1 Основы теории игр Теория игр это математическая

1 Основы теории игр Теория игр это математическая теория конфликтов. Конфликт – ситуация, в которой сталкиваются интересы сторон, происходит борьба интересов. Война – конфликт. Говорят «военный конфликт».

2 Другие примеры конфликтов – игры – шашки, шахматы, спортивные игры. Они отличаются тем, что ведутся по определённым правилам: перечень возможных ходов и к какому результату приводит некоторая совокупность ходов.

3 Далеко не каждый конфликт протекает по правилам («бои без правил», «русские воюют не по правилам»…). Для математического анализа конфликта необходимо представить конфликт в игровой форме, то есть указать стратегии (возможные действия) и уточнить, к какому результату приведёт игра, если каждый игрок выберет определённую стратегию.

4 Таким образом, игра – это конфликт с чётко сформулированными условиями.

5 Часто результат игры даже при определённых стратегиях предсказать невозможно, так как всё зависит от случая. Тогда говорят о среднем результате, то есть о результате, приходящемся в среднем на одну партию, если будет сыграно достаточно большое число партий. То есть, даже если случайно «везёт», в среднем выигрывает тот, кто ведёт себя разумно.

6 Часто результат выражается числом, даже если это просто выигрыш (1), либо проигрыш (0). Мы будем полагать, что выигрыш (проигрыш) каждого игрока выражается числом.

7 Таким образом, основная задача теории игр формулируется так: как должен вести себя (какую стратегию применять) разумный игрок в конфликте с разумным противником (противниками), чтобы обеспечить себе в среднем наибольший возможный выигрыш?

8 Парные игры. Если в конфликте участвуют две стороны, то игра называется парной, если несколько – множественной. Мы ограничимся парными играми.

9 Игры с нулевой суммой. Игра называется с нулевой суммой, если одна сторона выигрывает то, что проигрывает другая. Иногда называют – антагонистическая игра. Это не всегда соблюдается. Например, один выигрывает одну сумму, а другой в этой же ситуации проигрывает другую. Однако, во многих случаях парные игры с нулевой суммой не слишком искажают суть явлений.

10 Конечные игры. Конечные игры – каждый игрок располагает конечным числом стратегий. В этом, помимо всего прочего выражается своего рода дискретность игры.

11 Платёжная матрица. Платёжная матрица или матрица (таблица) игры с нулевой суммой:

12 Здесь К «красный» игрок, С – «синий». У красного три стратегии, у синего – четыре. kij – выигрыш (проигрыш) красного, то есть проигрыш(выигрыш) синего. Если игра представлена в виде такой таблицы (матрицы), то говорят, что игра приведена к нормальной форме. Реально – как записать шахматы в нормальной форме?!

13 Игра «Три пальца» Два игрока К и С одновременно и не сговариваясь показывают один, два или три пальца. Если всего показанных пальцев ( у К и С) будет чётное число, то выигрывает К – он получает столько очков, сколько показанных пальцев. Если всего показанных пальцев ( у К и С) будет нечётное число, то выигрывает С. Запишем игру в нормальной форме.

14 Игра «Три пальца»

15 Получить наибольшую выгоду в наихудших условиях!

16 Нижняя цена игры – максимин α – максимальный элемент среди минимумов строк. Верхняя цена игры – минимакс β – минимальный элемент среди максимумов столбцов.

17 Это принцип минимакса и он является в теории игр основным. То есть вести себя так, чтобы получить наибольшую выгоду в наихудших условиях. Значит, К целесообразно показывать один палец, а С – либо один, либо два. Найденные нами стратегии обладают нехорошим свойством – они неустойчивы.

18 Пусть К показывает один палец (К1), а С – тоже один(С1). К всегда выигрывает 2 очка. Тогда С переходит на С2 и будет выигрывать 3 очка. Тогда К, не будь дурак, переходит на К2. А С в ответ – на С3 и так далее… Равновесии нарушается.

19 Седловая точка. Чистая цена игры. Рассмотрим другой пример.

20 Здесь α =5 и β =5. Особый случай! Пара стратегий К2, С3 устойчива и представляет собой решение игры. Никому не выгодно отступать от своих стратегий. Это связано с тем, что в матрице есть элемент, являющийся одновременно и минимаксом и максимином. Такой элемент называется седловой точкой. Сама седловая точка - цена игры.

21 Если матрица игры имеет седловую точку (седловые точки), то игра имеет решение в так называемых чистых стратегиях. Это пара стратегий, пересекающихся в седловой точке. А если α не равно β ? Решение есть и в этом случае, только оно лежит в области смешанных стратегий, то есть путём чередования стратегий с какими - то вероятностями.

22 Систематическое применение этих стратегий, называемых оптимальными, обеспечивает каждой стороне максимально возможный для неё выигрыш, определяемый ценой игры.

23 Если же одна из сторон от своей оптимальной стратегии (в то время как другая продолжает придерживаться своей), то это ни в коем случае не может быть выгодно: выигрыш либо будет неизменным, либо уменьшится. Таки образом, каждая конечная игра имеет решение (возможно в области смешанных стратегий). Это утверждает основная теорема теории игр.

24 Игра осада и оборона города «Красные» стремятся занять город, «синие» обороняют. В город ведут две дороги 1 и 2. У «красных» два отряда. У «синих» - три отряда. Если встречаются равные силы «красных» и «синих», то в 50% случаях красные побеждают и занимают город, а в 50% случаев отступают. Если красные встречаются с превосходящими силами синих ( один отряд на два или два с тремя) они отступают.

25 Как должны действовать красные? Стратегии «красных» (дискретные): К1 – послать оба отряда по дороге 1; К2 – послать оба отряда по дороге2; К3 – послать по одному отряду на каждую дорогу.

26 Стратегии «синих» (дискретные): С1-поставить все три отряда на дорогу 1; С2-поставить все три отряда на дорогу 2; С3-поставить два отряда на дорогу 1 и один на дорогу 2; С4-поставить два отряда на дорогу 2 и один на дорогу 1. Нет «одноотрядных» стратегий!

27

28 Выигрыш – процент случаев, когда красным удается занять город.

29 Таким образом, нижняя чистая цена игры α=50%, верхняя чистая цена игры β=100%. Тогда цена игры при смешанных стратегиях:

30 Получим решение игры. Будем указывать не проценты, а числовое значение выигрыша – 1, либо 0,5:

31 Составим систему уравнений для неизвестных значений оптимальной стратегии красных:

32 Разделим левые и правые части неравенств на значение правой части:

33 Обозначим и введём переменную z для перехода к равенствам: Тогда:

34 Поскольку стремимся максимизировать выигрыш ν:

35 Получили задачу линейного программирования. При полезных стратегиях синих получаем zi =0. Тогда из первого уравнения

36 Из второго:

37 Из третьего находим: