5. Конвекция и диффузия Бурцев С.А., Егоров К.С.

5. Конвекция и диффузия Бурцев С.А., Егоров К.С. CALS-технологии … Установившаяся одномерная конвекция и диффузия Дискретный аналог для многомерных задач Односторонняя пространственная координата Схемная искусственная диффузия Схемы дискретизации первого порядка Схемы дискретизации по пространству высокого порядка

Установившаяся одномерная конвекция и диффузия Постановка задачи ДУ сохранения имеет вид (5.1) Для аппроксимации конвективного члена используем кусочно-линейный профиль Ф (как ранее для члена Г(дФ/дx) ). В результате получим Дискретный аналог (5.2)

Для того чтобы записать уравнение более компактно, введем (5.3) Из условия Fe=Fw получим aP=aE+aW, ru=const, (ru)w- (ru)e=0. Эта центрально-разностная схема (разложение в ряды Тейлора). Рассмотрим пример: De=Dw=1, Fe=Fw=4. Рассмотрим два набора значений: ФE = 200, ФW = 100 => ФP = 50 ФE = 100, ФW = 200 => ФP = 250. Когда |F|>2D то можно получить отрицательные aW или аE. Отрицательные коэффициенты могут также означать, что нарушается выполнение критерия Скарбороу. При нулевой диффузии (например, μ = 0) схема приводит к значению аP = 0. где

Запись диффузионного члена остается прежней, а значение Ф на грани контрольного объема равно значению в соседней узловой точке с подветренной стороны грани. Таким образом уравнения (5.4) представим в виде Фе = ФР, если Fe > 0 , Фе = ФЕ, если Fe < 0, Фw = ФW, если Fw > 0 , Фw = ФР, если Fw < 0. Введем оператор [|A, B|] определяющую большею из величин А и В. Тогда для схемы против потока Окончательно, дискретный аналог Схема против потока где (5.5)

Из уравнения (5.5) видно, что отрицательные значения коэффициентов в этом случае не появляются. Уравнение сохранения можно решить точно, если положить Г равным постоянной величине и учитывая F=const (ru=const ). Если рассматривается область 0≤x≤L с граничными условиями при x = 0 Ф = Ф0 и при x = L Ф = ФL , то решение (5.1) можно представить в виде (5.6) Точное решение Физический смысл схемы против потока: можно представить как серию отдельных баков с перемешивающейся внутри них жидкостью, которые соединяются с помощью трубок. или Физический смысл Р – это отношение интенсивности конвекции к диффузии.

Смысл точного решения (5.6) будет более понятен, если рассмотреть рисунок на котором изображена зависимость Ф от x для различных чисел P. Когда |P| принимает большие значения, производная dФ/dx при x=L/2 близка к нулю (т.е. диффузия практически отсутствует). В схеме с аппроксимацией против потока диффузионный член рассчитывается, исходя из линейного профиля Ф от x, т.е. предполагается несколько больший вклад диффузии при больших значениях |P|. Если дискретный аналог получен непосредственно из точного решения, то результирующая схема не должна иметь каких-либо дефектов. Легко видеть, что предварительный анализ не дал результатов. Распределение Ф от x носит нелинейный характер, за исключением малых |P|. Когда |P| велико, значение Ф при x=L/2 (грань КО) приблизительно равно значению Ф на границе вверх по потоку. Это и есть допущение, сделанное в схеме против потока, но здесь оно используется для всех значений |P|, а не только для больших.

Введем понятие суммарного потока J, который складывается из конвективного потока ruФ и диффузионного потока -Г(дФ/дx). Т.е. Общая формулировка дискретного аналога (5.7) (5.8) где P=rud/Г. Значение Ф на грани КО представим как некоторое взвешенное среднее Фi и Фi+1, хотя dФ/d(x/d) умножается на Фi+1 ‑ Фi. Далее пусть (5.9) где А и В - безразмерные коэффициенты, которые являются функциями числа Р (коэффициент А содержит величины в точке i+l, расположенной перед гранью КО, В - в точке i за гранью КО, что соответствует выбранному направлению координаты).

Если Фi.=Фi+1, то -Г(дФ/дx)=0. Т.е. J будет определяться только ruФ, а безразмерный тепловой поток (5.11) Свойства А и В. Комбинируя приведенные выше уравнения, получаем B=A+P A(P) и B(P) будут связаны соотношениями A(-P)=B(P) B(-P)=A(P) для всех значений P A(P)=A(|P|)+[|-P, 0|], B(P)=A(|P|)+[|P, 0|] (5.10) где

Все схемы, за исключением центрально-разностной, дают результаты, которые можно назвать физически реальными, а центрально-разностная схема дает значения, которые лежат вне области [0, 1], определенной крайними значениями. Методика и результаты применения различных разностных схем Без потери общности положим ФE =1 и ФW =0. Предположим, что отрезки (dx)e=(dx)w, при этом ФP будет функцией P=rudx/Г. Таблица 5.1

Дискретный аналог для многомерных задач Общее ДУ для нестационарной конвекции и диффузии (5.12) Получение двухмерного дискретного аналога Когда заданные поля скорости и плотности удовлетворяют дискретному аналогу уравнения неразрывности – проблем нет. Однако когда не удовлетворяют, то разные способы записи приводят к разным решениям. При рассмотрении одномерного случая было, показано, что aP=aE+aW только тогда, когда удовлетворено уравнение неразрывности.

