1 НОРМАЛЬНИЙ РОЗПОДІЛ та ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ 2 Функції

1 НОРМАЛЬНИЙ РОЗПОДІЛ та ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

2 Функції Excel В Excel існує 5 функцій, пов'язаних з обчисленням нормального розподілу. НОРМСТРАСПР(x) – повертає значення ймовірності стандартного нормального розподілу для x . НОРМСТОБР (ймовірність) – повертає значення x для стандартного нормального розподілу для заданої ймовірності.

3 Функції Excel НОРМРАСП(x, математичне сподівання, середнє квадратичне відхилення, ознака) – повертає значення функції щільності розподілу, якщо ознака =0, повертає значення функції розподілу, якщо ознака =1.

4 НОРМОБР(ймовірність, математичне сподівання, середнє квадратичне відхилення) – повертає значення x функції розподілу. НОРМАЛИЗАЦИЯ(x, математичне сподівання, середнє квадратичне відхилення) – повертає нормоване значення x.

5 Ймовірність попадання випадкової величини X ~ N(m, σ) на заданий проміжок (x1,x2) буде дорівнювати

6 Обчислення ймовірності заданого відхилення від математичного сподівання Часто потрібно обчислити ймовірність того, що відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х від математичного сподівання m за абсолютною величиною менше заданого

7

8 Правило трьох сигм (3σ)

9

10 Моменти Початковий момент  k-го порядку Центральний момент порядку k μk = М(Х - МХ)k.

11 Оцінка відхилення теоретичного розподілу від нормального. Асиметрією теоретичного розподілу називають величину As=μ3/σ3.

12 Для симетричних розподілів As =0. Для нормального розподілу As =0

13 Асиметрія Якщо As > 0, то крива розподілу більш полога праворуч від М0 (Х).

14 Асиметрія Якщо As < 0, то крива розподілу більш полога ліворуч від М0 (Х)

15 Якщо одне або декілька значень суттєво перебільшують інші, спостерігається додатня асиметрія. Середне більше моди та медіани.

16 Ексцес Для оцінки форми розподілу, тобто більшого або меншого підйому теоретичного розподілу в порівнянні з нормальною кривою користуються характеристикою ексцес. Ексцес теоретичного розподілу

17 Ексцес Для нормального розподілу Ek=0. Тому якщо Ek>0, то крива має більш високу і «гостру» вершину. Якщо Еk<0, то теоретично крива має більш низьку і «плоску» вершину. При цьому вважають, що математичне сподівання і дисперсія однакові для нормального закону розподілу і теоретичного розподілу.

18 Залежність форми кривої розподілу від значення Еk

19 ВИБІРКОВИЙ МЕТОД

20 Сукупність всіх об'єктів, що вивчаються, або всіх можливих результатів спостережень, проведених у незмінних умовах над одним об'єктом, називається генеральною сукупністю. Вибіркою називають сукупність випадково відібраних об'єктів.

21 Для побудови адекватної стохастичної моделі нам необхідно визначити закон розподілу та його основні параметри для генеральної сукупності.

22 Метод статистичного дослідження, який полягає в тому, що на основі вивчення вибіркової сукупності робиться висновок про всю генеральну сукупність, називається вибірковим.

23 Емпіричний закон розподілу У кожному з випробувань величина X набирає те або інше значення. Значення х1, х2,..., хn називаються варіантами випадкової величини X. Операція розташування значень випадкової величини (ознаки) за неспаданням називається ранжуванням статистичних даних.

24 Отримана в такий спосіб послідовність х1,х2,…xn значень випадкової величини X (де х1≤х2≤…≤хn) називається варіаційним рядом. Числа nі, що показують, скільки разів зустрічаються варіанти xі у ряді спостережень, називаються частотами

25

26 У випадку, коли число значень ознаки X велике або ознака є неперервною, складають інтервальний статистичний ряд. У перший рядок таблиці статистичного розподілу вписують часткові проміжки [ X0 , X1 ), [ X1, X2 ),..., [Xk-і, Xк ), які беруть звичайно однаковими по довжині: h = X1 - X0 = X2 - X1=... , а в другий – їх частоти nі

27

28 Графічне зображення статистичного розподілу Гістограмою частот називають східчасту фігуру, що складається із прямокутників, основою яких служать часткові інтервали довжини h, а висоти дорівнюють відношенню ni /h – щільності частоти. Вважається, що інтервалів повинно бути 12-15, при цьому в інтервал повинно попадати не менше 5-6 реалізацій, кількість випробувань n>300.

