1. Задача о касательной Пусть на плоскости XOY

1. Задача о касательной Пусть на плоскости XOY задана непрерывная кривая y=f(x). Необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке M 0 (x 0 , y 0 ).

Дадим аргументу x 0 приращение Δ x и перейдем на кривой от точки M 0 ( x 0 , f ( x 0 )) к точке M 1 ( x 0 + Δ x , f ( x 0 + Δ x )). Проведем секущую M 0 M 1. Под касательной к кривой y=f(x) в точке M 0 (x 0 , y 0 ) понимают предельное положение секущей M 0 M 1 приближении точки M 1 к точке M 0 , т. е. при 0 x

xy )( xfy 0 M 1 M 0 xxx 0 0 y yy 0 N

Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 имеет вид: )()(00 xxkxfy Рассмотрим прямоугольный треугольник M 0 M 1 N : x y tgk. MM 10 — угловой коэффициент секущей M 0 M 1.

Тогда угловой коэффициент касательной к кривой в точке M 0 : xy kk x. MM x 00 limlim

2. Задача о скорости движения Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону S=S(t) , где S – пройденный путь, t – время движения. Требуется найти скорость в момент времени t 0 .

Тогда за промежуток времени Δ t средняя скорость составит: t S vср Чем меньше Δ t , тем лучше средняя скорость характеризует движение в момент t 0. На момент времени t 0 пройденный путь составит S 0 =S(t 0 ) , на момент времени t 0 + Δ t пройденный путь составит S 0 + Δ S =S(t 0 + Δ t ).

Поэтому под скоростью точки в момент времени t 0 понимают: t S vv t ср t 00 limlim

3. Задача о производительности труда Пусть функция u=u(t) выражает количество произведенной продукции u за время t. Требуется найти производительность труда в момент времени t 0 .

Тогда за промежуток времени Δ t средняя производительность труда составит: t u zср Чем меньше Δ t , тем лучше средняя производительность труда характеризует производительность в момент t 0. За период от t 0 до t 0 + Δ t количество произведенной продукции изменится от u 0 =u(t 0 ) до u 0 + Δ u =u(t 0 + Δ t ).

Производительность труда в момент t 0 есть предельное значение средней производительности за период времени от t 0 до t 0 + Δ t при t u zz t ср t 00 limlim 0 x