Двухмерный дискретный аналог можно записать в следующем виде (5.13) Здесь ФP0 н rP0 обозначают известные значения для времени t, а все другие величины (ФP, ФE, ФW и т.д.) представляют собой неизвестные величины для времени t+Dt. Массовые расходы Fe, Fw, Fn, и Fs определены уравнениями Соответствующие проводимости представим в виде (5.14) (5.15) числа Пекле (5.16) Коэффициенты aE, aW, aN и aS учитывают влияние конвекции и диффузии для 4 граней КО, которые зависят от массового расхода F и проводимости D. aP0ФP0 характеризует известную величину Ф для КО (для t) отнесенную к Dt .

Запишем дискретный аналог, основываясь на общем ДУ для нестационарной конвекции и диффузии (5.12). Для трехмерной задачи (с Т и B для оси z) Расходы и проводимости определяются следующим образом Дискретный аналог для трехмерных задач (5.17) (5.18) Число Пекле P определяется как отношение F и D, для всех соседних точек дискретного аналога (Pnb=Fnb/Dnb). Значение функции A(|P|) можно взять из таблицы 5.1 соответственно выбранной схеме.

Односторонняя пространственная координата Односторонние и двухсторонние координаты Пусть в 2D случае имеет место высокая скорость течения в положительном направлении оси x, тогда для всех точек P коэффициенты aE будут равны нулю. Другими словами, ФP зависит от ФW, ФN, и ФS, но не от ФE. Таким образом, координата x станет односторонней, так как значения Ф в любой точке не будут зависеть от ее значений вниз по потоку. Односторонний характер пространственной координаты Двухсторонней координатой называется координата, для которой условия протекания процессов с одной стороны от точки на координатной линии зависят от условий с другой стороны. В противоположном случае координата называется односторонней. Даже если пространственная координата не является односторонней в пределах всей расчетной области, ее локальное одностороннее поведение часто используется при аппроксимации граничных условий.

Для всех узловых точек P, ближайших к выходной границе потока, коэффициенты aE =0, если число Пекле достаточно велико. Условия на выходной границе потока Где нет течения жидкости через границу расчетной области (поток на границе является чисто диффузионным) проблем при задании ГУ нет. Для тех частей границы, где жидкость втекает в рассматриваемую область, обычно значения Ф известны (иначе задача является некорректна поставленной). При отсутствии информации о ГУ всегда можно предположить, что диффузионный коэффициент Г на внешней границе мал, т.е. принимаем допущение о больших числах P. Границу без возмущений можно рассматривать как приемлемую внешнюю границу потока. Особенно плохим выбором расположения выходной границы потока будет тот, при котором на некоторой части границы есть вторичные токи.

Схемная искусственная диффузия Общий взгляд на искусственную диффузию центрально-разностная схема, имеет 2 порядок аппроксимации, а схема с разностями против потока имеет только 1 порядок аппроксимации схема с разностями против потока вызывает появление сильной схемной искусственной диффузии. Разложение в ряды Тейлора может показать, что центрально-разностная схема обеспечивает порядок аппроксимации (Dx)3, в то время как схема с разностями против потока - порядок (Dx)2. Т.к. изменение Ф(x) для конвекции и диффузии является экспоненциальным, то усеченные ряды Тейлора не могут хорошо аппроксимировать это изменение для любых значений Dx, кроме крайне малых. Для больших значений Dx анализ, основанный на разложении в ряды Тейлора, приводит к неправильным результатам и, схема с разностями против потока дает более реальные результаты, чем центрально-разностная. Схемы экспоненциальная, комбинированная и схема со степенным законом соответствуют центрально-разностной схеме при очень малых числах P. В дальнейшем будем рассматривать в основном большие числа P и схемы с разностями против потока, однако полученные выводы будут применимы и к схемам экспоненциальной, комбинированной и со степенным законом.

Если диффузионный коэффициент Г0, то будет образовываться слой смешения. Анализ искусственной диффузии Если Г=0, то слой смешения не образуется, и будет иметь место скачок температуры в поперечном направлении. Т.к. Г=0 и в направлении оси y течение отсутствует, то aN и aS будут равны нулю. Коэффициент aE также должен быть равен нулю. Таким образом, aP должно равняться aW, что приведет к ФP=ФW Два параллельных потока с равной скоростью, но не равными температурами соприкасаются друг с другом. Смысл схемы с разностями против потока. 1. Однородный поток в направлении оси x.

