1 Властивості відношень. Відображення. Поняття алгебри Лекція 2
1 Властивості відношень. Відображення. Поняття алгебри Лекція 2 Вступ до теорії множин
Властивості відношень 2 Властивості бінарних відношень Нехай A – деяка множина, – бінарне відношення на A. Відношення називається: рефлексивним, якщо aa для всіх aA; симетричним, якщо з ab випливає ba для a, bA; транзитивним, якщо з ab і bc випливає ac для a, b, cA. Рефлексивне, симетричне та транзитивне відношення називається відношенням еквівалентності. Важливою властивістю будь-якого визначеного на множині A відношення еквівалентності є те, що воно розбиває A на неперерізні підмножини – класи еквівалентності. Для кожного елемента aA позначимо через [a] клас еквівалентності, який містить a, тобто множину {b|ab}.
Властивості відношень 3 Приклад відношення еквівалентності Приклад 1.6. Розглянемо визначене на множині N = {1, 2,...} відношення порівняння за модулем M. Кажуть, що a порівняно з b (a, bN) за модулем M і пишуть a b(mod M), якщо існує таке ціле число k, що a – b = kM. Нехай M = 3. Тоді множина {3, 6, ..., 3n,...} буде одним із класів еквівалентності, оскільки 3n 3m(mod 3) для будь-яких цілих чисел m і n. Позначимо цей клас через [3]. Інші два класи еквівалентності відношення порівняння за модулем 3: [2] = {2, 5, 8, ..., 3n+2, ...}, [1]={1, 4, 7,...,3n+1, ...}. Очевидно, що [1][2][3] = N та [1][2] = , [1][3] = , [2][3] = .
Властивості відношень 4 Індекс відношення еквівалентності Індексом визначеного на множині A відношення еквівалентності називається кількість класів еквівалентності, на які цим відношенням розбивається множина A. У прикладі 1.6 індекс відношення еквівалентності на множині N = {1, 2,...} складав 3.
Властивості відношень 5 Деякі спеціальні бінарні відношення Бінарне відношення 2 називається відношенням толерантності, якщо воно рефлексивне, симетричне, але не транзитивне. Бінарне відношення 2 називається відношенням нестрогого порядку, якщо воно рефлексивне, транзитивне, але не симетричне. Бінарне відношення 2 називається відношенням строгого порядку, якщо воно транзитивне, але не рефлексивне та симетричне.
Відображення 6 Відображення Важливим класом відношень є відображення. Означення 1.1. Відображенням (або функцією) M множини A у множину B називають таке відношення з A у B, коли при (a, b)M і (a, c)M, b = c. Якщо (a, b)M, то зазвичай пишуть M(a) = b. Кажуть, що M(a) визначене, якщо bB є таким, що (a, b)M. Якщо M(a) визначене для всіх aA, то кажуть, що M всюди визначене. Якщо треба підкреслити, що M може бути визначене не для всіх aA, то кажуть, що M – часткове відображення (функція) множини A у множину B. У будь-якому випадку пишуть M:AB. Означення 1.2. Множини A та B називаються областю визначення та множиною значень M, відповідно.
Відображення 7 Ін’єктивне відображення (ін’єкція) Означення 1.3. Якщо відображення M:AB таке, що bB існує не більш ніж одне aA таке, що M(a) = b, то відображення M називається ін'єктивним (взаємно однозначним, ін'єкцією). Важлива властивість ін’єкції полягає в тому, що якщо b=M(a1) & b=M(a2) ═> (a1=a2). Для ін’єктивного відображення можна знайти обернене відображення M–1:BA, для якого M–1(b) = a тоді й тільки тоді, коли M(a) = b. Якщо bB, для якого в A не знайдеться такого a, що M(a)=b, то M–1 буде частковою функцією.
Відображення 8 Сюр’єктивне відображення (сюр’єкція) Означення 1.4. Якщо відображення M всюди визначене на A та bB aA таке, що b=M(a), то M називається сюр’єктивним відображенням (сюр’єкцією).
Відображення 9 Бієктивне відображення (бієкція) Означення 1.5. Всюди визначене відображення M на A таке, що для bB існує одне і тільки одне aA, для якого виконується умова M(a) = b, називається бієктивним відображенням (бієкцією). Бієктивне відображення можна визначити як ін'єктивне та сюр’єктивне. Поняття бієктивного відображення використовується для визначення потужності множин. Відображення
10 Різні види функцій (1) Відношення, але не функція Ін’єкція, але не сюр’єкція Відображення
11 Різні види функцій (2) Сюр’єкцієя, але не ін’єкція Бієкція Відображення
12 Відображення Приклад1.1. Нехай A та B – множини дійсних чисел і f :AB визначена у такий спосіб: f(x)=3x+5. Функція f ін’єктивна, бо якщо f(a1)=f(a2), то 3a1+5=3a2+5 і a1=a2 . Функція f є також сюр’єктивною. Для будь-якого дійсного числа b необхідно знайти таке a, що f(a)=b=3a+5. Розв’язуючи це рівняння відносно a, знаходимо, що якщо a=(1/3)(b-5), то f(a)=b. Тому f являє собою взаємно-однозначну відповідність. Приклади відображень (1)
13 Відображення Приклади відображень (2) Приклад1.2. Нехай A та B – множини дійсних чисел і f :AB визначена як f(x)=x2. Функція f не є ін’єктивною, бо f(2)=f(-2), але 2≠-2. Функція f не є також і сюр’єктивною, оскільки не існує такого дійсного числа a, для якого f(a)=-1. Слід зауважити, що у випадку, коли A та B – множини невід’ємних дійсних чисел, то функція f є як ін’єктивною, так і сюр’єктивною.
