16 Оценка задержки радиосигнала с неизвестной начальной фазой

16 Оценка задержки радиосигнала с неизвестной начальной фазой (1) Совместная оценка задержки и фазы , maxmin ˆˆ, ln , argmax psw Сигнал с неизвестной начальной фазой

17 Оценка задержки радиосигнала с неизвестной начальной фазой (2) Усреднение по случайной начальной фазе Апостериорная плотность вероятности задержки ( ) ( | ) ( ) 1 Априорная плотность вероятности фазы ( ) , 0, 2 2 ps ps pr pr w w w d w 2 2 ( , ) 0 0 1 ( ) ( | ) ( ) 2 q ps ps pr prw w w d c e d w Условная апостериорная плотность вероятн ости: Апостериорная плотность вероятности задержки:

Оценка задержки радиосигнала с неизвестной начальной фазой (3)

19 Оценка задержки радиосигнала с неизвестной начальной фазой (4) Корреляционный интеграл c s 0 0 0 2 2 ( , ) ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( )q Z Z Z G G c 2 s 2 c s( ) ( ) , ( ) cos ( ), ( ) sin ( )Z Z Z Z Апостериорная плотность вероятности задержки 0 0 2 ( ) ( )ps prw c I Z w G

20 Оценка задержки радиосигнала с неизвестной начальной фазой (5) Логарифм апостериорной плотности вероятности задержки 0 0 2 ln ( )ps prw c I Z w G 0 0 При равномерном априорном распределении задержки 2 ln ( ) ps w const I Z G min max , , 2 c 2 s 2 , , ˆ ln ( ) argmax ( ) ( ) argmax psw Z Z Оценка задержки: − монотонно возрастающая функция 0 ln I x

21 Оценка задержки радиосигнала с неизвестной начальной фазой (6) Алгоритм оценки задержки min maxc 0 0 s 0 0 c 2 s 2 , , ( ) ( ) cos ( ) ( ) sin ( ) ( ) ˆ( ) ( )argmax. T T Z y t U t t t dt Z Z Z 00 , 0 0 Сигнал с задержкой : ( ) cos ( )s t U t t t

22 Оптимальный корреляционный приёмник радиосигнала с неизвестной начальной фазой 2 1, ˆˆ ( ) argmax ˆ m m M mm Z

2 3 Максимальное отношение сигнал-шум на выходе коррелятора при измерении задержки Корреляционный интегралс ш 00 2 ( ) ( ) ( ) T q y t s t dt q q G Принимаемое колебание 0( ) ( )y t s t n t с 0 00 2 ( ) ( ) Tq s t dt G — сигнальная функция ш 0 02 ( ) ( ) T q n t s t dt G — шумовая функция Максимальное отношение сигнал-шум по напряжению: ш с max q q

24 Вычисление 0 с 0 0 00 2 2 ( ) ( ) , T q s t dt G G s s r r Сигнальная функция как скалярное произведение векторов: с maxq 0 0 0 2 с 0 2 0 с 0 0 , ( ) , max при , т. е. при ( ) T T s t dt E s t s s s r r r 2 с с max с 0 00 22 ( ) T E q q s t dt G G

25 Вычисление Дисперсия шумовой функции: шq

263. 2. Оптимальное обнаружение сигнала (полностью известный сигнал) Принятая смесь сигнала и шума( ) ( ) ( )y t s t n t 1, если сигнал есть 0, если сигнала нет обнаружение оценка сигнала параметра c 0 ( )( ) E G q ps prpсe e p Апостериорная вероятность параметра 0 00 0 2 2 ( ) ( ) ( ) корреляционный интеграл T T q y t s t dt G G 2 2 2 с 0 0 ( ) ( ) энергия сигнала T T E s t dt

27 Оптимальное обнаружение сигнала (полностью известный сигнал — 1)( ) ( )s t s t 1 c 0 (1) E G q ps prp сe e p 00 2 (1) ( ) Tdef q y t s t dt q G 2 с с 0 (1) ( ) Tdef E s t dt E 0 ( ) 0 s t (0) 0 q с(0) 0 E (0)ps prpс p

28 Оптимальное обнаружение сигнала (полностью известный сигнал — 2)c c 0 0 c 0 (0) (1) (0) ln (1) E E pr pr. G Gq q pr pr p p. E сe e p с p e e q p p G 1 (сигнал есть), если (1) (0) ˆ 0 (сигнала нет), если (1) (0) ps ps p p Оценка параметра Случай, когда (1) (0)ps psp p (1) (0) 1 def pr prp p Алгоритм оптимального обнаружения c 0 00 порог 12 ( ) ln T pr pr h p. E q y t s t dt G p G

29 Оптимальный корреляционный обнаружитель (полностью известный сигнал)c 0 Оптимальный порог 1 ln pr pr p. E h G p

30 Характеристики оптимального обнаружителя (полностью известный сигнал — 1) Возможные ситуации при обнаружении 1 0 1 правильное обнаружение ложное срабатывание [ ложная тревога (ЛТ) ] 0 пропуск сигнала правильное необнаружениеˆ обнp. ЛТp пропp необн ЛТ 1 p p проп обн 1 p p Независимые вероятности:

