Скачать презентацию 6 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Определение Поверхностью второго Скачать презентацию 6 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Определение Поверхностью второго

Аналитическая геометрия 3(каф).ppt

  • Количество слайдов: 56

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Определение. Поверхностью второго порядка называют поверхность, определяемую уравнением второй § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Определение. Поверхностью второго порядка называют поверхность, определяемую уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат х и у: где хотя бы один из коэффициентов

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Поверхности второго порядка вырожденные 1. пустое множество невырожденные 2. § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Поверхности второго порядка вырожденные 1. пустое множество невырожденные 2. точка 1. сфера 2. эллипсоид 3. плоскость 3. однополостный гиперболоид 4. параллельных или пересекающихся плоскостей 4. двухполостный гиперболоид 5. эллиптический параболоид 6. гиперболический параболоид 7. эллиптический конус 8. эллиптический цилиндр 9. гиперболический цилиндр 10. параболический цилиндр

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Исследуем каждую из невырожденных поверхностей второго порядка методом параллельных § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Исследуем каждую из невырожденных поверхностей второго порядка методом параллельных сечений, то есть рассмотрим линии пересечения данной поверхности с плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 1. Сфера Определение. Сферой называется геометрическое место точек § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 1. Сфера Определение. Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром. • Каноническое уравнение сферы имеет вид: Отметим свойства сферы, вытекающие из определения. 1. Сфера – ограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что Таким образом, эллипсоид расположен внутри куба с центром в точке O и сторонами, равными a. 2. Сфера обладает: – центральной симметрией относительно начала координат; – осевой симметрией относительно координатных осей; – плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 1. Сфера Проведём сечение плоскостью z. Oy: - § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 1. Сфера Проведём сечение плоскостью z. Oy: - окружность. Проведём сечение плоскостью х. Oz: - окружность.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. R R 6. 1. Сфера R R R R § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. R R 6. 1. Сфера R R R R О R R R R

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 1. Сфера § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 1. Сфера

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 2. Эллипсоид Определение. Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 2. Эллипсоид Определение. Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид Числа a, b, c называются полуосям эллипсоида. Отметим свойства эллипсоида, вытекающие из определения. 1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что Таким образом, эллипсоид расположен внутри параллелепипеда с центром в точке O и сторонами, равными 2 a, 2 b, 2 c. 2. Эллипсоид обладает: – центральной симметрией относительно начала координат; – осевой симметрией относительно координатных осей; – плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей 3. Точки пересечения с осями: точки и – вершины эллипсоида.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 2. Эллипсоид Проведём сечение плоскостью z. Oy: - § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 2. Эллипсоид Проведём сечение плоскостью z. Oy: - эллипс. Проведём сечения параллельно плоскости z. Oy: - эллипсы при

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 2. Эллипсоид Проведём сечение плоскостью х. Oy: - § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 2. Эллипсоид Проведём сечение плоскостью х. Oy: - эллипс. Проведём сечения параллельно плоскости х. Oy: - эллипсы при

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 2. Эллипсоид Проведём сечение плоскостью х. Oz: - § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 2. Эллипсоид Проведём сечение плоскостью х. Oz: - эллипс. Проведём сечения параллельно плоскости х. Oz: - эллипсы при

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 2. Эллипсоид В любой плоскости, параллельной координатным плоскостям, § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 2. Эллипсоид В любой плоскости, параллельной координатным плоскостям, мы имеем в сечениях эллипсы, отсюда и название данной поверхности.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 2. Эллипсоид § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 2. Эллипсоид

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 2. Эллипсоид § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 2. Эллипсоид

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 3. Однополостный гиперболоид Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 3. Однополостный гиперболоид Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид Отметим свойства однополостного гиперболоида, вытекающие из определения: 1. Однополостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что 2. Однополостный гиперболоид обладает: – центральной симметрией относительно начала координат; – осевой симметрией относительно всех координатных осей; – плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 3. Однополостный гиперболоид Проведём сечение плоскостью z. Oy: § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 3. Однополостный гиперболоид Проведём сечение плоскостью z. Oy: - гипербола. Проведём сечения параллельно плоскости z. Oy: - гиперболы.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 3. Однополостный гиперболоид Проведём сечение плоскостью х. Oy: § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 3. Однополостный гиперболоид Проведём сечение плоскостью х. Oy: - эллипс. Проведём сечения параллельно плоскости х. Oy: - эллипсы.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 3. Однополостный гиперболоид Проведём сечение плоскостью х. Oz: § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 3. Однополостный гиперболоид Проведём сечение плоскостью х. Oz: - гипербола. Проведём сечения параллельно плоскости х. Oz: - гиперболы.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 3. Однополостный гиперболоид § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 3. Однополостный гиперболоид

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 3. Однополостный гиперболоид § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 3. Однополостный гиперболоид

