Алгебра высказываний (булева алгебра) Основные понятия Основное понятие

Алгебра высказываний (булева алгебра) Основные понятия

Основное понятие булевой алгебры — высказывание. Под простым высказыванием понимается повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно (третьего не дано). Высказывания обозначаются латинскими буквами и могут принимать одно из двух значений: ЛОЖЬ (обозначим 0) или ИСТИНА (обозначим 1).

Два высказывания А и В называются равносильными, если они имеют одинаковые значения истинности, записывается А=В.

Логические операции Сложное высказывание можно построить из простых с помощью логических операций: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и логических выражений, представляющих собой комбинации логических операций.

Операцией отрицания А называют высказывание А (или -А, говорят не А), которое истинно тогда, когда А ложно, и ложно тогда, когда А истинно. Например, если событие А состоит в том, что «завтра будет снег», то А «завтра НЕ будет снега», истинность одного утверждения автоматически означает ложность второго.

Отрицание — унарная (т.е. для одного операнда) логическая операция. Ей соответствует языковая конструкция, использующая частицу НЕ. Это правило можно записать в виде следующей таблицы: Такая таблица называется таблицей истинности.

Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний А и В является новое высказывание С, которое истинно только тогда, когда истинны оба высказывания, записывается С = А  В или С = А & В (при этом говорят С равно А и В). Данная операция применяется, если два высказывания связываются союзом И.

Таблица истинности этой операции, как следует из определения, имеет вид:

Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний А и В является новое высказывание С, которое истинно, если истинно хотя бы одно высказывание. Записывается С=A v В (при этом говорят: С равно А ИЛИ В). Данная операция применяется, если два высказывания связываются союзом ИЛИ.

Таблица истинности такой операции следующая:

Импликацией двух высказываний А (А называется посылкой) и В (В называется заключением) является новое высказывание С, которое ложно только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно, записывается С = А  В (при этом говорят: из А следует В).

Таблица истинности импликации следующая:

Импликация имеет следующие свойства: АВВ А АА=1 0А=1 1А=А А1=1 А 0=

Эквиваленцией двух высказываний А и В является новое высказывание С, которое истинно только тогда, когда оба высказывания имеют одинаковые значения истинности, записывается С = А В (.С=АВ) Примером такой операции может быть любое высказывание типа: событие А равносильно событию В.

Таблица истинности:

Эквиваленция имеет следующие свойства: А  В = ВА А В=  А 1 =А А0=

Логические выражения Порядок логических операций

С помощью логических операций из простых высказываний (логических переменных и констант) можно построить логические выражения, которые также называются булевскими функциями. Например, С = (( v В)  В) v А. Чтобы избежать большого количества скобок в булевских функциях, принято следующее соглашение о старшинстве операций. Первыми выполняются операции в скобках, затем операции в следующем порядке: отрицание, конъюнкция и дизъюнкция слева направо, импликация, эквиваленция.

Зависимости между логическими операциями Операции не являются независимыми; одни из них могут быть выражены через другие. Можно доказать с помощью таблиц истинности следующие равносильности:

1. = А закон двойного отрицания 2. А&В = В&А коммутативный закон для конъюнкции 3. AvB = BvA коммутативный закон для дизъюнкции 4. (А & В) & С = А & (В & С) ассоциативный закон для конъюнкции 5. (AvB)vC = Av(BvC) ассоциативный закон для дизъюнкции 6. А & (В v С) = (А & В) v (А & С) дистрибутивные законы 7. A v (В & С) = (A v В) & (A v С) 8. законы де Моргана 9. 10. А & А = А закон идемпотенции для конъюнкции

11. A v A = А закон идемпотенции для дизъюнкции 12. А & 1 = А закон единицы для конъюнкции 13. А & 0 = 0 закон нуля для конъюнкции 14. A v 1 = 1 закон единицы для дизъюнкции 15. A v 0 = А закон нуля для дизъюнкции 16. A v = 1 закон исключения третьего 17. А & = 0 закон противоречия 18. А  В = v В 19. АВ=(А В) & (ВА) = ( v В) & ( A v В ) = = (A&B)v( & ) 20. A v (А & В) = А законы поглощения

21. А & (A v В) = А 22. А&( vB) = A&B 23. Av ( & В) = Av В

Первая из них — дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ), имеет вид A1v A2 v ... v An, где каждое из составляющих высказываний есть конъюнкция простых высказываний и их отрицаний, например: В=( & А2 & A3) v (А4 & А5).

