6. Численное Дифференцирование и Интегрирование 6.1. Общие сведения

6. Численное Дифференцирование и Интегрирование 6.1. Общие сведения Дифференцирование и Интегрирование – основные операции в математике. Операторы: - операторы дифференцирования - операторы интегрирования (неопределенный интеграл) - определенный интеграл Зачем нужны численные методы дифференцирования и интегрирования Численное дифференцирование ? Обычно применяется в 2-х случаях: если некоторую функция f(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически. Например, при табличном задании функции; при численном решении дифференциальных уравнений, когда производные аппроксимируются алгебраическими соотношениями.

Численное интегрирование ? Методы интегрирования: аналитические; приближенные; численные. MathCAD Для компьютера понятий бесконечно малого или большого нет. Например, MathCAD: Справка: в MathCAD есть символьный процессор - ... Например, производная функции определяется как Численное интегрирование используется в тех случаях, когда другие методы интегрирования невозможны или неэффективны. Операции дифференцирования и интегрирования основаны на понятиях бесконечно малого и бесконечно большого. Символьные операции в MathCAD MathCAD

6.2. Численное дифференцирование В численных методах нет понятия бесконечного. м а т а н а л и з Пусть некоторая функция f(x) задана таблично: Тогда производную на промежутке можно записать где - конечные значения Если мало, то погрешностью можно пренебречь и получить разностную формулу для производной геометрический смысл Погрешность -

Теоретически при должно быть Это справедливо при точных значениях . В случае, когда табличные значения дифференцируемой функции получены с погрешностью (расчеты по сложным соотношениям, эксперимент), то численное дифференцирование может привести к значительному возрастанию этой погрешности. Уменьшение шага h только усугубит проблему. Что делать? Проблема погрешности численного дифференцирования см. погрешность вычитания близких чисел! Аппроксимируем эти данные методом со сглаживанием. Например, методом наименьших квадратов. Получим некоторую аналитическую функцию, которую можно дифференцировать. исходные данные MathCAD Дифференцирование в системе MathCAD

Неопределенный интеграл первообразная Интегрирование – операция отыскания определенного или неопределенного интеграла от данной подынтегральной функции. «интеграл берется» «интеграл не берется» 6.3. Численное интегрирование

Примеры. ( + const ) первообразная 1. Интеграл берется подынтегральная функция 2. Интеграл не берется нет элементарных функций, через которые можно выразить первообразную. Но этот интеграл существует. Его, например можно выразить через специальные (неэлементарные) функции: Можно найти приближенное значение через ряды: специальная функция

Определенный интеграл геометрический смысл Например, Численно равен площади (с учетом знаков) рассмотрим далее

Простейшие численные методы расчета определенных интегралов Рассмотрим Интервал [a, b] разобьем на n частей – элементарных отрезков. Для упрощения выкладок полагаем, что шаг разбиения h постоянен и не равен 0. Получим разностную сетку с узлами x0, x1, x2, ... , xn . 2. Рассмотрим xi xi+1 f(x) yi yi+1 численно равен площади Аппроксимируем функцию f(x) на данном интервале более простой f(x), интеграл от которой легко найти: Вариантов такой аппроксимации много, рассмотрим самые простые.

Используем кусочно – постоянную аппроксимацию f(x) на [xi, xi+1] : 4. Рассмотрим метод левосторонних прямоугольников погрешность метода

геометрическая интерпретация Погрешность метода точное значение расчетное ? погрешность

Оценка погрешности Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности т. xi Подставим это разложение в Получим сравним погрешность Или более грубая оценка Для всего интервала [a, b] Или -порядка h. Это метод 1-го порядка точности.

5. Рассмотрим метод правосторонних прямоугольников Для элементарного отрезка: Для всего интервала [a, b] : геометрическая интерпретация расчетная формула правосторонних прямоугольников Это метод 1-го порядка точности Погрешность (без вывода) :