1 РЕНОМІНАТИВНА Л ОГІК А Семантичні моделі РНЛ

1 РЕНОМІНАТИВНА Л ОГІК А Семантичні моделі РНЛ – композиційні системи квазіарних предикатів реномінативного рівня ( V А , P r A , C ), де C визначається множиною базових композицій Відповідна алгебра ( P r А , C ) – композиційнаалгебраквазіарнихпредикатів реномінативногорівня. Побудова такої алгебри визначає мову РНЛ. А лфавіт мови РНЛ – V – множина предметних імен – Ps – множина предикатнихсимволiв (ПС) – імен базових предикатів – символи базових композицій Множину Ps назвемо сигнaтурою мови РНЛ. Індуктивно вводимо поняття формули мови РНЛ. 1. Кожний ПС є формулою. Такi формули назвемо атомарними. 2. Нехай – формула. Тодi – формули. 3. Нехай та – формули. Тодi – формула. { , , R }. v x , , . v x. R та v x. R

2 При запису використовуємо традиційні скорочення формул. nm ( ) – множина всіх предметних імен , які фігурують в символах реномінації формули . Таку nm ( ) назвемо множиноюімен формули . Розширимо пт на множини формул Для логік ЕП КС набувають вигляду ( V А , Е P r A , C ). Такі об ’ єкти – КС еквітонних предикатів реномінативного рівня. Інтерпретуємо мову РНЛ на КС реномінативного рівня ( V А , P r A , C ) Задамо тотальне однозначне I : Ps P r. A , яке визначає значення ПС як базові предикати відповідної АС даних ( А , P r A ) Для інтерпретації формул продовжимо I до відображення Fr P r A : 1. I ( ) = ( I ( )). 2. I ( ) = ( I ( ), I ( )). 3. ( ) ( ( ))v v x x. J R R J

3 Відображення I прив’язує АС даних ( А , Pr A ) до мови. Отримуємо об ‘ єкти вигляду (( A , Pr A ), I ) – АСздоданоюсигнатурою. Така АС фактично визначає KC ( V A , P r A , C ) АС з доданою сигнатурою (( A , Pr A ), I ) скорочено позначаємо ( A , I ). АС з доданою сигнатурою є інтегрованими семантичними моделями, які пов’язують мову КНЛ із АС даних. Називаємо їх моделямимови. Предикат I ( ) – значення формули при інтерпретації на A =( A , I ) – позначаємо A Формула істиннаприінтерпретації на A , або A — істинна, якщо A – істинний предикат. Цей факт позначимо A |= . Формула виконуванаприінтерпретації A , або A -виконувана , якщо A – виконуваний предикат. всюдиiстинна, якщо iстинна при кожнiй iнтерпретацiї. Цей факт позначимо |= . виконувана, якщо виконувана при деякiй iнтерпретацiї.

4 Для встановлення істинності формули при повнототальних еквітонних інтерпретаціях досить перевірити значення відповідного A тільки на V -повних даних. Теорема 1. A |= длякожногоd AV маємо A ( d ) =T. Наслідок. A |= длякожних A =( A, I ), d AV маємо A ( d ) =T. Для повнототальних еквітонних інтерпретацій справджується Теорема 2. Длякожної A , якщо A |= та A |= , то A |= . Наслідок. Якщо |= та |= , то |= . Ім’я x V ( строго ) неiстотнедляформули , якщо для кожної моделі мови A ім’я x (строго) неiстотне для A. У випадку логіки ЕП критерій неістотності предметних імен для формул встановлює Теорема 3. Ім’я x V неістотнедля всіх v V маємо | ( )x v. R