Потужність множин 14 Означення 1.6. Множина S скінченна, коли рівнопотужна множині {1, 2, ..., n} для деякого цілого числа n (у цьому випадку потужність множини – S, |S| = n). Означення 1.7. Множина нескінченна, коли рівнопотужна деякій власній підмножині. Означення 1.8. Множина зчисленна (рахункова), коли рівнопотужна множині додатних цілих чисел N = {1, 2, ...}. Потужність такої множини позначається як 0. Існують нескінченні незчисленні множини. Означення 1.9. Нескінченна множина, що не є зчисленною, називається незчисленною. Нескінченна незчисленна множина рівнопотужна (еквівалентна) множині дійсних чисел D і називається також континуальною. Її потужність позначається як c. Потужність множин
Потужність множин 15 Континуум-гіпотеза 1877 року Георг Кантор висунув і згодом безуспішно намагався довести так звану континуум-гіпо́тезу, яку можна сформулювати таким чином: Будь-яка нескінченна підмножина континууму є або рахунковою, або континуальною. (Не існує нескінченних множин, потужність яких знаходиться між 0 та c). Континуум-гіпотеза стала першою з двадцяти трьох математичних проблем, про які Гільберт доповів на II Міжнародному Конгресі математиків в Парижі в 1900 році. Тому континуум-гіпотеза відома також як перша проблема Гільберта.
Потужність множин 16 Коен Пол Джозеф (2.04.1934 – 23.03.2007) Коеном було доведено, що континуум-гіпотеза не може бути ані доведена, ані спростована, за що він став лауреатом премії Бохера Американського математичного товариства (саме її вручили йому за розробки в області континуум-гіпотези), одержав золоту медаль конгресу математиків у Москві (1964 р.), Філдсівську медаль (еквівалент Нобелівської премії в галузі математики), він був почесним членом Лондонського наукового товариства.
Відображення 17 Відображення Повернемось до розгляду множин A та B. Якщо множина B збігається із множиною E2 = {0, 1}, то відображення M:AE2 називається предикатом. Квантори і зв'язують змінні у предикаті. Наприклад, (xX)(yY)[xy] не залежить від x та y. Якщо множина B збігається із множиною дійсних чисел, то відображення M:AB називається функціоналом. У випадку, коли множини A та B є значеннями деяких змінних величин, відображення M:AB називається функцією.
Алгебри 18 Поняття алгебри Означення 1.10. Алгеброю називається система Α = B, , що складається з основної множини B (основи алгебри) та визначеної на ній скінченної або нескінченної множини n-арних алгебраїчних операцій, які називаються сигнатурою операцій алгебри. Задати n-арну операцію на множині B означає зумовити для будь-яких n елементів b1,b2, ..., bnB елемент bB, який є результатом застосування операції до елементів b1, b2, ..., bn. Це записується так: b = (b1, b2, ..., bn). Вимога однозначності операції обов'язкова. Звідси випливає, що є функцією на B.
Алгебри 19 Приклади алгебр Розглянемо конкретні приклади алгебр. У випадку, коли множина B є множиною векторів, а – сукупністю операцій над ними, A являє лінійну алгебру. Якщо B – множина комплексних чисел, а – сукупність операцій над ними, то маємо алгебру комплексних чисел. Наприклад, ми можемо записати мовою Сі++ протокол класу matrix для виконання операцій над комплексними матрицями. Якщо ж B – множина булевих змінних, а – сукупність операцій над ними, то ці множини визначають булеву алгебру.
Алгебри 20 Багатоосновні алгебри Узагальненням в визначенні алгебр є поняття багатоосновної алгебри, сигнатуру якої визначено на деякій сукупності множин Bi, що є основами алгебри. Прикладом багатоосновної алгебри є система алгоритмічних алгебр (САА) В.М.Глушкова, основами якої є множина операторів (B1) і множина логічних умов (B2) із визначеною на множинах сигнатурою операцій . Деякі операції сигнатури та їх порівняння із відповідними операторами мови програмування Pascal подано у таблиці на наступних слайдах.
Алгебри 21 Піонер кібернетики в Україні, створив Інститут кібернетики НАН України. Під його керівництвом в 1966 р. було створено першу персональну ЕОМ „МІР – 1”, автор фундаментальних праць у галузі кібернетики, математики і обчислювальної техніки. Яскравим науковим результатом є створення математичного апарату модифікованих систем алгоритмічних алгебр для дослідження паралельних алгоритмів. Академік Глушков В.М. (24.08.1923 – 30.01.1982)
Алгебри 22 Сигнатура операцій в САА
Алгебри 23 Сигнатура паралельних операцій в САА-М
24 Паралельні підсхеми алгоритму Флойда-Уоршала для MPP-архітектури із GPU Після застосування запропонованих автором підходів* отримаємо підсхеми алгоритму, які виконуються на GPU * S. D. Pogorilyy, Yu. V. Boyko, A. D. Gusarov, S. I. Lozytskyi. An approach to the parallel solution of a high-dimensional basic flow problem. Cybernetics and Systems Analysis, Volume 45, Issue 2 (March 2009) pages: 291 – 296. Springer Science and Business Media Inc. ISSN:1060-0396. Алгебри
25 Параллельна схема алгоритму Флойда-Уоршала для MPP-архитектуры с GPU (2) Загальна паралельна схема алгоритму виглядає у такий спосіб: Алгебри
26 Кольорова мережа Петрі алгоритму Флойда-Уоршала для MPP-архітектури із GPU Алгебри
Алгебри 27
82-dm_l2_2012.ppt
- Количество слайдов: 27