31 Характеристики оптимального обнаружителя (полностью известный сигнал — 2) Статистические характеристики корреляционного интеграла 0 00 0 2 2 Корреляционный интеграл ( ) ( ) ( ) T T q y t s t dt s t n t s t dt G G 2 с ш 0 0 00 0 2 2 2 ( ) ( ) T T E s t dt n t s t dt q G G G с 0 2 с с 0 ш ш 0 2 мат. ожидание ( ) | 2 дисперсия 0 2 ( )q E q q G E q G q E q G D D Условная плотность вероятности корреляционного интеграла (нормальное распределение): 2 2 ( | ) 21 | 2 q q w q e

32 Характеристики оптимального обнаружителя (полностью известный сигнал — 3)

3 3 Характеристики оптимального обнаружителя (полностью известный сигнал — 4) 2 2 обн ( | 1) 2 с 0 с с 0 0 Вероятность обнаружения | 1 1 ( | 1) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 q h h q qp w q dq h q e dq E h G E E G G с обн 0 2 1 q Eh p G 2 2 ЛТ 2 с 0 Вероятность ложной тревоги | 0 1 1 2 2 1 1 qh h q q p w q dq e dq h. E h G ЛТ 1 q h p

34 Характеристики оптимального обнаружителя (полностью известный сигнал — 5) 2 21 Интеграл вероятности 2 xz x e dz 1 0 2 1 x x

3 5 Характеристики оптимального обнаружителя (полностью известный сигнал — 6) Полная вероятность ошибкиош проп ЛТ 1 minpr prp p p c 0 1 ln pr pr p E h p G при оптимальном пороге. Обнаружение по критерию максимума апостериорной вероятности Обнаружение по критерию Неймана-Пирсона обн ЛТmax при заданной допустимой p p с с обн 0 0 2 2 1 q q E Eh h p G G 1 ЛТ ЛТ 1 1 q qh h p p 1 с обн ЛТ 0 2 1 E p p G — нормированный порог

3 6 Характеристики оптимального обнаружителя: (полностью известный сигнал — 7) Характеристики (кривые) обнаружения по критерию Неймана-Пирсона

37 Оптимальное обнаружение сигнала (сигнал с неизвестной начальной фазой — 1) Апостериорная вероятность параметра c 0( ) 2 2 ( , ) 0 0 0 1 1 ( ) ( | ) ( ) 2 2 E G q ps ps pr p p w d p dсe d e p , 0 0 02 2 ( , ) ( ) ( ) cos ( ) T T q y t s t dt y t U t t dt G G 2 ( , ) 0 00 1 2 ( ) 2 q e d I Z G c 2 s 2( ) ( )Z Z Z c 0 0( ) ( ) cos ( ) T Z y t U t t t dt s 0 0( ) ( ) sin ( ) T Z y t U t t t dt

38 Оптимальное обнаружение сигнала (сигнал с неизвестной начальной фазой — 2) 1 0 (0) 1 ps pr prp с p c 0 ( ) 0 0 2 ( ) ( ) E G ps prpс. I Z e p G c 0 0 0 2 (1) E G ps prpс. I Z e p G 0(0) 0 0 1 Z I Случай, когда (1) (0) : ps psp p c 0 0 0 12 2 (1) 1 ln (1) ln E pr G pr pr pr h p. E с. I Z e p с p I Z G G G p

39 Оптимальное обнаружение сигнала: (сигнал с неизвестной начальной фазой — 3) Алгоритм оптимального обнаружения 0 0 2 ln. I Z h G c 0 1 порог ln pr pr p E h G p 2 2 c s. Z Z Z c 0 0 ( ) cos ( ) T Z y t U t t t dt s 0 0 ( ) sin ( )T Z y t U t t t dt

40 Оптимальный корреляционный обнаружитель (сигнал с неизвестной начальной фазой)* 1 c 0 0 0 Оптимальный порог 1 ln , 2 prh pr p. E G h h I e G p

41 Характеристики оптимального обнаружителя Характеристики (кривые) обнаружения по критерию Неймана-Пирсона

4 23. 3. Оптимальное различение полностью известных сигналов Принятая смесь сигнала и шума ( ) ( )y t s t n t 1 2 1, если сигнал ( ) 0, если сигнал ( ) s t различение оценка сигналов параметра c 0 ( ) ( ) E Gq ps prpсe e p Апостериорная вероятность параметра 00 2 ( ) ( ) корреляционный интеграл T q y t s t dt G 2 с 0 ( ) энергия сигнала T E s t dt 1 2( ) 1 ( )s t s t

43 Оптимальное различение двух полностью известных сигналов (1)

44 Оптимальное различение двух полностью известных сигналов (2)

45 Оптимальный приёмник различения двух известных сигналов 2 c 1 c 2 1 0 Оптимальный порог ln pr prp E E h p G

