6 Планирование эксперимента 6 1 Основные понятия

6. Планирование эксперимента

6. 1. Основные понятия и определения n n n Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Цель планирования - получение математической модели объекта при минимальном количестве поставленных опытов. Задачи планирования: - поиск оптимальных условий ведения процесса; - определение факторов, оказывающих наибольшее влияние на процесс; - определение параметров теоретических моделей; - исследование диаграмм состав-свойство и т. д.

Математическая модель – уравнение связи между входными и выходными параметрами Y = f(X 1, X 2, . . . , Xn) Примечание: под «черным ящиком» подразумевают объект исследования, в котором для контроля доступны лишь входные и выходные параметры, а его внутренняя структура неизвестна.

Параметр оптимизации - отклик (реакция) объекта на воздействие факторов. Виды параметров оптимизации: экономические; технико-технологические и прочие. Требования к параметру оптимизации Параметр оптимизации должен быть: • Количественным и выражаться одним числом • Измеряемым • Однозначным в статистическом смысле • Универсальным • Иметь физический смысл, быть простым и легко вычисляемым

Факторы Фактор - исходный параметр процесса, выбранный исследователем для воздействия на объект и принимающий в ходе проведения эксперимента различные значения. § § Качественные: вещества, технология, аппараты, исполнители и т. п. Количественные: температура, расход, концентрация и т. п. Требования к факторам: § Управляемость § Операциональность § Точность § Однозначность - непосредственное воздействие на объект Требования к совокупности факторов: § Независимость (P, V, T) § Совместимость

6. 2. Выбор области проведения эксперимента 1 -й этап 2 -й этап Выбрать общую область это, значит, установить максимально и минимально возможные значения факторов, которые возможны и целесообразны. Выбрать локальную подобласть, это значит установить наиболее оптимальные границы области проведения эксперимента.

Блок-схема принятия решения при выборе основного уровня

Выбор интервалов варьирования факторов

6. 3. Полный факторный эксперимент (ПФЭ) Реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях. Количество опытов равно N = 2 k, где 2 – количество уровней; k – количество факторов. Пример: z 1 – температура (100 – 200) 0 С; z 2 – давление (2 – 6) кгс/см 2; z 3 – время пребывания (10 – 20) мин. Определение основного уровня и интервала варьирования: Перевод в безразмерные координаты

Геометрическая интерпретация плана полного трехфакторного эксперимента

В результате обработки данных эксперимента по такому плану получают уравнение регрессии вида , коэффициенты которого получают по формуле x 1 iyi -2 6 -4 8 -10 18 -8 12 Аналогично: b 0 = 8, 5; b 2 = -0, 5 и b 3 = 3, 5.

Уравнение регрессии и матрица планирования с учетом коэффициентов взаимодействия Определение коэффициентов взаимодействия аналогично обычным коэффициентам

6. 4. Дробный факторный эксперимент С увеличением k количество опытов полного факторного эксперимента резко возрастает N = 2 k Число опытов можно уменьшить путем использования дробных реплик от полного факторного эксперимента. В качестве реплики используется полный факторный эксперимент для меньшего количества факторов Однако, если коэффициенты регрессии при парных взаимодействиях не равны нулю, то полученные коэффициенты будут смешанными оценками для генеральных коэффициентов:

7. Оптимизация эксперимента Целенаправленный поиск оптимальных условий проведения эксперимента. Задача оптимизации - экспериментальный поиск координат экстремальной точки (х1 опт, х2 опт, . . . , хkопт) функции у = f(х1, х2, . . . , хk)

Оптимизация эксперимента

Оптимизация эксперимента а - путем фиксации одного из факторов; б - методом крутого восхождения Перпендикулярно линиям y = const Если описать поверхность функцией: y = f(x 1, x 2, . . . , xk), то градиент функции будет равен а б

Оптимизация эксперимента а - путем фиксации одного из факторов; б - методом крутого восхождения а б

Пример использования метода Бокса-Уилсона Требуется определить оптимальные значения исходных параметров реакционного процесса: z 1 – температура и z 2 – концентрация реагента. 1. Выбор критерия оптимальности (у1 - выход целевого продукта и у2 скорость протекания реакции) у1 = 35, 6 + 1, 95 х1 + 1, 3 х2 (интервалы варьирования: z 1 = 5; z 2 = 1) 2. Наложение ограничений на параметр оптимизации и факторы : у2 2, 5; 300 z 1 1200; 10% z 2 70%. 3. Определение шага восхождения z 1* z 1, z 1* = 4 = z 1*/ (b 1 z 1) = 4/(1, 95 5) = 0, 41 z 2* = b 2 z 2 = 0, 41 1, 3 1 0, 5 %. 4. Составление таблицы, проведение эксперимента и анализ его результатов

Результаты опытов по методу крутого восхождения Где: у1 э у2 э - экспериментальные значения выхода целевого продукта и скорости химической реакции, соответственно; х1 э и х2 э – безразмерные значения факторов z 1 и z 2, соответственно.

8. Планы второго порядка 8. 1. Центральное композиционное планирование При значимой кривизне поверхности отклика используют планы более высокого порядка, из них наиболее распространены планы 2 -го порядка. Их достоинства: • • • они хорошо разработаны; легко поддаются систематизации и, следовательно, определению экстремальной точки; дальнейшее возрастание порядка полинома приводит к значительному увеличению числа опытов. Количество опытов N и коэффициентов уравнения регрессии l при различном числе факторов Путь сокращения числа опытов – использование центрального композиционного планирования (Ц К П ) Количество опытов при ЦКП: N = 2 k + n 0 при k < 5; N = 2 k-1 + 2 k + n 0 при k 5.

Композиционный план 2 -го порядка для 2 -х факторов

Композиционный план 2 -го порядка для k = 2

8. 2. Ортогональный план второго порядка Значения звездного плеча для различного числа факторов k и опытов в центре плана n 0 * полуреплика, х5 = х1 х2 х3 х4. n 0 k 2 3 4 5* 1 1 1, 215 1, 414 1, 546 2 1, 077 1, 285 1, 471 1, 606 3 1, 148 1, 353 1, 546 1, 664 4 1, 214 1, 414 1, 606 1, 718 5 1, 267 1, 471 1, 664 1, 463 6 1, 320 1, 525 1, 718 1, 819 7 1, 369 1, 575 1, 772 1, 868 8 1, 414 1, 623 1, 819 1, 913 9 1, 454 1, 668 1, 868 1, 957 10 1, 498 1, 711 1, 913 2, 000

Ортогональный план второго порядка для двух факторов

Уравнение регрессии ортогонального плана у = b 0* + b 1 х1 + b 2 х2 + b 12 х1 х2 + b 11 х1* + b 22 х2* у = b 0 + b 1 х1 + b 2 х2 + b 12 х1 х2 + b 11 х12 + b 22 х222

Определение значимости коэффициентов регрессии Дисперсия b 0: bj: bu, j: bjj : Где u, j = 1, 2, 3, 4; u j; выборочные значения дисперсии и стандарта определяется по формулам: Значимость по критерию Стьюдента:

8. 3. Ротатабельный план второго порядка (матрица (XТX)-1 инвариантна к ортогональному вращению координат)

Ротатабельный план 2 -го порядка для k = 2

Определение коэффициентов уравнения регрессии

Ошибки коэффициентов Значимость по критерию Стьюдента: