1 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ В

1 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ В результате изучения данного модуля студент должен овладеть следующими компетенциями: • Уметь применять методологию построения доверительных интервалов в различных областях производственной и управленческой деятельности • Выполнять построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности при известной и неизвестной дисперсии • Уметь выполнять построение доверительного интервала для доли признака в генеральной совокупности • Определять объем выборки для оценки математического ожидания и доли признака в генеральной совокупности • Уметь использовать методологию построения доверительных интервалов при проведении внутреннего аудита и анализа эффективности функционирования СМК •Уметь разрабатывать вербальные модели бизнес-процессов с использованием формул доверительных интервалов Качество усвоения студентами данного модуля оценивается по результатам защиты индивидуальной контрольной работы.

2 Качество – это степень, с которой совокупность собственных характеристик удовлетворяет требованиям N – характеристик качества Оценка качества проводится по n характеристикам N  N >> n Статистика – это наука, позволяющая распространить выводы,сделанные на основе изучения части совокупности (случайной выборки n), на всю совокупность (генеральную совокупность N) N >> n Качество и Статистика

3 n N D d C Статистическая оценка качества

4 Гипергеометрическое распределение Величину приемочного числа можно получить следующим образом. Производим вычисления накопленных вероятностей гипергеометрического распределения до тех пор, пока Р(d<= С) = 0,95.

5 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ Генеральная совокупность Распределение выборочных средних, n = 2 Распределение выборочных средних, n = 30 μ μ μ

6 Выборочные распределения средних арифметических, построенные по 500 выборкам с объемами п = 1; 2; 4 и 32, извлеченным из нормально распределенной генеральной совокупности n=32 n=2 n=4 n=1 Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется 2 числами — концами интервала, который с определенной вероятностью накрывает неизвестный параметр генеральной совокупности. Интервал, содержащий оцениваемый параметр генеральной совокупности, называют доверительным интервалом.

7 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ Теорема Чебышева Центральная предельная теорема 95% -й доверительный интервал Критическое значение = - t (Z)  Критическое значение = + t (Z) Доверительный уровень равный 95%, интерпретируется следующим образом: если из генеральной совокупности извлечь все выборки, имеющие объем п, и вычислить их выборочные средние, то 95% доверительных интервалов, построенных на их основе, будут содержать математическое ожидание генеральной совокупности, а 5% — нет. α/2

8 Доверительный интервал для  при известном σ

9 Доверительный интервал для  при известном σ μ =1000; σ = 15; п = 25 α =0,05 994,12 ≤ μ  1005,88 μ ± 1,9615/5

10 Доверительный интервал для  при известном σ Задача 1. Оценка среднего диаметра столовых тарелок При производстве столовых тарелок для 1-х блюд их средний диаметр должен составлять 23 см, а его стандартное отклонение — 0,2 см. Периодически из произведенной продукции, чтобы оценить ее качество, извлекаются выборки. Допустим, выборка состоит из 100 тарелок, а ее выборочное среднее — 23,98 см. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95%. Ответ: 23,9408 ≤ µ ≤ 24,0192

11 А). μ = 23 см; = 23,98; σ = 4 см; n = 100; α = 0,05. Ответ: 23,002 ≤ µ ≤ 23,158 Б). μ = 23 см; = 23,98 см; σ = 4 см; n = 100; α = 0,05. Ответ: 22,95 ≤ µ ≤ 23,158 В). μ = 23 см; = 23,08 см; σ = 4 см; n = 100; α = 0,01. Ответ: 22,05 ≤ µ ≤ 24,11 Г). μ = 23 см; = 23,08 см; σ = 4 см; n = 100; α = 0,05. Ответ: 22,30 ≤ µ ≤ 24,86 Д). μ = 23 см; = 23,98 см; σ = 4 см; n = 100; α = 0,01. Ответ: 22,94 ≤ µ ≤ 25,01 Е). μ = 23 см; = 23,98 см; σ = 5 см; n = 100; α = 0,1. Ответ: 23,15 ≤ µ ≤ 24,80 Ж). μ = 23 см; = 23,98 см; σ = 4 см; n = 50; α = 0,5. Ответ: 22,87 ≤ µ ≤ 25,09 Доверительный интервал для  при известном σ

12 По каждой из выборок, приведенных ниже, постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95%, предполагая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение. Выборка А: 1 1 1 1 8 8 8 8 Выборка Б: 1 2 3 4 5 6 7 8 Объясните, почему эти выборки имеют разный доверительный интервал, хотя их средние значения и размах совпадают. Доверительный интервал для  при неизвестной дисперсии

13 Сила, необходимая для разрушения изолятора 1689,99 ≤ µ ≤ 1756,92. Доверительный интервал для  при неизвестной дисперсии

14 Доверительный интервал для доли признака в генеральной совокупности Опрошено 147 сотрудников, 23 из них предпочитают получить компенсацию в виде отгулов, остальные сотрудники заинтересованы в денежной компенсации. Требуется построить 95%-доверительный интервал, содержащий долю сотрудников фирмы желающих за работу в выходные дни получить компенсацию в виде отгула. Таким образом, имеем: рn147 = 23/147 = 0,156; доверительному уровню 95% соответствует критическое значение Z = 1,96. И окончательно: 0,0977 < р < 0,2152.