46 Вероятность ошибки при оптимальном различении двух известных сигналов (1) Равновероятные сигналы с одинаковой энергией 1 2 с1 с2 с 1 0 2 pr prp p h E E E Вероятность ошибки различения ош 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 | | 2 pr prp p s s условные вероятности ошибок приёме сигналов 1 2 2 2 0 | | | h p s s q h s w q s d q P 0 2 1 1 1| | | h p s s q h s w q s d q P

Вероятность ошибки при оптимальном различении двух известных сигналов (2) Статистические характеристики напряжения на входе ПУ

48 Вероятность ошибки при оптимальном различении двух известных сигналов (3) Условные плотности вероятности 2 с 1 12 ( | )1 | exp 22 qq q q s w q s 2 с 2 22 ( | )1 | exp 22 qq q q s w q s с 1 1 с 2 2 0 02 2 | ( ) ( ) T T q s s t s t dt G G 2 2 00 2 Дисперсия , где ( ) T s q s E E s t dt G Условное математическое ожидание

49 Вероятность ошибки при оптимальном различении двух известных сигналов (4)

50 Вероятность ошибки при оптимальном различении двух известных сигналов (5) Условные плотности вероятности и условные вероятности ошибок 0 1 2 2 2 1 1 0 | | h h p s s w q s d q 2 1 1 2| |p s s

51 Вероятность ошибки при оптимальном различении двух известных сигналов (6) с 012 с 10 2 1 1 с 12 0 с с 12 12 1 2 0 0 т. к. ( ) 1 ( ) 2 1 0 | | | 4 1 1 | q x x E r q s. G p s s w q s d q E r G E E r r p s s G G Вероятность ошибки различения с ош 2 1 1 2 2 1 12 0 1 | | | 1 1 2 E p p s s r G

52 Вероятность ошибки при оптимальном различении двух известных сигналов (7) Противоположные сигналы: с ош. пр ош min 0 2 1 E p p G 12 1 r Ортогональные сигналы: с ош. орт 0 1 E p G 120 r Неразличимые сигналы: 12 1 r ош ош max 1 2 p p с с дв дв д. Б 0 0″ Двоичное» отношение сигнал-шум , 10 lg E E q q G G

53 Вероятность ошибки при оптимальном различении двух известных сигналов (8)

54 Оптимальный приёмник различения M равновероятных сигналов с одинаковой энергией 0 ( ) T m m. R y t s t dt

55 Импульсная характеристика Передаточная функция. CФ 0( ) ( )g t cs t t 0 0 0 ( ) СФ СФ 0 *( ) ( ) t t x dt dx j t j t j t j x K j g t cs t t e dt c s x e d x c s x e e dx ce s x e dx c. S j e & & = F АЧХ СФ СФ( ) ( )K K j c. S &= = ФЧХ СФ СФ 0( ) arg ( )K j t &= =3. 4. Оптимальная обработка сигналов с использованием согласованных фильтров

56 Отклик СФвых СФ СФ 0 ( ( ))0 ( ) ( ) cs t t y t g t y g t d c y s t t d E 55555 F вых 0( ) ( )y t c y s d Корреляционный интеграл 00 2 ( ) ( ) T q y t s t dt G Отклик СФ на сигнал 0 вых СФ СФ 0 с 0 АКФ сигнала, сдвинутая на ( ) 0( ) ( ) tcs t ts t g t s g t d c s s t t d c R t t 14 2 43 2 вых max вых 0 с( ) (0) ( )ss s t c. R c s d c. E Пиковое значение отклика Характеристики согласованного фильтра (1) 2 с с и. E U

57 Отношение сигнал-шум на выходе СФвых max сs c. E Характеристики согласованного фильтра (2)вых. max СФ ш. вых s 2 2 20 ш. вых 0 СФ СФ 0 0 2 20 0 0 СФ 0 спо теореме Парсеваля 1 Дисперсия шума ( ) ( ) 2 2 2 G G f df G K f df K d G G G g t dt c s t t dt c E 0 ш. вых с 2 G c E с СФ 0 2 E G Максимальное отношение сигнал-шум на выходе СФ не зависит от вида сигнала и определяется только отношением его энергии к спектральной плотности шума 221 если ( ) , то ( ) 2 X j x t dt X j d & &F Теорема Парсеваля:

58 Оптимальные приёмники с СФ: оценка неэнергетического параметра Априорное распределение вероятностей параметра — равномерное

59 Оптимальные приёмники с СФ: оценка задержки видеоимпульса Априорное распределение вероятностей задержки — равномерное ˆ иˆ mt вых 1, ˆarg max ( )m m M m y t

6 0 Оптимальные приёмники с СФ: оценка задержки радиоимпульса (1) Влияние начальной фазы сигнала

6 1 Оптимальные приёмники с СФ: оценка задержки радиоимпульса (2) Сигнал со случайной начальной фазой

6 2 Оптимальные приёмники с СФ: обнаружитель радиоимпульса Согласованный фильтр для видеоимпульса (СФ (видео))

6 3 Оптимальные приёмники с СФ: некогерентный сигнал с бинарной частотной манипуляцией 1 21 2 pr pr p p