17 ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ основы расчетов

17. ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ (основы расчетов в упругопластической стадии сопротивления материалов)

В сопротивлении материалов расчет конструкций мы рассматривали, исходя из того, что в их элементах возникали только упругие деформации: < Виды конструкций и условий их работы настолько многообразны, что очень часто материал работает при деформациях, величина которых превышает упругие деформации. В материале изделия появляются пластические деформации. Различают нагружение с малыми и большими упруго-пластическими деформациями.

При малых деформациях (как упругих, пластических, так и упругопластических) относительная линейная деформация может составлять от 0, 001% до 0, 5%. Обычно считают, что упругопластические деформации характеризуются пределом текучести, а если на диаграмме растяжения нет площадки текучести – то условным пределом текучести. При этом в расчетах можно использовать формулы сопротивления материалов. Выбор величины остаточной относительной деформации является условным.

Большие (упругопластические, а как правило – пластические) деформации характеризуются десятками процентов. Это кузнечно-прессовые и вытяжные технологические операций: операции навивки пружин, штамповки изделий. Различные сильно напряженные изделия (например, оболочки ракетных двигателей) также получают большие деформации. Большие деформации – остаточные сварочные деформации, получают конструкции при ошибках в проектировании, в назначении режимов и в выборе технологии сварки.

17. 1. Обобщенная диаграмма деформирования и ее схематизация, понятие о предельных состояниях 17. 1. 1. Диаграммы деформирования При превышении предела упругости, уже не будут пропорциональны Пластические деформации характеризуются тем, что на диаграмме наблюдается переход на другой участок – с участка пропорциональности (зона упругости) на участок (зону) упругопластических деформаций (см. диаграмму пластичного материала).

Диаграмма растяжения пластичного материала

К классу задач, рассматриваемых в данной теме, применим принцип начальных размеров. Ниже покажем, что при рассмотрении таких задач неприменим принцип независимости действия сил.

Приложим к стержню, изображенному на рисунке, две силы, меняя при этом порядок (очередность) их приложения: положительную (растягивающую) и имеющую величину, при которой появляются пластические деформации Р 1 = РТ (напряжения равны пределу текучести материала) и отрицательную (сжимающую) Р 2 = РУ = Рпц. , при которой деформации только упругие (напряжения не превышают предела текучести материала).

На рисунке показана диаграмма для первого варианта очередности приложения сил: первой приложена сила Р 1 = РТ; второй приложена сила Р 2 = Р У. Стержень сначала растягивается, материал получает пластическую деформацию Δl 1. Затем сжимается, получая некоторую упругую деформацию Δl 2. Имеем так называемую упругую – Разность деформацийразгрузку.

Рассмотрим диаграмму для второго варианта очередности приложения сил: первой приложена сила Р 2 =Ру; второй приложена сила Р 1=РТ. Стержень сначала сжимается, материал получает упругую деформацию Δl 2. Стержень сначала сжимается, материал получает упругую деформацию Δ 2. Затем растягивается, получая опять таки упругую деформацию Разность деформаций – Δб. После снятия нагрузки эта деформация исчезнет. Δ 1.

Видим, что остаточные деформации в первом и втором случае приложения сил оказались различными, причем Δа > Δ б. Пластические деформации (случай а) при разгрузке полностью не снимаются.

Для различных материалов диаграммы растяжения различны. Нам же, для проведения расчета, необходимо ввести зависимость Поэтому прибегают к схематизации диаграммы растяжения. Для материалов, имеющих площадку текучести, диаграмма растяжения схематизируется двумя прямыми.

Получают диаграмму идеального упругопластического материала (диаграмму Прандтля) Принимается, что площадка текучести имеет неограниченную протяженность.

Если, площадка текучести отсутствует, то свойства материала также схематизируются двумя прямыми, наклонными. но Схематизация диаграммы растяжения материала с линейным упрочнением Такие диаграммы и их схематизация характерны для материалов с линейным упрочнением, например – легированных сталей.

При значениях нормальных напряжений σ < σ0, 2 используется зависимость – закон Гука σ=Еε. Если σ > σ0, 2, то используется зависимость D – модуль упрочнения материала. Модуль упрочнения D, так же, как и модуль упругости Е есть постоянная величина (константа). Его величина (по аналогии с величиной Е=tgα 1) определяется как угловой коэффициент прямой на участке упрочнения – по значению tgα 2.

Иногда величиной упругой деформации вообще пренебрегают, и тогда получаем диаграмму для жестко пластичного материала: на участке ОА – жесткое тело (деформации отсутствуют), на участке АВ – материал пластичный.

