1. Производная логарифмической функции Сначала рассмотрим частный случай

1. Производная логарифмической функции Сначала рассмотрим частный случай логарифмической функции: xyln

Дадим аргументу х приращение Δ х и найдем значение функции y+ Δ y : )ln(xxyy Находим приращение функции xxxy ln)ln(Используем схему нахождения производной: По свойству логарифма: x xx 1 lnln

Составляем отношение x x xx y 1 ln 1 Находим предел этого отношения: x x xx y y xx 1 ln 1 limlim 00 Сделаем замену: xyxy x x ;

Тогда y xyy 1 ln 1 lim 0 y y y x 1 0 1 ln 1 lim y y y x 1 0 1 lnlim 1 x e x y y 1 ln 1 1 limln 11 0 e 1 В силу непрерывности логарифмической функции меняем местами знаки логарифма и предела:

x x 1 )(ln. Для сложной функции: u u u 1 )(ln

ПРИМЕР. 2 ln 3 xy x xy 6 2 1 3)ln 3(

Найдем производную для общего случая логарифмической функции: xy a log

По свойству логарифмаa x xa ln ln log Тогда a x xya ln ln )(log ax x aln 1 )(ln ln 1 x 1 Отсюда окончательно имеем

ax xa ln 1 )(log Для сложной функции: u au ua ln 1 )(log

ПРИМЕР. )3(log 2 5 xxy )32( 5 ln 1 3 1 ))3((log 2 2 5 x xx xxy

2. Производная показательной функции Сначала рассмотрим частный случай показательной функции: x ey

Логарифмируем обе части равенства по основанию e : xexey x lnlnln Дифференцируем обе части равенства по х : xy)(ln 1 1 y y Отсюда выражаем искомую производную: yy Т. к. x ey то окончательно получаем: x ey

xx ee)(Для сложной функции: uee uu )(

Кривая x ey (экспонента) обладает свойством: в каждой точке х ордината у равна угловому коэффициенту касательной к кривой в этой точке : tge x

ПРИМЕР. x exy 5 )51(5)( 5555 xeexeexy xxxx

Найдем производную для общего случая показательной функции: x ay

)( x ay. Т. к. a ealn )()( lnlnaxxa ee aaae xax lnln ln x a

aaa xx ln)(Для сложной функции: uaaa uu ln)(

ПРИМЕР. xxy 33 7 xxy xxxx 333 37 ln 7)7( 33 )19(7 ln 7 233 x xx

3. Производная степенной функцииn xy

Логарифмируем обе части равенства по основанию e : xnxy n lnlnln Дифференцируем обе части равенства по х : )ln()(lnxny x ny y

Отсюда выражаем искомую производную: x nyy 1 Т. к. n xy то окончательно получаем: 11 nn xn x xny

1 )( nn xnx. Для сложной функции: uunu nn 1 )(

4. Производная степенно- показательной функции )( )( x xfy

Логарифмируем обе части равенства по основанию e : )(ln)()(lnln )( xfxxfy x Дифференцируем обе части равенства по х, учитывая, что в правой части стоит произведение: )(ln)()(lnxfxy

)()(ln)( 1 xxfxfxy y )()( )( 1 )(ln)( 1 xxf xf xfxy y )()( )( 1 )(ln)(xxf xf xfxyy

Т. к. то окончательно получаем: )( )( x xfy )()( )( 1 )(ln)()( )( xxf xf xfxxfy x )()(ln)()( 1)()( xxfxfxfxxf xx

Чтобы продифференцировать степенно-показательную функцию, ее сначала нужно продифференцировать как показательную функцию, а затем как степенную и полученные результаты сложить.

ПРИМЕР. x xy )ln 1(ln)( 1 xxxxxxxy xxnx

ЗАМЕЧАНИЕ Производная логарифмической функцииy y y 1 )(ln называется логарифмической производной. Ее удобно использовать для дифференцирования функции, выражение которой существенно упрощается при логарифмирования.

ПРИМЕР. x xx y 3 )2)(1(

Логарифмируем обе части равенства по основанию e : x xx y 3 )2)(1( lnln 2 Используем свойства логарифма: x xx 3 )2)(1( ln 2 1 2 )3 ln()2 ln()1 ln( 2 12 xxx

Дифференцируем обе части равенства по х : )3 ln()2 ln()1 ln( 2 1 )(ln 2 xxxy xx x x y y 3 1 2 2 1 1 2 11 2 x xx xx x x y 3 )2)(1(

5. Производные тригонометрических функцийxysin

Дадим аргументу х приращение Δ х и найдем значение функции y+ Δ y : )sin(xxyy Находим приращение функции xxxysin)sin(Используем схему нахождения производной: Распишем разность синусов: 2 cos 2 sin 2 x x x

Составляем отношение Находим предел этого отношения: x x x y 2 cos 2 sin 2 x x x y y xx 2 cos 2 sin 2 limlim

2 coslim 2 sin 2 lim 00 x x xx xcos. Первый предел сводим к первому замечательному: xx x coscos 2 2 sin lim

xxcos)(sin. Для сложной функции: uuucos)(sin

Аналогично можно найти производную функцииxycos

xxsin)(cos. Для сложной функции: uuusin)(cos

ПРИМЕР. )1 cos( 6 sin 2 x x y 22 22 ))1(cos(6 sin)1 cos()6(sin x xxxx y 22 22 ))1(cos( 2)1 sin(6 sin)1 cos(6 cos 6 x xxxxx

Найдем производную функцииtgxy

Находим производную дроби: x x tgxy cos sin )( x xxxx 2 cos )(cossincos)(sin xx xx 22 22 cos 1 cos sincos

x tgx 2 cos 1 )( Для сложной функции: u u tgu 2 cos 1 )(

Аналогично можно найти производную функцииctgxy

x ctgx 2 sin 1 )(Для сложной функции: u u ctgu 2 sin 1 )(

ПРИМЕР. xxtgy 31 2 22 2 )3( 32 3 1 cos 1 3 1 xx xx tgy

6. Производные обратных тригонометрических функцийxyarcsin

Обратной к ней функцией будетyxsin Используем правило дифференцирования обратной функции: x y y x 1 yx y y x cos 11 Теперь нужно выразить у через х с помощью основного тригонометрического соотношения: 22 1 1 sin 1 1 cos 1 )(arcsin xyy x 2 x Эта производная не существует при 1 x

2 1 1 )(arcsin x x Для сложной функции: u u u 2 1 1 )(arcsin

Аналогично можно найти производную функцийxyarccos arctgxy arcctgxy

2 1 1 )(arccos x x Для сложной функции: u u u 2 1 1 )(arccos

2 1 1 )( x arctgx Для сложной функции: u u arctgu 2 1 1 )(

2 1 1 )( x arcctgx Для сложной функции: u u arcctgu 2 1 1 )(

ПРИМЕР. )arccos(lnxy xx xy 1 ln 1 1 ))(arccos(ln