1 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА лекция

1 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА лекция 5 Факультет компьютерной инженерии и управления, кафедра АПВТ, ХНУРЭ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2 Цель лекции – изучить свойства упорядоченных множеств и отношения порядка для применения в задачах компьютерной инженерии Содержание: Определение бинарного отношения порядка Упорядоченные множества Линейный и частичный порядок Диаграммы Хассе Старший элемент, мажоранта, миноранта Обратное отношение. Принцип двойственности Тема: Упорядоченные множества. Отношение порядка

3 Литература Горбатов В.А. Основы дискретной математики. М.: Высш. шк., 1986. 9-12 с. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 4-10 с. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. М.: Энергия, 1980. 344 с. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. С.-П., 2001. С. 4-24. Хаханов В.І., Хаханова І.В., Кулак Е.М., Чумаченко С.В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001. 17-20 с.

4 Термины Базовые понятия: множество, подмножество, бинарное отношение, рефлексивность, симметричность, транзитивность Ключевые слова: бинарное отношение порядка, рефлексивность, антисимметричность, транзитивность, старший элемент, наибольший (наименьший) элемент, мажоранта (миноранта), верхняя (нижняя) грань, супремум (инфимум)

5 Def: бинарным отношением порядка (упорядоченности) называется рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение Обозначение: RМ2 : 1. xM: xx; 2. x,yM: xy, yx  x=y; 3. x,y,zM: xy, yz  xz Def: упорядоченным называется множество с заданным отношением порядка (М, R). Определение отношения порядка

6 Примеры Отношение родства Отношение знакомства (знать человека) 1 2 3 Алла Пугачева Филя Киркоров Студент ХНУРЭ

7 Линейный и частичный порядок Def: линейно упорядоченное множество  x,yM xy или yx частично упорядоченное множество (имеются несравнимые элементы) x,yM  (x  y) или (x  y ) Строгий порядок = =антирефлексивность+ +антисимметричность+ +транзитивность Примеры 1. < R, > 2. 

8 Пример Жить этажами выше Антирефлексивность: 11 1 Антисимметричность: 12 Транзитивность: 12, 23  13

9 Диаграммы Хассе Пример Коды можно рассматривать как геометрические пространственные фигуры Н Диаграммы Хассе известны с XIX в., использовались в генеалогии при задании родства

10 Time-Out

11 Покрываемость элементов: aj

12 Пример B1={{1},{2}}; B2={{1},{1,2}}. Для B1: множество верхних граней – { {1,2}, {1,2,3} } sup B1={1,2}, inf B1=. Ни одна из верхних граней не принадлежит множеству B1. Для B2 : множество верхних граней – {{1,2},{1,2,3}}, множество нижних граней B2 –{,{1}}. supB2={1,2}, infB2={1}, т.е. обе точные грани принадлежат множеству B2.  A={1,2,3} частично упорядочено отношением включения

13 Единственность наибольшего (наименьшего) элемента Теорема. Упорядоченное множество М содержит не более одного наибольшего (наименьшего) элемента. Пусть mi , mj – два наибольших элемента, mi  mj или mj  mi Тогда в силу антисимметричности получаем mi=mj  существует единственный наибольший элемент Def: цепь M´M - подмножество упорядоченного множества. Длина цепи: l =| M´|-1. Def: высота элемента d(mi) упорядоченного множества M – максимум длин цепей m0

14 Пример

15 Def: отношение R-1 называется обратным к R, если (y,x) R-1  (x,y)R Принцип двойственности: отношение, обратное к отношению упорядоченности, является отношением упорядоченности. Упорядоченные множества М и М двойственны, если М определено на том же носителе с помощью обратного отношения. Диаграмма, двойственная к диаграмме Хассе Обратное отношение. Принцип двойственности

16 Выводы Бинарное отношение порядка устанавливает на множестве отношение покрываемости, задает предшествование и старшинство элементов Упорядоченные множества являются иерархическими структурами Упорядоченные множества представляются диаграммами Хассе Коды можно рассматривать как некоторые пространственные геометрические фигуры Триаду можно представить в виде единичного куба, имеющего координаты вершин, которые отвечают двоичным символам

17 Выводы Множества Декартово произведение AB, A1A2… An Декартова степень An Операции, законы Соответствия GAB Отношения Rn  An Ak = < Nk, Sk> Классификация соответствий Свойства + = + = Операции, законы + Ar = < Nr , Sr> = Декартов квадрат A2 Бинарное отношение R2  A2 R~  A2 R  A2

18 Тест-вопросы 1. Если отношение антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно, оно является: а) отношением нестрогого порядка; б) отношением строгого порядка; в) не является отношением порядка. 2. Если любые два элемента множества M, на котором задано отношение порядка, сравнимы, М является: а) неупорядоченным; б) линейно упорядоченным; в) частично упорядоченным. 3. Среди следующих отношений, заданных на множестве отрезков, укажите отношение порядка: а) отрезок х равен отрезку у; б) отрезок х короче отрезка у в 2 раза; в) отрезок х длиннее отрезка у.