8 класс геометрия Урок № 2

8 класс геометрия Урок № 2 Параллелограмм 1

Домашняя работа 1 п. 43, вопросы 6 -8; № 372(б, в), 376(в, г); Р. т. № 10, доп. зад*: Сколько углов с градусной мерой меньше 10° может быть в выпуклом многоугольнике? *-для лицеистов стремящихся к оценки « 5»

Рабочая тетрадь

Цели: ØВвести понятие параллелограмма. ØРассмотреть свойства параллелограмма. ØРассмотреть признаки параллелограмма. ØРешение базовых задач. 4

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. В С А D ABCD – параллелограмм. AB II CD, DC II AD. 5

Свойства параллелограмма В С 1 А D В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 3 = ∠ 4 ВС = AD, АВ = СD 6

Свойства параллелограмма В С 2 О А D Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. ВО = ОD, АО = ОС О – точка пересечения диагоналей 30. 11. 2012 www. konspekturoka. ru 7

Свойства параллелограмма В С 3 А D В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. ∠А + ∠D = 180°∠D + ∠C = 180° , , ∠А + ∠B = 180°∠В + ∠C = 180° , 8

Домашняя работа 2 • п. 44, вопрос 9; № 383, 378; Р. т. № 12, доп. зад*: В выпуклом четырехугольнике АВСD AB = CD,

Рабочая тетрадь

1 Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм. В С А D Дано: АВСD – четырехугольник, АВ = CD, АВ ∥ CD Доказать: АВСD – параллелограмм Доказательство 30. 11. 2012 www. konspekturoka. ru 11

1 Доказательство В 3 С 2 Пусть АВ = СD и АВ ∥ СD, проведем диагональ АС. Рассмотрим треугольники 1 4 ∆ АBC и ∆ACD: А ∆ АBC = D и углу между ними ∆ACD – по двум сторонам (АС – общая, АВ = СD – по условию, ∠ 1 = ∠ 2 как накрест лежащие при АВ ∥ СD и секущей АС. Поэтому ∠ 3 = ∠ 4. Но ∠ 3 и ∠ 4 – накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и AD секущей – АС. Следовательно ВС∥ AD. Таким образом, если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то этот четырехугольник АВСD - параллелограмм. 12

2 Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм. В С А D Дано: АВСD – четырехугольник, АВ = CD, ВС = АD Доказать: АВСD – параллелограмм Доказательство 13

2 Доказательство В С 3 2 АВСD- четырехугольник, АВ = CD, ВС = АD. Проведем диагональ АС. 1 4 Рассмотрим треугольники ∆ АBC и ∆ACD: А D ∆ АBC = ∆ACD – по трем сторонам (АС – общая, АВ = СD, ВС = АD – по условию). Поэтому ∠ 1 = ∠ 2 как накрест лежащие при секущей АС. Отсюда следует, что АВ ∥ СD. Так как АВ ∥ СD и АВ = СD, то по признаку 1 четырехугольник АВСD – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм). 14

3 Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм. С В О D АВСD – четырехугольник, Дано: ВО = ОD, АО = ОС АВСD – параллелограмм Доказать: Доказательство 15

Доказательство 3 С В 2 3 АВСD – четырехугольник, ВО = ОD, АО = ОС. О Проведем диагонали АС и BD. Рассмотрим треугольники 4 1 ∆ АОB и ∆CОD: D А ∆ АОB = ∆CОD – по первому признаку равенства треугольников (ВО = ОD, АО = ОС – по условию, ∠ АОB = ∠ CОD – как вертикаль Поэтому АВ = CD и ∠ 1 = ∠ 2. Из ∠ 1 = ∠ 2 следует, что АВ ∥ CD Так как в четырехугольнике АВСD стороны АВ = CD и АВ ∥ CD, то по 1 признаку четырехугольник АВСD – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм). 16

Задача№ 371(а) 1 Дано: АВСD – четырехугольник, ∠BАC = ∠ACD, ∠CAD =∠BCA Доказать: АВСD – параллелограмм. Доказательство В С Рассмотрим треугольники ∆ АBC и ∆ACD: 1. ∠BАC = ∠ACD, ∠CAD =∠BCA – п условию, АС – общая; следовательно ∆ АBC = ∆ACD – по стороне и двум прилежащим углам; поэтому ВС = AD. А D 2. Так как ∠BАC = ∠ACD – накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС, AD и секущей - АС, то ВС ∥ AD. 3. Так как ВС = AD и ВС ∥ AD, то по 1 -му признаку параллелограмма АВСD – параллелограмм, что и требовалось 17 доказать.

Ответить на вопросы: ØКакая фигура называется параллелограммом? ØДокажите, что в параллелограмме противоположные стороны и углы равны. ØДокажите, что в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. ØСформулируйте и докажите признаки параллелограмма. Спасибо за внимание! 18