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 4. Двуполостной гиперболоид Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 4. Двуполостной гиперболоид Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет следующий вид: Отметим свойства двуполостного гиперболоида, вытекающие из определения. 1. Двуполостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что и не ограничен сверху. 2. Двуполостной гиперболоид обладает: – центральной симметрией относительно начала координат; – осевой симметрией относительно всех координатных осей; – симметрией относительно всех координатных плоскостей.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 4. Двуполостной гиперболоид Проведём сечение плоскостью z. Oy: § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 4. Двуполостной гиперболоид Проведём сечение плоскостью z. Oy: - гипербола. Проведём сечения параллельно плоскости z. Oy: - гиперболы.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 4. Двуполостной гиперболоид Проведём сечение плоскостью х. Oy: § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 4. Двуполостной гиперболоид Проведём сечение плоскостью х. Oy: - нет пересечения. Проведём сечения параллельно плоскости х. Oy: - эллипсы при

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 4. Двуполостной гиперболоид Проведём сечение плоскостью х. Oz: § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 4. Двуполостной гиперболоид Проведём сечение плоскостью х. Oz: - гипербола. Проведём сечения параллельно плоскости х. Oz: - гиперболы.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 4. Двуполостной гиперболоид § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 4. Двуполостной гиперболоид

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 4. Двуполостной гиперболоид § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 4. Двуполостной гиперболоид

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 5. Эллиптический параболоид Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 5. Эллиптический параболоид Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, каноническое уравнения которой имеет вид Отметим свойства эллиптического параболоида, вытекающие из определения: 1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что и принимает сколько угодно большие значения. 2. Эллиптический параболоид обладает: – осевой симметрией относительно оси Oz; – плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz 3. При z =0 уравнению удовлетворяют x = y= 0. Значит, точка O(0; 0; 0) – вершина параболоида.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 5. Эллиптический параболоид Проведём сечение плоскостью z. Oy: § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 5. Эллиптический параболоид Проведём сечение плоскостью z. Oy: - парабола. Проведём сечения параллельно плоскости z. Oy: - параболы.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 5. Эллиптический параболоид Проведём сечение плоскостью х. Oy: § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 5. Эллиптический параболоид Проведём сечение плоскостью х. Oy: - точка О. Проведём сечения параллельно плоскости х. Oy: - эллипсы при

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 5. Эллиптический параболоид Проведём сечение плоскостью х. Oz: § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 5. Эллиптический параболоид Проведём сечение плоскостью х. Oz: - парабола. Проведём сечения параллельно плоскости х. Oz: - параболы.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 5. Эллиптический параболоид § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 5. Эллиптический параболоид

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 5. Эллиптический параболоид § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 5. Эллиптический параболоид

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 6. Гиперболический параболоид Определение. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 6. Гиперболический параболоид Определение. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, каноническое уравнения которой имеет следующий вид: Отметим свойства определения: гиперболического параболоида, вытекающие из 1. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что z – любое. 2. Гиперболический параболоид обладает: – осевой симметрией относительно оси Oz; – плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 6. Гиперболический параболоид Проведём сечение плоскостью z. Oх: § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 6. Гиперболический параболоид Проведём сечение плоскостью z. Oх: - парабола. Проведём сечение параллельно плоскости z. Oх: - параболы.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 6. Гиперболический параболоид Проведём сечение плоскостью у. Oх: § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 6. Гиперболический параболоид Проведём сечение плоскостью у. Oх: - пара прямых. Проведём сечение параллельно плоскости у. Oх: - сопряженные гиперболы.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 6. Гиперболический параболоид Проведём сечение плоскостью у. Oz: § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 6. Гиперболический параболоид Проведём сечение плоскостью у. Oz: - парабола. Проведём сечение параллельно плоскости у. Oz: - параболы.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 6. Гиперболический параболоид § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 6. Гиперболический параболоид

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 7. Конус второго порядка Определение. Конической поверхностью (конусом) § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 7. Конус второго порядка Определение. Конической поверхностью (конусом) второго порядка на зываютповерхность, определяемую в декартовой прямоугольной системе координат уравнением Отметим свойства конуса, вытекающие из определения: 1. Точка O – центр симметрии – вершина конуса. 2. Поверхность симметрична относительно координатных плоскостей.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 7. Конус второго порядка Проведём сечение плоскостью z. § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 7. Конус второго порядка Проведём сечение плоскостью z. Oy: - две прямые. Проведём сечения параллельно плоскости z. Oy: - две прямые.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 7. Конус второго порядка Проведём сечение плоскостью х. § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 7. Конус второго порядка Проведём сечение плоскостью х. Oy: - точка О. Проведём сечения параллельно плоскости х. Oy: - эллипсы.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 7. Конус второго порядка Проведём сечение плоскостью х. § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 7. Конус второго порядка Проведём сечение плоскостью х. Oz: - две прямые. Проведём сечения параллельно плоскости х. Oz: - гиперболы.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 7. Конус второго порядка § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 7. Конус второго порядка