Вторая — конъюнктивная нормальная форма (КНФ), имеет вид А1  А2  ...  An, где каждое из составляющих есть дизъюнкция простых высказываний и их отрицаний, например: В=( v А2 v ) & (А4 v А5) & А6.

Табличное и алгебраическое задание булевских функций Задать булевскую функцию можно, определяя ее значения для всех наборов значений аргументов. Каждый аргумент может иметь два значения: 0 и 1, следовательно, n аргументов могут принимать 2n различных наборов. Пусть, например, булевская функция имеет три аргумента: X1, Х2, Х3. Общее число наборов 23 = 8; зададим таблицу истинности функции, указав для каждого набора значение функции.

Для составления алгебраической формы по результатам таблицы сделаем следующее. В комбинациях, где функция принимает значение 1, единицу заменим именем функции, а нуль — именем с отрицанием (т.е. комбинации 0 0 1 поставим в соответствие выражение ), все элементы соединим знаками дизъюнкции, для рассматриваемого примера получим

Аналогично, для комбинаций, где функция принимает значение нуля, можно построить алгебраическую форму которая также удовлетворяет заданной таблице истинности и представляет собой конъюнктивную нормальную форму, в данном случае совершенную. Каждая конъюнкция называется конституентой нуля.

Работа современных вычислительных машин сводится к обработке последовательностей нулей и единиц, которыми закодирована различная информация (числовая, текстовая, графическая, звуковая), и пересылки этой информации. Такую обработку производит арифметико- логическое устройство, являющееся частью процессора. Состоит оно из логических элементов. Логические элементы- это электронные схемы, реализующие логические операции. Эти элементы могут иметь один или несколько входов и один выход, через которые проходят электрические сигналы. Эти сигналы принято обозначать цифрами 1 и 0. Логические элементы

30 Базовый набор операций С помощью операций И, ИЛИ и НЕ можно реализовать любую логическую операцию.

31 Логические формулы Прибор имеет три датчика и может работать, если два из них исправны. Записать в виде формулы ситуацию «авария». A – "Датчик № 1 неисправен". B – "Датчик № 2 неисправен". C – "Датчик № 3 неисправен". Аварийный сигнал: X – "Неисправны два датчика". X – "Неисправны датчики № 1 и № 2" или "Неисправны датчики № 1 и № 3" или "Неисправны датчики № 2 и № 3". Ответ логическая формула Составить логическую формулу для данного высказывания

Простейшим логическим элементом является элемент «НЕ» Он имеет один вход и один выход. Работа этого элемента заключается в инвертировании ( т.е. замене на противоположный) значения поступившего в него сигнала. Зависимость входных и выходных сигналов можно представить в виде таблицы истинности НЕ

Его работа заключается в том, что на выходе получается сигнал равный «1», когда на оба входа был подан единичный сигнал. Элемент имеет два входа и один выход. Таблица истинности для этого элемента. И

Работа элемента «ИЛИ» заключается в том, что на выходе получается сигнал равный «1», когда хотя бы на один из входов был подан единичный сигнал. Элемент имеет два входа и один выход. Таблица истинности этого элемента выглядит следующим образом: ИЛИ

35 Логические элементы компьютера НЕ И ИЛИ

36 Составление схем последняя операция - ИЛИ & И

37 Полусумматор Полусумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных числа. 0 0 0 1 0 1 1 0

38 Сумматор Сумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных числа с переносом из предыдущего разряда. Σ сумма перенос перенос