1 Скінченні автомати. Методи задання автоматів Лекція 11

1 Скінченні автомати. Методи задання автоматів Лекція 11 Теорія автоматів

2 Методи задання автоматів Алфавіти та слова в них Нехай X = {x1, x2, ..., xm} і Y = {y1, y2, ..., yn} – дві довільні множини елементів, які називатимемо алфавітами, а їх елементи – літерами алфавітів. Скінченну впорядковану послідовність літер називатимемо словом у заданому алфавіті. Позначимо через (X) і (Y) множини всіх слів в алфавітах X та Y, відповідно. У такому випадку перетворення дискретної інформації можна задати як відображення f множини слів (X) у множину слів (Y).

3 Методи задання автоматів Відображення f називається алфавітним, а алфавіти X та Y – вхідним і вихідним алфавітами оператора f. Кожному вхідному слову p = хі1, хі2, …, хіk відображення f зіставляє слово на виході r = уі1, уі2, …, уіk. Тому (p(X))(r(Y))[r = f(p)]. У цьому випадку f є функцією, область визначення якої – (X), а область значень – (Y). Будь-який абстрактний автомат реалізує деяке відображення f або, як кажуть, індукує деяке автоматне відображення f. Алфавітне відображення

4 Методи задання автоматів Абстрактний автомат є динамічною системою із такими властивостями: наявність довільного числа станів автомата, що відрізняються; миттєве здійснення переходу із одного стану автомата в інший; перехід із одного стану в інший не раніше, ніж за деякий проміжок часу  (>0 – інтервал дискретності); число різноманітних вхідних і вихідних літер (сигналів) є скінченним; вхідні літери – причина переходу автомата з одного стану до іншого, а вихідні – реакція автомата на вхідні літери, які належать до моментів часу, що визначаються відповідними переходами автомата. Інтуїтивне поняття автомата (1)

5 Методи задання автоматів Враховуючи це, можна казати, що абстрактний автомат функціонує у дискретному часі t, який набуває значень t = 0, 1, 2, ... . На кожний вхідний сигнал x(t) (t>0) автомат реагує вихідним сигналом y(t). Розрізнюють два види автоматів: синхронні та асинхронні (перехід з одних станів до інших здійснюється через нерівні проміжки часу). Зупинимось на законах функціонування автоматів. Інтуїтивне поняття автомата (2)

6 Методи задання автоматів Стан q(t) автомата у момент часу t однозначно визначається попереднім станом q(t–1) і вхідним сигналом x(t). Тому можна записати q(t) = (q(t–1), x(t)), або :QXQ, де  – функція, що визначає наступні стани автомата, позначається (q, x) і називається функцією переходів, Q – алфавіт станів автомата, X – алфавіт вхідних сигналів. Функція переходів автомата

7 Методи задання автоматів Вихідний сигнал y(t) реального автомата завжди з'являється після вхідного сигналу x(t). Але щодо моменту часу t переходу автомата зі стану q(t–1) до стану q(t) вихідний сигнал y(t) може з'явитися раніше або пізніше від цього моменту часу. Тому справедливими є такі вирази y(t) = (q(t–1), x(t)), (1) y(t) = (q(t), x(t)), (2) де (q, x) – функція виходів звичайна (1) або зсунута (2). Функція виходів звичайна та зсунута (1) Функція виходів звичайна та зсунута (1)

8 Методи задання автоматів Функція виходів однозначно визначає вихідну літеру автомата залежно від стану q(t–1) у попередній момент часу та вхідного сигналу x(t), якщо це звичайна функція виходів; або ж від стану q(t), в який автомат переходить у поточний момент часу, і вхідного сигналу x(t) у випадку зсунутої функції виходів. Функція виходів звичайна та зсунута (2)

9 Методи задання автоматів Враховуючи роботу реальних автоматів, розрізнюють два роди абстрактних автоматів. Автоматами першого роду називаються такі, що описуються рівняннями q(t) = (q(t–1), x(t)), (3) y(t) = (q(t–1), x(t)) (4) і визначають закон функціонування цих автоматів. Автоматами другого роду називаються такі, закон функціонування яких задається рівняннями q(t) = (q(t–1), x(t)), (5) y(t) = (q(t), x(t)), (6) де t = 0, 1, 2, ... . Два роди автоматів