Таким образом, в каждом конкретном случае, в зависимости от вида диаграммы растяжения подбирается функция 17. 1. 2. Понятие о предельных состояниях Вспомним метод расчета по допускаемым напряжениям. Условие прочности записывается в виде: При этом в расчет принимаются (определяются по формулам для соответствующего вида нагружения) максимальные напряжения в опасном слое, опасной точке опасного сечения или в наиболее нагруженном элементе конструкции. Допускаемые напряжения определяются отношением опасного напряжения к коэффициенту запаса прочности.

. конструкция из хрупких материалов не рассчитывается за пределами упругости (нет пластических деформаций). Заметим, что Для пластичных материалов: Т. е. опасным или предельным состоянием при расчете по допускаемым напряжениям считается достижение в материале предела текучести (в наиболее нагруженных точке, слое или элементе конструкции). Тогда, например, при растяжении-сжатии из условия проч допускаемое значение нагрузки:

Нагрузка, при которой напряжения в опасной точке достигают значения предела текучести материала – опасная нагрузка РТ. Допускаемая нагрузка [P] – это нагрузка, при которой максимальное напряжение в опасной точке достигает значения допускаемого напряжения, т. е. она меньше опасной нагрузки на величину коэффициента запаса. Учитывая, что при растяжении-сжатии статически определимого стержня всё поперечное сечение нагружено постоянными по величине и направлению нормальными напряжениями, то во всех точках сечения эти напряжения достигнут предела текучести одновременно – это есть предельное состояние: все точки сечения будут опасными. Коэффициент запаса для такого стержня:

Зададимся вопросом: будет ли достигаться описанное выше предельное состояние в случае, если напряжения в опасном сечении распределяются неравномерно (изгиб, кручение, сложное сопротивление)? Ответ однозначен: НЕТ! Напряжения достигнут значения предела текучести в ограниченных зонах материала, что не является опасным для всей конструкции. Следовательно, нагрузку на брус можно увеличивать. Очевидно, что способность конструкции сопротивляться нагрузке будет полностью исчерпана при некоторой предельной нагрузке Рпр>РТ, величина которой нам неизвестна.

Нагрузка, при которой во всех точках опасного сечения бруса, а иногда и во всех элементах конструкции напряжения достигнут значения предела текучести – предельная нагрузка Рпр. При достижении этой нагрузки конструкция теряет способность сопротивляться нагружению, т. е. наступает предельное состояние. Допустить этого нельзя. Поэтому, по аналогии с расчетом по допускаемым напряжениям, предельно допускаемая нагрузка: При постоянном значении n:

Предельно допускаемая нагрузка [Р]пр. – нагрузка, при которой напряжения во всех точках опасного сечения бруса или во всех элементах конструкции не превышают предела текучести материала, т. е. она меньше предельной нагрузки на величину коэффициента запаса.

17. 2. Расчет растянутых - сжатых статически определимых и статически неопределимых стержневых систем за пределами упругости 17. 2. 1. Статически определимые стержневые системы При растяжении или сжатии нормальные напряжения распределяются равномерно по сечению стержня. Поэтому расчеты на прочность статически определимых систем по допускаемым напряжениям и по предельному состоянию дают один и тот же результат. Предельной нагрузкой для таких стержней является такая, которая вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения, равные пределу текучести Тогда

С учетом выражений: получим: но Следовательно: . Таким образом, предельно допускаемая нагрузка оказалась равной допускаемой нагрузке.

17. 2. 2. Статически неопределимые стержневые системы При расчете статически неопределимых стержней и стержневых систем на растяжение или сжатие, а также при других видах нагружения бруса (изгиб, кручение, внецентренное растяжение-сжатие и т. д. ) предельно допускаемая нагрузка будет больше, чем допускаемая нагрузка. Рассмотрим примеры расчета стержневых систем. А). Стержень, у которого концы жестко закреплены – один раз статически неопределимая задача Нагрузка приложена на расстоянии Раскрыв. опоры В статическую неопределимость, определим реакции на опорах: Нормальные напряжения на участках: b=1/3 ℓ от

Поэтому, при увеличении силы Р напряжения на участке b значительно раньше достигнут значения По абсолютной величине Приравняем между собой эти напряжения: Устанавливаем, что это равенство будет выполняться при значении силы При этом, несущая способность стержня не будет исчерпана, т. к. в верхней его части (участок а) напряжения будут равны: т. е. величина этих напряжений вдвое

