1 МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ. МЕТОД ГРАФ-СХЕМ ЛЕКЦИЯ 17

1 МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ. МЕТОД ГРАФ-СХЕМ ЛЕКЦИЯ 17 В.И. ХАХАНОВ Факультет компьютерной инженерии и управления, кафедра АПВТ, ХНУРЭ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА БУЛЕВА АЛГЕБРА

2 Цель лекции – изучить метод граф-схем для минимизации булевых функций, описывающих комбинационные схемы цифровых проектов Содержание: Основные положения Алгоритм нахождения неопределенных коэффициентов Пример реализации алгоритма Тема: Минимизация булевых функций. Метод граф-схем

3 Литература Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов. М.: Высш. шк., 1987. С. 194. Хаханов В.І., Хаханова І.В., Кулак Е.М., Чумаченко С.В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001. С.35-43.

4 Базовые понятия: Булева переменная Булева функция Двоичная система счисления ДНФ Минимальная форма функции Существенная переменная Термины Ключевые слова: Минимизация Минимальная ДНФ Неполностью определенная функция

5 Основные положения. 1 Метод граф-схем предназначен для минимизация неполностью определенных функций Основывается на теореме разложения функции по переменной xi xi - компонент функции есть - компонент функции есть Переменная xi существенна, если или

6 Основные положения. 2 В графическом виде разложение по переменной xi будет иметь вид: Граф-схема автомата для n переменных имеет n ярусов, нумеруемые снизу вверх: i=1,2,3,...,n В каждом ряду имеется 2n-i вершин, а вся граф-схема имеет 2n+1-2 ребер

7 Основные положения. 3 Граф схема функции регулярна, если внутри каждого ряда узлы имеют одинаковые аргументы. Число всех возможных путей от входов первого ряда к основанию равно 2n (n – число переменных). Входами для вершин нижнего ряда являются значения функции: f(x)={0,1,X}.

8 Time-Out

9 Пример реализации алгоритма по методу граф-схем 1 Граф такой функции имеет вид:

10 Пример реализации алгоритма по методу граф-схем 2 Входы для вершин первого ряда формируют значения выходов указанных вершин: Для слов 00, 11, ХХ переменная несущественна. Для 01 по теореме разложения имеем: Для 10 получаем Входами для узлов второго ряда являются сочетания из множества {0,x4, ,1,a,b,c,d,x}.

11 Пример реализации алгоритма по методу граф-схем 3 При доопределении в нижнем ярусе входов x символами {0} получим скобочную форму: Первый вариант для Y1 содержит 7 букв, второй – 9. Следовательно, чем больше в графе фиктивных переменных, тем проще конечный вид скобочной формы. Пути увеличения фиктивности переменных: 1. Оптимальное доопределение значений функций на неопределенных координатах нижнего яруса; 2. Перестановка переменных в ярусах графа.

12 Пример реализации алгоритма по методу граф-схем 4 В соответствии с правилом 2 предложим следующую перестановку переменных в ярусах: В результате получается ГСА, которая дает функцию из 6 букв, что свидетельствует о большей минимальности по сравнению с полученными ранее.

13 Пример реализации алгоритма по методу граф-схем 5 Проверка минимальности функции по карте Карно дает следующий результат, идентичный полученному ранее:

14 Алгоритм упорядочивания переменных в ярусах графа 1 Общее число всех возможных вариантов граф-схем равно Q=n!2p, где n – число переменных, р– количество неопределенных значений функции. Для рассматриваемого примера Q=4!.26=1536. Определение. Сходность графа - есть оценка Q, где ki – число сходных узлов в i-м ярусе, где обе выходные функции одинаковы. Сходность имеет пределы: При этом S=0, если нет ни одного сходного узла и если функция тождественно равна 0 или 1. Если ki=2n-i для i-того яруса, то xi – фиктивная переменная. На первом рисунке На втором рисунке