10 Методи задання автоматів Абстрактні автомати будь-якого роду називаються правильними, якщо їх вихідний сигнал y(t) не залежить явно від вхідного сигналу x(t), а визначається тільки станом q(t–1) або q(t). Закони функціонування правильних автоматів визначаються рівняннями q(t) = (q(t–1), x(t)), (7) y(t) = (q(t–1)), (8) q(t) = (q(t–1), x(t)), (9) y(t) = (q(t)). (10) Надалі автомати першого роду (рівняння 3–4) називатимемо автоматами Мілі, а правильні автомати другого роду (рівняння 9–10) – автоматами Мура. Правильні автомати

11 Методи задання автоматів Існує кілька методів задання абстрактних автоматів: аналітичний; геометричний; матричний. Методи задання автоматів

12 Методи задання автоматів Аналітичний метод задання (1) Задано абстрактний автомат A за існування сукупності об'єктів: скінченна множина X = {xi}, iI = {1, 2, ..., m} – вхідний алфавіт автомата; скінченна множина Y = {yj}, jJ = {1, 2, ..., n} – вихідний алфавіт автомата; довільний алфавіт Q – алфавіт станів; довільний елемент q1Q – початковий стан автомата; відображення :QXQ, що будь-якому qQ і кожній вхідній літері xX зіставляє стан qkQ, тобто функції переходів (q, x); відображення :QXY, що будь-якому qQ і кожній вхідній літері xX зіставляє вихідну літеру yY, яка визначає звичайну або зсунуту функцію виходів (q,x).

13 Методи задання автоматів Таким чином, запис A = , що включає три алфавіти та два відображення, визначає довільний абстрактний автомат. Якщо A – автомат першого роду, то (q, x) – звичайна функція виходів; якщо A – автомат другого роду, то (q, x) – зсунута функція виходів. У випадку, коли алфавіт Q скінченний, автомат називається скінченним, у протилежному випадку – нескінченним. Як визначити відображення, що індукує заданий скінченний автомат A? Аналітичний метод задання (2)

14 Методи задання автоматів У кожний момент часу на вхід автомата подається вхідний сигнал x(t) – довільна літера вхідного алфавіту X, на виході виникає певний вихідний сигнал y(t) (t = 0, 1, 2, ...) – літера вихідного алфавіту Y. Нехай (X) і (Y) – множини вхідних і вихідних слів автомата A та p = хі1, хі2,…, хік – довільне вхідне слово, тобто p(X). Коли на вхід автомата A, що встановлений у початковий стан, надходить скінченна послідовність x(1) =хі1, ..., x(k) = хік, на виході автомата вона викликає появу однозначної послідовності y(1) = уj1, ..., y(k) = уjk, що визначається відомими відображеннями  і . Відображення, що індукує автомат (1)

15 Методи задання автоматів Послідовність відповідає слову на виході r = уj1, уj2,…, уjk із множини (Y). Тому r = f(p). Для кожного вхідного слова p(X) зіставляємо відповідне йому вихідне слово r(Y) й у такий спосіб одержуємо шукане відображення f, що індукує скінченний автомат A. Відображення, що індукує автомат (1)

16 Методи задання автоматів Відображення :Q  XQ і :QXY однозначно визначають функції (q, x) і (q, x), що задають закон функціонування автомата A. Їх можна записати у вигляді матриць, рядки яких відповідають різним літерам вхідного алфавіту X, а стовпчики – різним станам автомата A (літерам алфавіту Q). На перетині xі-го рядка та qk-го стовпчика таблиці переходів (q, x) записується стан ql автомата, до якого він переходить зі стану qk при надходженні вхідного сигналу xi, а у таблиці виходів (q, x) – вихідна літера yj, що з'являється на виході автомата. Функції (q, x) і (q, x)