При дальнейшем увеличении силы Р напряжения остаются постоянными (в соответствии с диаграммой Прандтля) и равными , а напряжения будут возрастать до этого же И только при достижении значения напряжениями предела текучести на участке а, несущая способность будет исчерпана – это предельное состояние и ему будет соответствовать сила Рпр. : . Таким образом, допускаемая нагрузка Предельно допускаем ая нагрузка

Отношение Таким образом, нагрузка увеличилась на 33%. Преимущества перехода к расчету за пределами упругости налицо. Б). Рассмотрим 3 -х стержневую систему. В результате раскрытия статической неопределимости получим: В данном случае N 1 > N 2 = N 3.

Напряжение, поэтому, будет раньше достигать максимума в первом стержне: При расчете по предельному состоянию усилие в первом стержне: И тогда Заданная система становится статически определимой, т. к. N 1=N 1 T. При этом величина продольной силы будет оставаться постоянной (в соответствии с диаграммой Прандтля).

Запишем уравнение равновесия ΣY=0 и получим: откуда Несущая способность конструкции будет исчерпана, когда напряжения и в оставшихся стержнях системы достигнут предела текучести: Нагрузка станет предельной Pпр. > PT. В этом случае усилия в стержнях: Значение предельной нагрузки:

17. 3. Упругопластический изгиб и кручение круглых брусьев 17. 3. 1. Упругопластический изгиб бруса При изгибе, в соответствии с формулой Навье, нормальные напряжения равны В крайних волокнах бруса максимальные напряжения Рассмотрим изгиб балки прямоугольного поперечного сечения. Момент сопротивления такого сечения равен При нагружении балки изгибающим моментом эпюра распределения напряжений имеет известный из теории изгиба, вид М,

С увеличением М до значения в крайних волокнах сечения нормальные напряжения достигнут предела текучести. При дальнейшем увеличении момента зона с величиной расширяется в направлении нейтральной оси.

Предельное состояние наступит, когда текучесть распространится по всей высоте сечения h. Нагружение, таким образом, ведется вплоть до полного исчерпания несущей способности балки. Дальнейшая деформация балки будет происходить без изменения величины изгибающего момента (в соответствии с диаграммой Прандтля). В рассматриваемом поперечном сечении образуется так называемый пластический шарнир, который передает изгибающий момент Мпр.

Для сечения, симметричного относительно нейтральной оси (например, прямоугольного, в соответствии с рисунком) этот момент определим по зависимости: Smax – статический момент площади половины поперечного сечения относительно нейтральной оси, 2 Smax – пластический момент сопротивления Wпл. Предельный изгибающий момент Отношение изгибающих моментов (предельного к Оно характеризует степень увеличения запаса прочности балки при переходе к расчету по предельным нагрузкам (скрытый запас

Для прямоугольника мы получили зависимость Интеграл можно переписать в виде: Следовательно Отношение моментов сопротивления для прямоугольного сечения: Для двутаврового сечения это отношение

17. 3. 2. Упругопластическое кручение круглых брусьев При кручении круглых стержней касательные напряжения определяются по известной формуле В крайних волокнах (на поверхности бруса) максимальные касательные напряжения Рассмотрим кручение бруса круглого поперечного сечения диаметром d. Эпюра распределения касательных напряжений имеет вид

При достижении крутящим моментом значения в крайних волокнах возникнут напряжения, равные пределу текучести и в материале появятся пластические деформации. При этом Полярный момент сопротивления определяется по формуле Зададимся значением идеальной пластичности (в соответствии с диаграммой Прандтля).

При дальнейшем увеличении крутящего момента до предельного значения во всем сечении касательные напряжения достигнут предела текучести. Определим пластический момент сопротивления при кручении Интегрированием определим предельный момент:

Следовательно, пластический момент сопротивления при кручении равен Тогд а Через отношение моментов сопротивления определим значение скрытого запаса прочности круглого бруса при кручении:

7. 4. Расчет конструкций по предельным состояниям Метод расчета по предельным состояниям разработан группой ученых СССР под руководством академика Стрелецкого Н. С. и применяется с 1955 г. Предельное состояние – такое состояние конструкции, при котором она перестает удовлетворять заданным эксплуатационным требованиям. 17. 4. 1. Надежность и несущая способность Надежность конструкции – способность ее сохранять в процессе эксплуатации качества, заложенные при проектировании. Несущая способность конструкции – уровень максимального силового нагружения, допустимый для безопасной работы конструкции в течение всего периода ее эксплуатации.

