остальных формулах. Для подсчета k 1 i нужны все значения и xi и yi, а значений yi еще нет – ведь они вычисляются после всех значений k 1 и k 2. Поскольку метод трапеций есть метод последовательного уточнения получаемых ответов, то чтобы он работал надо до него иметь пусть и грубые, но все значения величины yi. 26

Поэтому перед методом трапеций надо сначала вычислить ответы по методу Эйлера, а уже затем уточнять найденные результаты по методу трапеций. ü если перед методом трапеций найти результаты по модифицированному методу Эйлера, то ответы по методу трапеций будут получены еще точнее. ü 27

Пример решения дифуравнения 28

29

30

31