Замечания. 1. Искусственная диффузия имеет место когда поток наклонен по отношению к линии сетки и существует ненулевой градиент зависимой переменной в направлении к нормали потоку. 2. Равномерный поток, направленный под углом 45° к линиям сетки. Для удобства используем равномерную сетку с Dx=Dy. Скорости потока в направлениях осей x и y равны (т.е. aW и aS в соседних точках вверх по потоку равны, а значения aE и aN в точках вниз по потоку равными нулю).

3. Искусственную диффузию можно снизить уменьшая шаги x и y и располагая сетку так, чтобы сеточные линии совпадали с направлением потока. 4. Поскольку реальная диффузия имеет место во многих задачах, то достаточно сделать искусственную диффузию малой по сравнению с реальной. 5. Использование центрально-разностной схемы не является средством избавления от искусственной диффузии (CD дает совершенно нереальные решения, если рассматриваются большие числа Пекле). 6. Основной причиной возникновения искусственной схемной диффузии является практика обращения с потоком через каждую грань как с локально одномерным (значение Ф переносимое наклонным потоком к узловой точке Р, на самом деле приходит из угловой узловой точки SW, однако этот перенос представляется как действие двух отдельных потоков поступающих из S и W). 7. Схемы, которые бы обеспечивали меньший вклад искусственной диффузии, должны учитывать многомерную природу потока. Это возможно в случае треугольной сетки. 2. Приближенное выражение для Гиск в 2D случае можно записать в виде Если θ=0º или θ=90º, то Гиск=0; когда θ=45º Гиск является максимальной.

Оценка точности по методу Рунге-Кутта В.М. Поляев, В.А. Майоров, Л.Л. Васильев, Гидродинамика и теплообмен в пористых элементах конструкций летательных аппаратов, М: Машиностроение, 1988 г. – 168 с. Пористая стенка Пусть I1 и I2 приближенные значения интеграла при шагах сетки h1 и h2 h1=2h2 Сопротивление матрицы может быть представлено в виде суперпозиции вязкостной amu и инерционной bru2 – составляющих модифицированного уравнения Дарси или уравнения Рейнольдса-Форшмейхера

Схемы дискретизации первого порядка Схема дискретизации против потока (Upwind differencing - UD) Эта схема дискретизации первого порядка точности. Выбирает значение для Ф из ближайшей соседней ячейки, лежащей вверх по потоку Данный метод интерполяции сохраняет корректные физические величины для Ф при любых условиях, однако может привести к схемной или искусственной диффузии (искусственное сглаживание больших градиентов в решении).

Схемы дискретизации по пространству высокого порядка Если не указано иное, то перечисленные схемы дискретизации допустимы для всех типов сеток, используемых в STAR-CD. Эта схема 2 порядка точности. Она использует линейную интерполяцию между ближайшими соседними ячейками независимо от направления потока Схема с линейной интерполяцией против потока (Linear upwind differencing - LUD) Схема с центральным вычислением разностей (Central differencing - CD) Эта схема 2 порядка точности, специально адаптированная для неструктурных сеток. Использование данной схемы приводит к меньшей искусственной диффузии, чем схема UD, но может дать решение вне физичных диапазонов по Ф - численная дисперсия (схема неустойчива). где f - весовой коэффициент интерполяции, изменяется в пределах от 0 до 1. Эта схема характеризуется меньшей численной диффузией , чем схема UD, но может вести себя нестабильно.

Схема вверх по потоку с квадратичной интерполяцией конвективной кинематики (Quadratic Upstream Interpolation of Convective Kinematics - QUICK) Это схема третьего порядка точности, которая вписывает параболу через две точки вверх по потоку и одну точку вниз по потоку для получения интерполированной величины, а именно: где fW fE fE+ - весовые коэффициенты квадратичной интерполяции. Схема не очень устойчивая. В пакетах CFD (STAR-CD, CFX, Fluent и т.д.) эта схема не может быть использована с тетраэдральными или неструктурированными сетками.

Монотоно адвективная (туманная) и перестраиваемая схема (Monotone Advection and Reconstruction Scheme - MARS) MARS - многомерная схема дискретизации второго порядка точности, работающая в два последовательных шага: Реконструкция – рассчитываются градиенты физических величин с использованием многомерной «Total Variation Diminishing (TVD)» схемы. Адвекция – восстановленная картина потоков через грани ячеек используется для расчета всех переносимых (адвекционных) свойств при помощи монотонной и ограниченной переносной схемы. MARS может также использоваться для расчетов плотности, при этом выполняется только шаг реконструкции. Из всех доступных в STAR-CD схем, MARS обладает наименьшей чувствительностью к структуре и качеству сетки. Корректность работы MARS не зависит от каких либо параметров конкретной задачи. MARS автоматически поддерживает все виды задач и типы сеток, реализуемые в STAR-CD. Пользователь может регулировать способность адвективной схемы точно описывать большие градиенты в потоке, меняя scheme’s compression level (уровень сжатия схемы) от 0 до 1.