29 За виглядом гістограми можна визначити тип розподілу.

30 Сервис -- Надстройки

31 Сервис– Анализ данных

32

33

34

35 Побудова гістограми Можна побудувати гістограму за допомогою функції, що наявна в пакеті Анализ данных. Для цього спочатку необхідно відсортувати вхідні данні за зростанням. Потім введіть границі часткових інтервалів ( [ X0 , X1 ), [X1 , X2 ) ,..., [Xk-і , Xк) ) - X0 , X1, .., Xк (кишені). Ці значення повинні бути введені у зростаючому порядку із кроком h, а також X0< xmin , Xk>xmax .

36

37 1. За обсягом вибірки (N), визначити кількість інтервалів (K) 2. Обчислити розмах ряду: R = х_max – х_min 3. Визначити ширину інтервалу: H=R/(K–1) 4. Знайти початок першого інтервалу X0 = х_min – H/2

38 Сервис – Анализ данных

39

40

41 Статистичні оцінки параметрів розподілу Після того як визначений вигляд закону розподілу, необхідно оцінити його параметри. Наприклад, для нормального закону розподілу треба визначити математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення.

42 Властивості оцінок параметрів Незсуненість Спроможність Ефективність Достатність.

43 Характеристики одновимірного розподілу Міри положення (середнє, медіана, мода та інші). Міри розсіювання (дисперсія, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації, розмах). Міри форми (асиметрія, ексцес, моменти 3-го і 4-го порядку).

44 Міри положення Вибірковим середнім називається середнє арифметичне всіх значень вибірки

45 СРЗНАЧ(< діапазон >).

46

47 Мода – значення, що спостерігається найбільшу кількість разів. Позначається Мо. МОДА (< діапазон >). Медіана – поділяє варіаційний ряд на 2 частини, рівні по числу варіантів. Позначається Ме. МЕДИАНА (< діапазон >).

48 Міри розсіювання Варіація ознаки є властивістю статистичної сукупності і зумовлена дією безлічі взаємопов’язаних причин, серед яких є основні і другорядні. Основні формують центр розподілу, другорядні – варіацію ознаки, сукупна їх дія – форму розподілу. Величина варіації ознаки в статистичній сукупності характеризує її однорідність.

49 Для вивчення та вимірювання варіації використовують такі показники : середнє лінійне відхилення; Дисперсія; середнє квадратичне відхилення; розмах варіації; коефіцієнт варіації.

50 Міри розсіювання Незсунена оцінка дисперсії для нормального розподілу (емпірична дисперсія ) ДИСП (< діапазон >)

51 Стандартне відхилення СТАНДОТКЛОН (< діапазон >)

52 Середнє лінійне відхилення Середнє лінійне відхилення представляє собою середню величину із відхилень варіантів ознаки від їхньої середньої. СРОТКЛ (< діапазон >)

53 Розмах варіації Розмах варіації (R) є найпростішим вимірювачем варіації ознаки. Це різниця між найбільшим і найменшим значенням ознаки: Однак розмах варіації показує лише крайні значення ознаки. Повторюваність проміжних значень не враховується

54 Відносні показники варіації Коефіцієнт осциляції: Лінійний коефіцієнт варіації: Коефіцієнт варіації:

55 Коефіцієнт варіації корисний, якщо: Порівнюються кілька сукупностей, вимірюваних в різних одиницях. Порівнюються сукупності, вимірювані в однакових одиницях, але мають середні, що сильно відрізняються. В статистиці сукупності, що мають коефіцієнт варіації (Vσ) більший 30-35%, вважаються неоднорідними.

56 Які дані мають більшу варіацію: ті,що мають стандартне відхилення 20 при середньому 200 або мають стандартне відхилення 3 при середньому 30? Відповідь. Коефіцієнти варіації рівні. Варіація однакова.

57 Міри форми Для обчислення асиметрії в Excel використовують функцію СКОС(<діапазон>). Для обчислення ексцесу в Excel використовують функцію ЭКСЦЕСС(<діапазон>).

58