15 Определение объема выборки Необходимо оценить средний стаж работы служащих крупной фирмы. Предполагается, что он подчиняется нормальному закону, и по результатам предыдущих исследований аналогичных организаций известно, что стандартное отклонение σ равно 2,70 года. Необходимо установить объем выборки с 95%-м доверительным уровнем и погрешностью, не превышающей величины 0,5 года. Ответ: п = 113

16 Определение объема выборки для оценки доли признака в генеральной совокупности По ранее проведенным обследования доля женщин на фирме была равной р = 0,3. Необходимо установить объем выборки с 95%-м доверительным уровнем и погрешностью, не превышающей величины 0,05. Если доля признака в генеральной совокупности р заранее неизвестна, для определения объема выборки следует задать р = 0,5.

17 Оценка суммы элементов генеральной совокупности СМК организации оценивается по 100 критериям качества (N =100). В ходе внешнего аудита проверено 30 критериев (n = 30) и из анализа данных выборки получены следующие результаты: Хср=55,7, S = 18,5. Необходимо построить 95% доверительный интервал, содержащий сумму баллов, которую организация может получить при ее оценке по всем 100 критериям. Ответ: 4989,12 ≤ ∆ ≤ 6150,88 Границы доверительного интервала ∆, содержащего сумму элементов генеральной совокупности, определяются по формуле:

18 Оценка разности R применяется тогда, когда аудитор считает, что в отчете по самооценке (анализируемой генеральной совокупности) содержатся ошибочные данные (как правило, завышенные), диапазон расхождения которых необходимо оценить на основе выборочных данных. Оценка разности

19 В выборку, состоящую из 100 записей, входят 12 накладных, не соответствующих действительности: 9,3 7,47 17,32 8,30 5,21 10,80 6,22 5,63 4,97 7,43 2,99 4,63 В остальных 88 накладных ошибок нет, следовательно, их разности равны нулю. Оценка разности 1797,09 ≤ ∆Ri ≤ 7202,91.

20 Односторонняя оценка доли нарушений установленных правил Ректорат вуза требует, чтобы индивидуальные планы работы преподавателей на учебный год разрабатывались не позднее 10 сентября. В начале учебного года было проверено 40 преподавателей из их общего числа равного 440. Среди проверенных оказалось, что 2 преподавателя не успели подготовить планы работы. В вузе принято, что предельно допустимый уровень нарушений подобного рода не должен превышать 10%. Постройте односторонний 95%-й доверительный интервал. Решение. Итак, pn= 2/40 = 0,05; а Z = 1,645 (Почему ???). Верхняя граница доверительного интервала равна 10,4%.

21 Менеджер по качеству магазина стройматериалов хочет оценить фактический объем краски, содержащейся в литровых банках известной компании. Известно, что стандартное отклонение объема краски равно 0,02 литра. Менеджер выбрал 50 банок. Выборочный средний объем равен 0,995 литра. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 99%. Задачи и упражнения

22 Менеджер контроля за качеством продукции на заводе, производящем электрические лампочки, желает оценить среднюю продолжительность работы лампочек из крупной партии. Номинальное стандартное отклонение равно 100 ч. Для контроля выбрана партия, состоящая из 64 лампочек, средняя продолжительность работы которых равна 350 ч. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95%. Задачи и упражнения

23 Отдел технического контроля на заводе, производящем газированные напитки, периодически контролирует фактический объем жидкости, содержащейся в двухлитровых бутылках. Известно, что стандартное отклонение объема жидкости в двухлитровой бутылке равно 0,05 л. Менеджер выбрал 100 двухлитровых бутылок. Выборочный средний объем составил 1,99 л. 1. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95%. 2. Предположим, что выборочное среднее равно 1,97 л. Как изменится результат? Задачи и упражнения

24 Задачи и упражнения

25 Задачи и упражнения Исходных данные: N = 100 или 1000; n = 20 или 50;  = 0,01; 0,05; 0,1.