Метод расчета изначально был основан на рассмотрении одного из ТРЕХ предельных состояний: 1. Потеря несущей способности (прочности, устойчивости, усталостной прочности). 2. Развитие чрезмерных деформаций (прогибов, перекосов, деформаций ползучести и т. п. ). В этом случае конструкция сохраняет прочность, устойчивость или усталостную прочность, но возникающие при этом деформации необратимы, а амплитуда колебаний достигает значительной величины. 3. Образование и развитие трещин. Размеры трещин таковы, что дальнейшая эксплуатация конструкции невозможна (потеря водонепроницаемости, опасность коррозии из-за повреждения отделочного слоя и т. п. ).

С 1972 г. рассматривается ДВА предельных состояния: 1. Потеря несущей способности; 2. Невозможность нормальной эксплуатации (объединены 2 и 3 предельные состояния). В большинстве случаев расчет конструкций ведется по ПЕРВОМУ предельному состоянию – по несущей способности. В первую очередь это касается строительных (железобетонных и металлических) и сварных конструкций. Все рекомендации по использованию метода сосредоточены в строительных нормах и правилах (СНИП). В Беларуси – строительные нормы Беларуси (СНБ).

17. 4. 2. Нормативное и расчетное сопротивления, коэффициент однородности В основу расчета по предельным состояниям положено так называемое нормативное сопротивление RH. В качестве RH принято значение предела текучести Это минимальное (браковочное) значение. Известно, что механические характеристики материалов не являются постоянными и зависят от многих факторов. Поэтому в расчет вводится понятие коэффициента однородности k 0. Коэффициент однородности количественно отображает однородность и постоянство свойств материала конструкции.

Коэффициентом однородности учитываются возможные отклонения фактических механических характеристик материалов (пределов прочности, текучести, выносливости, ползучести, длительной прочности и т. п. ) от их нормативных значений: Расчетное сопротивление: Иногда в расчетах используется коэффициент надежности: Следовательно:

Значения коэффициентов k 0 и γm для различных материалов Материал Коэффициент сталь бетон растяжение 0, 9 1, 1 дерево сжатие 0, 6 1, 5– 2, 3 0, 6– 0, 3 1, 3– 1, 5 1, 7– 3, 6

17. 4. 3. Коэффициенты перегрузки и условий работы В расчетные формулы вводятся еще два коэффициента. Коэффициент перегрузки определяется отношением Значения коэффициента перегрузки выбираются в пределах 0, 9 – 1, 4. В том числе: – от собственного веса – 1, 1; – от действия временных нагрузок – 1, 4. Коэффициентом перегрузки n учитывается возможность превышения фактическими нагрузками (или их уменьшения, когда это ухудшает условия работы конструкции) их нормативных значений, установленных нормами.

Значения коэффициента условий работы могут назначаться как больше, так и меньше единицы. Для благоприятных условий работы m > 1 (например, в случае пластического деформирования, т. к. усилия в этом случае перераспределяются). При действии неблагоприятных факторов m < 1 (температура, агрессивная среда, длительное и многократное силовое воздействие). В частности, для балок, колонн, резервуаров m = 0, 8 – 0, 9. Чем меньше значение m, тем большим будет общий запас прочности конструкции.

Коэффициентом условий работы m учитываются особые условия работы конструкций (агрессивность среды, концентрация напряжений и т. п. ), условность определения расчетных нагрузок, применяемых при их расчете. Условие прочности при расчете по предельным состояниям имеет вид: растяжение-сжатие – изгиб –

Сравним формулы условий прочности по допускаемым напряжением и по предельным состояниям. Видим, что при растяжении-сжатии при изгибе Следовательно

17. 4. 4. Преимущества метода расчета по предельным состояниям По сравнению с расчетом по нагрузкам вместо одного допускаемым нормативного коэффициента запаса n вводится несколько: k 0, n, m. За счет введения этих коэффициентов для разных конструкций расчет ведется по различным допускаемым напряжениям Рассматриваемый метод позволяет уменьшать расход материала и, следовательно, уменьшать стоимость конструкции За счет снижения общего коэффициента запаса когда условия работа конструкции хорошо изучены.

Прочность сооружений обеспечивается в тех случаях, когда возможны значительные превышения фактическими нагрузками их нормативных значений и когда условия работы недостаточно изучены. Таким образом, представляется возможной дифференциация коэффициента запаса. В машиностроении используется только метод расчета по допускаемым напряжениям.