17 Методи задання автоматів Два абстрактних автомати A та B з однаковими вхідним X і вихідним Y алфавітами називаються еквівалентними, якщо індукують одне й те саме відображення f множини (X) у (Y). Встановимо взаємозв'язок між автоматами першого та другого роду. Нехай задано автомат другого роду A = . Запишемо функцію переходів (q, x) і зсунуту функцію виходів (q, x) автомата A. Остання виражає залежність y(t) = (q(t), x(t)). Еквівалентність автоматів

18 Методи задання автоматів Якщо підставити до цього рівняння значення q(t) = (q(t–1), x(t)), то одержимо рівняння y(t) = ((q(t–1), x(t)), x(t)) = (q(t–1), x(t)), що визначає звичайну функцію виходів '(q, x), яка характеризує автомат першого роду. Таким чином, за рахунок підстановки до зсунутої функції виходів (q, x) автомата другого роду функції переходів (q, x) одержуємо автомат першого роду A' = , який індукує те саме відображення, що й автомат A. Таке зведення автомата другого роду до еквівалентного автомата першого роду називається інтерпретацією автомата другого роду автоматом першого роду. Будь-який автомат першого або другого роду можна інтерпретувати автоматом Мілі. Інтерпретація автомата

19 Методи задання автоматів Геометричний метод задання Цей метод задання зводиться до зображення орієнтованого графа, вершинами якого є стани автомата (позначаються qQ), а біля кожного ребра (qk, ql) записуються літера вхідного алфавіту xiX (викликає перехід автомата зі стану qk до стану ql), і літера вихідного алфавіту yjY (з'являється на виході автомата). Якщо розглядається автомат першого роду, то вихідна літера yj визначається парою (qk, xi), якщо – другого роду, то вихідна літера yj залежить від (ql, xi). Початковий стан автомата позначається q1Q. Орієнтований граф з ребрами, навантаженими літерами вхідного та вихідного алфавітів, однозначно задає певний скінченний автомат.

20 Методи задання автоматів Графи із навантаженими ребрами називають графоїдами. Орієнтований графоїд – геометрична інтерпретація абстрактного автомата. Від графоїда легко перейти до задання скінченного автомата за допомогою навантаженого прадерева, яке описує відображення множини всіх вхідних слів у множину всіх вихідних слів. Прадерево будується у такий спосіб. Автомат як орієнтований графоїд

21 Методи задання автоматів Фіксуємо вершину, що відповідає початковому стану q1Q та є вершиною першого рангу (коренем) прадерева. Із кореня проводимо m дуг (m – потужність множини X, m=|X|), які називаються дугами першого рангу. Кожна дуга заходить у вершину другого рангу (m вершин). Із кожної вершини другого рангу проводимо m дуг другого рангу, які закінчуються m2 вершин третього рангу і т.д. Кожній дузі приписується літера xiX і в дужках – літера yjY вихідного алфавіту. Крім того, кожній вершині другого та більших рангів приписується стан qkQ, визначений за графоїдом. Формування прадерева

22 Методи задання автоматів Прадерева використовуються як мова задання автоматних відображень. Побудування графоїда за навантаженим прадеревом – це задача абстрактного синтезу скінченних автоматів. Використання прадерев

23 Методи задання автоматів Матричний метод задання Реалізується заданням прямокутних матриць, які називаються таблицями переходів і виходів (q, x) та (q, x). Але частіше використовується квадратна матриця, яку називають матрицею з'єднань автомата. Рядки та стовпчики цієї матриці відповідають різним станам автомата, причому перші рядок і стовпчик відповідають початковому стану q1Q. На перетині qk-го рядка та ql-го стовпчика ставиться літера вхідного алфавіту xiX або диз'юнкція вхідних літер, які викликають перехід автомата зі стану qk до ql, а в дужках – літера вихідного алфавіту yjY або диз'юнкція вихідних літер, що з'являються на виході автомата. Якщо жодна з літер вхідного алфавіту не переводить автомат зі стану qk до ql, то на відповідному перетині ставиться 0.

24 Методи задання автоматів Матриця з'єднань автомата має таку властивість: у будь-якому її рядку кожна літера вхідного алфавіту має зустрічатися не більше одного разу, що пов'язано з однозначністю функції переходів і виходів автомата й називається умовою однозначності. Властивість матриці з’єднань

25 Методи задання автоматів