БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ Вводный курс математики
Свойства бинарного отношения R - бинарное отношение, определенное на множестве X 1. R рефлексивно, если x X (x, x) R R = { (x, y) Z Z | x y } x Z x x 2. R симметрично, если x, y X [ (x, y) R (y, x) R ] R = { (x, y) Z Z | (x-y) кратно 2 } x, y Z [ (x-y) кратно 2 (y-x) кратно 2 ]
Свойства бинарного отношения R - бинарное отношение, определенное на множестве X 3. R транзитивно, если x, y, z X [ (x, y) R & (y, z) R (x, z) R ] R = { (x, y) Z Z | x y } x, y, z Z [ x y & y z x z ] 4. R антирефлексивно, если x X (x, x) R R = { (x, y) Z Z | x>y } x Z (x>x), т. е. x x
Свойства бинарного отношения R - бинарное отношение, определенное на множестве X 5. R антисимметрично, если x, y X [ (x, y) R & (y, x) R x=y ] R = { (x, y) Z Z | x y } x, y Z [ x y & y x x=y ] 6. R линейно, если x, y X [ (x, y) R V (y, x) R V x=y ] R = { (x, y) Z Z | x y } x, y Z [ x y V y x V x=y ]
Отношение порядка Отношение частичного порядка – рефлексивное, транзитивное и антисимметричное бинарное отношение R = { (x, y) Z Z | x y } Отношение строгого порядка – антирефлексивное, транзитивное, антисимметричное и линейное бинарное отношение R = { (x, y) Z Z | x>y }
Отношение эквивалентности – рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение R 3 = { (x, y) Z Z | (x-y) кратно 2 } Пусть ~ – отношение эквивалентности, определенное на множестве А Класс эквивалентности, порожденный элементом a: Ka = { x A | x ~ a }
Свойства классов эквивалентности Пусть ~ – отношение эквивалентности, заданное на X 1) Любой класс Ka не пуст 2) Если x Ka и y Ka, то x ~ y 3) Если a ~ b, то Ka = Kb 4) Элементы из разных классов не эквивалентны другу 5) Различные классы не пересекаются
Разбиение Семейство { Xk | k K, Xk X } образует разбиение множества X на классы Xk, если: 1) k K Xk 2) m, k K [ m k Xm Xk = ] 3) X = U Xk k K A = {1, 2, 3, 4, 5} можно разбить на классы: A 1 = {3}, A 2 = {1, 4}, A 3 = {2, 5}
Разбиение Всякому разбиению множества X на классы Xk отвечает бинарное отношение R, задаваемое следующим образом: (x, y) R т. т. т. , когда k K (x Xk & y Xk) Всякое отношение эквивалентности, заданное на множестве X, определяет разбиение множества X на классы эквивалентности
Фактор-множеством множества X по отношению эквивалентности R называется множество, каждый элемент которого является одним из классов эквивалентности Обозначение: X/R Пример 1: R = { (x, y) | (x-y) кратно 2 } на Z K 0 = 2 Z K 1 = 2 Z+1 X / R = { 2 Z, 2 Z+1 }
Скачать презентацию БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ Вводный курс математики Свойства бинарного
06 Бинарные отношения 2_12_13.ppt