5 Успадкування властивостей ПЛ для РНЛ відбувається перенесенням на рівень РНЛ понять тавтології, тавтологічних наслідку і еквiвалентностi. Тавтологiї – формули, якi мають структуру тавтологiй мови ПЛ. Формула пропозиційно нерозкладна, якщо вона атомарна або вигляду F r 0 – множина всiх пропозиційно нерозкладних формул мови L. Iстиннiснаоцiнка мови L– довiльне відображення : F r 0 { T , F }. Продовжимо його до вiдображення : F r { T , F }: – ( )= T ( )= F ; – ( )= T ( )= T або ( )= T. тавтологiя , якщо ( )= T при кожнiй iстиннiснiй оцiнцi . Кожнатавтологіяєвсюдиістинноюформулою. Приклад 4. Формула всюди iстинна, але не тавтологiя v x. R x x. R

6 На множинi F r формул введемо відношення тавтологiчного наслiдку ╞ (позначаємо також |=т ), тавтологiчної еквiвалентностi т , логiчного наслiдку |=, слабкого логiчного наслiдку ||=, логiчної еквiвалентностi . є тавтологiчнимнаслiдком ( позн. ╞ ) , якщо – тавтологiя. та тавтологiчноеквiвалентнi ( позн. т ): ╞ та ╞ є логiчнимнаслiдком ( позн. |= ), якщо для кожної A маємо: T ( A ) F ( A ) = Зрозуміло, що |= всюди iстинна. та логiчноеквiвалентнi ( позн. ): |= та |= . Зрозумiло, що формули та всюди iстиннi. є слабкимлогiчнимнаслiдком формули , що позн. ||= , якщо для кожної A маємо: A |= .

7 Основнівластивостівідношень ╞, |=, ||= та : 1) тавтологія ╞ ; 2) всюди істинна |= ||= ; 3) ╞ |= ; але не завжди |= ╞ ; 4) |= ||= ; але не завжди ||= |= ; 5) т тавтологія 6) |= ; 7) відношення ╞ , |= та ||= рефлексивні і транзитивні; 8) відношення рефлексивне, транзитивне і симетричне.

8 Семантичні властивості РНЛ Для РНЛ успадковуються семантичні властивості пропозиційного рівня. Вкажемо властивості формул РНЛ, пов ‘ язані з реномінацією. Вони відображають відповідні властивості композиції реномінації. RT) Згортка тотожної пари імен у реномінації: Зокрема, R ) R -дистрибутивність: Аналогічно – властивості R , R&, R . , , | ( ) z v v z x x R R | ( )z z. R | ( )v v x x. R R | ( ) ( )v v v x x x. R R R

9 RR) Згортка реномінацій: R N ) Нехай у неістотне для формули . Тоді Зокрема, RП) Теорема 4 ( семантичної еквiвалентностi ). Нехай формула ‘ отримана iз формули замiною деяких входжень формул 1 , . . . , n на 1 , . . . , n вiдповiдно. Якщо 1 1 , . . . , n n , то ‘. Доводиться індукцією за побудовою формули | ( ( )) ( )v w x y x y. R R R o , , | ( )y v v z x x. R R | ( )y z. R Якщо | , то | ( )y z. R

10 Теорема (про розширення). Нехай. АСодноїсигнатури A = ( А , IА ) і В = ( А , IВ ) таформула такі: р ( ) V Aізр. A ( ) випливаєр В ( ) = р. A ( ). Тоді d V A із A ( d ) випливає В ( d ) = A ( d ). Доводиться індукцією за побудовою формули . Т еорема 6 вірна для загального випадку логік квазіарних предикатів. Нехай A = ( А , IА ) і В = ( А , IВ ) – АС одн i є ї сигнатури. АС В – систем а розширень для АС A , якщо р Ps V A із р A ( ) випливає р. В ( ) = р. A ( ). Наслідок. Нехай В = ( А , IВ ) – системарозширеньдля АС A = ( А , IА ). Тоді для довільних та d V A із A ( d ) випливає В ( d ) = A ( d ).