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 8. Цилиндрические поверхности Определение. Цилиндрической поверхностью называется такая § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 8. Цилиндрические поверхности Определение. Цилиндрической поверхностью называется такая поверхность, каноническое уравнение которой не содержит одной из координат, например, z: На плоскости Оху это уравнение определяет некоторую линию L. z Пусть уравнению Но этому уравнению будут удовлетворять координаты любой точки . y L х , т. е. координаты точки M удовлетворяют Следовательно, уравнение F( x; y)=0 описывает поверхность, проектирующуюся на плоскость Оху в кривую L. В зависимости от типа направляющей L цилиндрические поверхности делятся на эллиптические, гиперболические и параболические.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 8. 1. Эллиптический цилиндр Направляющая – эллипс в § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 8. 1. Эллиптический цилиндр Направляющая – эллипс в плоскости х. Оу. Образующие – прямые линии в плоскостях х. Оz и у. Оz.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 8. 1. Эллиптический цилиндр § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 8. 1. Эллиптический цилиндр

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 8. 2. Гиперболический цилиндр Направляющая – гипербола в § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 8. 2. Гиперболический цилиндр Направляющая – гипербола в плоскости х. Оу. Образующие – прямые линии в плоскостях х. Оz и у. Оz.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 8. 1. Эллиптический цилиндр § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 8. 1. Эллиптический цилиндр

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 8. 3. Параболический цилиндр Направляющая – парабола в § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 8. 3. Параболический цилиндр Направляющая – парабола в плоскости х. Оу. Образующие – прямые линии в плоскостях х. Оz и у. Оz.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 8. 3. Параболический цилиндр § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 8. 3. Параболический цилиндр

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 9. Поверхности вращения Пусть в некоторой плоскости выбрана § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 9. Поверхности вращения Пусть в некоторой плоскости выбрана кривая L и прямая L 1. Опустим из точки N кривой L перпендикуляр на прямую L 1 и построим окружность с центром в точке P и радиусом NP, плоскость которой перпендикулярна прямой L 1. Определение. Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением плоской кривой L вокруг оси L 1 находящейся в этой же плоскости.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 9. Поверхности вращения Выведем уравнение поверхности вращения. Пусть § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 9. Поверхности вращения Выведем уравнение поверхности вращения. Пусть L Оуz и Оy – ось вращения, т. е. Вращая кривую L вокруг оси Oy, получим некоторую поверхность. Пусть т. М(0, х0, у0) лежит на L плоскости z. Oy. Пусть M 1 (x, y, z) – произвольная точка получившейся поверхности. Тогда Поэтому выполняется одно из соотношений: если то то Таким образом, мы показали, что если точка M 1 (x, y, z) принадлежит поверхности вращения, то ее координаты удовлетворяют уравнению

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 9. Поверхности вращения Полученное уравнение является уравнением поверхности § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 9. Поверхности вращения Полученное уравнение является уравнением поверхности вращения линии L вокруг оси Oy. Применимо следующее правило: чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением линии L, лежащей в плоскости y. Oz, вокруг оси Oy, нужно в уравнении этой линии заменить z на При выборе знака перед радикалом следует придерживаться следующего правила: знак должен совпадать в соответствующих точках со знаком координаты z на исходной кривой. Совершенно аналогичные правила будут для получения уравнений поверхностей вращения, получающихся вращением плоских линий вокруг других координатных осей.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 9. Поверхности вращения К поверхностям вращения, например, относятся: § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 9. Поверхности вращения К поверхностям вращения, например, относятся: 1. Сфера вращения 2. Эллипсоид вращения 3. Цилиндр вращения 4. Конус вращения

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 9. Поверхности вращения Эллипсоид вращения Двуполостный гиперболоид вращения § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 9. Поверхности вращения Эллипсоид вращения Двуполостный гиперболоид вращения Однополостный гиперболоид вращения

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 9. Поверхности вращения Пример 1. Определить поверхность, получаемую § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 9. Поверхности вращения Пример 1. Определить поверхность, получаемую вращением параболы вокруг осей Oу и Oz. Решение: При вращении вокруг оси Oу заменим в уравнении параболы - поверхность 4 -го порядка. При вращении вокруг оси Oz заменим в уравнении параболы - параболоид вращения.

§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 9. Поверхности вращения Пример 2. Найти уравнение поверхности, § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 6. 9. Поверхности вращения Пример 2. Найти уравнение поверхности, если прямую y = 1 - x вращать вокруг оси Ox. Решение: y x z Так как вращение прямой линии происходит вокруг оси Ox, то в силу изложенного выше правила нужно в данном уравнении прямой сделать замену Тогда или - конус с вершиной в точке М(1; 0; 0).