Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

О п р е д е л е н и е 1. n Функция у = f (x) называется бесконечно малой (Б. М. Ф. ) n при х а, n если ее предел равен нулю

Геометрически это означает, что функция либо пересекает ось ОХ, либо касается ее в точке х=а.

О п р е д е л е н и е 2. n Функция у = f (x) называется бесконечно малой величиной при х , n если для каждого положительного сколь угодно малого числа n найдется сколь угодно большое положительное число N( ) такое, n что для всех х, удовлетворяющих неравенству lxl >N n будет выполняться неравенство

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций и связь между ними

Связь бесконечно малой и бесконечно большой функций

Величина, обратная бесконечно малой величине, есть величина бесконечно большая, и наоборот, величина, обратная бесконечно большой величине, есть величина бесконечно малая.

Вычисление пределов, когда предел числителя и предел знаменателя равны нулю

П р а в и л о 2. n Чтобы найти предел дроби, содержащий иррациональные выражения в случае, когда пределы числителя и знаменателя равны нулю, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или наоборот. После этого следует сделать преобразования и перейти к пределу, используя известные формулы:

Раскрытие неопределенностей

П р а в и л о 1. n Если при вычислении предела, представляющего собой разность двух функций, получим неопределенность n то чтобы избавиться от неопределенности, надо, или привести функции к общему знаменателю, или, при наличии иррациональности, перенести ее из числителя в знаменатель.

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

n Функция не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке. n Однако, можно найти предел этой функции при х→ 0.

Приведем доказательство этой формулы. n Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол α, выраженный в радианах, заключен в пределах 0 < α < π/2. n (Так как n четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α > 0. ) Из рисунка видно, что n SΔOAC

SΔOAC 0: Поэтому на основании теоремы о двух милиционерах заключаем, что Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1∞ и выглядит следующим образом n Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании n (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу).

Примеры.

Сравнение функций.

Эквивалентные бесконечно малые функции приведены в табл. где