11 Нормальні форми в РНЛ Формула – в слабкійнормальнійформі , якщо символи реномінації в формулі застосовні тільки до ПС. Формула – в нормальній формі , або нормальна , якщо – в слабкій нормальній формі, причому всі із не мають тотожних перейменувань. Формула примітивна: атомарна або має вигляд та відсутні тотожні перейменування Теорема 1. можназбудувати в нормальнійформі: |= Зведення до нормальної форми виконуємо так. Використовуючи R та R , просуваємо реномінації вглиб формули Використовуючи RR, згортаємо сусідні символи реномінації. При появі усуваємо тотожні перейменування згідно RТ. За теоремою еквівалентності, після просунення всіх символів реномінації на рівень ПС та усунення тотожних перейменувань дістанемо формулу у нормальній формі таку, що |= 1 1 , . . . , n n v v x x. R p , де { } ( ) , v x. R p v p

12 Формулу у нормальній формі, утворену з за допомогою перетворень на основі R , RR та RТ, назвемо нормалізантою формули . Наслідок 2. Нехай – нормалізантаформули . Тоді |= . Наслідок 3. Нехай 1 та 2 – нормалізанти . Тоді |= 1 2. Індукцiєю за побудовою формули доводиться Теорема 2. Нехай – нормалізантаформули . Тоді нормалізантаформули є нормалізантоюформули Формула – субтавтологія , якщо її нормалізанта – тавтологія. Коректність таких визначень гарантує Теорема 3. Якщо 1 та 2 – нормалізантиформули , аформула 1 – тавтологія, той 2 – тавтологія. Фундаментальну роль субтавтологій встановлює Теорема 4. Формула – субтавтологія |= . v x Rv x. R

13 Відношення логічного наслідку для множин формул РНЛ та – множини формул мови сигнатури Ps. A = ( А , I ) – АС сигнатури Ps. є логічнимнаслідком в АС A , якщо d V A А ( d )= T неможливо Ψ А ( d )= F Ψ . Позначаємо |= А є логічнимнаслідком , якщо |= А АС A = ( А , I ) сигнатури Ps. Це позначаємо |= Отже, | існують АС A = ( А , I ) та d V A такі: маємо А ( d )= T та Ψ маємо Ψ А ( d )= F Відношення |= для множин формул рефлексивне, але не транзитивне Теорема 1 ( заміниеквівалентних ). Нехай . Тоді , |= та |= , .

14 В ластивості в ідношення |= G 1, G 2 та П 1–П 10 успадковуються на реномінативному рівні Вкажемо властивості відношення |= , пов ‘ язані з композицією реномінації. Вони безпосередньо відтворюють відповідні властивості формул. Кожна така властивість розщеплюється на дві властивості для |= RT ) RT ) RR ) , , ( ), | z v v z x x. R R , , | , ( ) z v v z x x. R R ( ( )), | ( ), |v w x y x y. R R R o | , ( ( )) | , ( )v w x y x y. R R R o ( ), |v v x x. R R

15 R ) Ps. N ) при у ( р ), де р Ps N ) при умов і у ( ). N ) при умові у ( ). Умову у ( ) можна ослабити до умови унеістотнедля . Базовівластивості відношення |= на реномінативному рівні: П 1–П 4 та RT |- , RТ -| , RR |- , RR -| , R |- , R -| , Ps. N |- , Ps. N -| ( ), |v v v x x x. R R R | , ( ) | , ( )v v v x x x. R R R , , ( ), |y v v z x x. R p , , | , ( ) y v v z x x R p , , ( ), |y v v z x x. R R , , | , ( ) y v v z x x. R R

16 Реномінативні числення РНЛ повнототальних ЕП Р еномінативн е неокласичн е числення (РНКЧ) : ФС вигляду T = ( Fr , A x , P ). Fr – множина формул мови РНЛ A x – множина логічнихаксіом P – множина правилвиведення. Aлог задається схемами аксіом: Ах. ПР) – пропозиційні аксіоми Ах. RT) – аксіоми елімінації тотожних перейменувань Ах. R ) – аксіоми R -дистрибутивності Ах. R ) – аксіоми R -дистрибутивності Ах. RR) – аксіоми згортки реномінацій Такі РНКЧ наз в емо вільними. ( )x x. R ( )v v x x. R R ( ) ( )v v v x x x. R R R ( ( )) ( )v w x y x y. R R R o

17 Множина Р правил виведення РНКЧ: П 1) | правило розширення. П 2 ) | правило скорочення. П 3) ( ) | ( ) правило асоціативності. П 4) , | правило перетину. П 5) | правило реномінації (ПР). Теорем а РНКЧ : формул а , яка виводиться із аксіом за допомогою ПВ П означ ення: T |– , або |– , якщо T мається на увазі. Th( T ) – мно жин а теорем РНКЧ T Теорема. 1)Логічніаксіомиєвсюдиістиннимиформулами; 2)Висновкиправил. П 1–П 4 – логічнінаслідкизасновків; 3)Висновокправила. П 5 – слабкийлогічнийнаслідокзасновку. ( )v x. R

18 Модель мови A =( A , І ) – модел ь РНКЧ T , якщо A | = для всіх Ax ПВ для кожної інтерпретації A зберігають істинн ість на A. Отже: Теорема 2 ( істинності ). Кожнатеорема. РНКЧT істиннана к ожніймоделі T. Наслідок. теоремавільного. РНКЧ всюдиістиннаформула істиннав. РНКЧ T , якщо істинна на м о делі числення T. Те, що істинна в T , позначаємо T | = . Теорема істинності. Якщо T | – , то T | = . Теорема істинності засвідчує коректність РНКЧ: із синтаксичної істинності випливає семантична істинність. Кожне виведення засобами ПЧ є виведенням вільного РНКЧ. Теорема 3 (тавтології). Кожнатавтологіяєтеоремою. Наслiдок. Якщо { 1 , . . . , n }╞ та | – 1 , . . . , | – n , то | – . Теор ема 4 (еквiвалентностi). Нехай ‘ отриманаiз замiноюдеяких входженьформул 1 , . . . , n на 1 , . . . , n вiдповiдно. Якщо | – 1 1 , . . . , | – n n , то | – ‘.

19 Теорема 5. Нехай – нормалізантаформули . Тоді | – . Нормалізанта формули утворена із за допомогою перетворень на основі RT, R , RR, RN. На синтаксичному рівні вони задані відповідними аксіомами. Далі скористуємося ТТ і теоремою еквівалентності Наслідок 1. Нехай – субтавтологія, тоді | – . Нехай – нормалізанта субтавтології . За теоремою 5 маємо | – . Але –тавтологія, тому | – . Звідси | – за ТТ. Теорема 6 (повноти). РНКЧTмаємо T | = T | – За теоремою істинності із T | – випливає T | = . Умова T | = для стандартних РНКЧ означає | = . За теоремою 4 із | = випливає , що – субтавтологія. За наслідком теореми 5 маємо T | – Наслідок теореми повноти – розв ’ язність вільних РНКЧ.

20 C еквенційні числення РНЛ Базові секвенційні форми: | | | , , A A | | , , A B | |, | , ( ), v x z v z x R A RT R A | | | ( ), ( ( )), v w x y R A RR R R A o | | | ( ), v x R A R R A | | | , , A A | | , , , A B | |, | , ( ), v x z v z x R A RT R A | | | ( ), ( ( )), v w x y R A RR R R A o | | | ( ), v x R A R R

21 Теорема 1. 1) Нехай – секвенційніформи, де =|- -| , = |- -| , = |- -| . Тоді: 1) якщо |= , то |= ; 2) якщо |= та |= , то |= . Теорема 2 ( коректності). Нехай |- -| вивідна. Тоді |= . Теорема 3 (повноти). Нехай |= . Тоді |- -| вивідна. Для доведення теореми повноти використовується метод модельних (Хінтікківських) множин. та | | | ( ) ( ), v v x x v x. R A R B R R