1. Matrices A matrix A is a

  • Размер: 223.6 Кб
  • Автор:
  • Количество слайдов: 28

Описание презентации 1. Matrices A matrix A is a по слайдам

1. Matrices A matrix A is a rectangular array (a table) of scalars (numbers) presented in1. Matrices A matrix A is a rectangular array (a table) of scalars (numbers) presented in the following form: Матрица A – это прямоугольный массив (таблица) скалярных величин (чисел) представленных в следующем виде: 1 matrix матрица rectangular прямоугольный array массив table таблица scalar скаляр number число presented представленный following следующий form форма

1. Matrices The rows of such a matrix A are the m horizontal lists of scalars.1. Matrices The rows of such a matrix A are the m horizontal lists of scalars. The columns of A are the n vertical lists of scalars. Ряды такой матрицы A – это m горизонтальных списков скалярных величин. Столбцы A это n вертикальных списков скалярных величин. 2 row ряд such такой horizontal горизонтальный list список column столбец vertical вертикальный

Matrix Addition  Let A and B  be two matrices with the same size. Matrix Addition Let A and B be two matrices with the same size. The sum of A and B is the matrix obtained by adding corresponding elements from A and B. Пусть A и B – две матрицы одинакового размера. Сумма A и B– это матрица, полученная сложением соответствующих элементов из A и B. 3 addition сложение same одинаковый size размер sum сумма obtain получать add прибавлять correspond соответствовать from из

Scalar Multiplication The product of the matrix A by a scalar k is the matrix obtainedScalar Multiplication The product of the matrix A by a scalar k is the matrix obtained by multiplying each element of A by k. Произведение матрицы A на скаляр k это матрица, полученная умножением каждого элемента A на k. 4 multiplication умножение product произведение multiply умножать

Matrix Multiplication DEFINITION: Suppose A  and B  are matrices such that the number ofMatrix Multiplication DEFINITION: Suppose A and B are matrices such that the number of columns of A is equal to the number of rows of B. Then the product AB is the matrix whose ij -entry is obtained by multiplying the i th row of A by the j th column of B. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Предположим A и B – это матрицы такие, что число столбцов A равно числу строк B. Тогда произведение AB это матрица, чей ij-элемент получен умножением i-ой строки A на j-ый столбец B. 5 product произведение multiply умножать multiplication умножение product произведение

Transpose of a Matrix The transpose of a matrix A , written A T , isTranspose of a Matrix The transpose of a matrix A , written A T , is the matrix obtained by writing the columns of A , in order, as rows. Транспонированная матрица A , записываемая A T , is – это матрица, полученная записыванием столбцов A , в порядке, как ряды. 6 transpose т ранспонированная write писать order порядок

Determinants Each n -square matrix A =[ a ij ] is assigned a special scalar calledDeterminants Each n -square matrix A =[ a ij ] is assigned a special scalar called the determinant of A , denoted by det( A ) or | A |. Каждой квадратной матрице n порядка A=[a ij ] ставится в соответствие специальное число, называемое определителем A, обозначаемое det(A) или |A|. 7 determinant определитель square квадратный assign ставить в соответствие, назначать special специальный denote обозначать

 Minors Consider an n -square matrix A =[ a ij ].  Рассмотрим квадратную матрицу Minors Consider an n -square matrix A =[ a ij ]. Рассмотрим квадратную матрицу n -го порядка. Let M ij denote the ( n- 1)-square submatrix of A obtained by deleting its i th row and j th column. Пусть M ij обозначает квадратную подматрицу A (n-1)-порядка полученную удалением ее i-ой строки и j-го столбца. The determinant | M ij | is called the minor of the element a ij of A Определитель |M ij | называется минором элемента a ij A 8 consider рассматривать submatrix подматрица delete стирать is called называют minor минор element элемент

  Cofactors . Laplace Expansion  We define the cofactor of a ij , denoted Cofactors . Laplace Expansion We define the cofactor of a ij , denoted by A ij ; as the ‘‘signed’’ minor Мы определим алгебраическое дополнение a ij , обозначаемое A ij ; как минор «со знаком ” THEOREM : (Laplace) The determinant of a square matrix A =[ a ij ] is equal to the sum of the products obtained by multiplying the elements of any row (column) by their respective cofactors: Теорема (Лаплас). Определитель квадратной матрицы A=[a ij ] равен сумме произведений, полученных умножением элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. 9 expansion разложение define определять cofactor алгебраическое дополнение sign знак theorem теорема any какой-нибудь respective соответствующий

  Adjoint Matrix The adjoint matrix of A , denoted by adj A , is Adjoint Matrix The adjoint matrix of A , denoted by adj A , is the transpose of the matrix of cofactors of A. Namely, Присоединенная к матрице A, обозначаемая adj A, это транспозиция матрицы алгебраических дополнений of A. 10 adjoint присоединенный

  Identity Matrix The n -square identity or unit matrix, denoted by I n , Identity Matrix The n -square identity or unit matrix, denoted by I n , or simply I , is the n -square matrix with 1’s on the diagonal and 0’s elsewhere. Единичная квадратная матрица порядка n, обозначаемая I n , или просто I, это квадратная матрица порядка n с 1 на диагонали 0 s the n-square matrix with 1’s on the diagonal and 0 в других местах. 11 identity единичный unit единица simply просто diagonal диагональ elsewhere где-то в другом месте

Inverse Matrix A square matrix A is said to be invertible or nonsingular if there existsInverse Matrix A square matrix A is said to be invertible or nonsingular if there exists a matrix B such that where I is the identity matrix. We call such a matrix B the inverse of A and denote it by A — 1. Квадратная матрица A называется обратимой или несингулярной, если существует матрица B, такая, что 12 AB BA I invertible обратимая nonsingular несингулярная exist существует inverse обратная

Linear Equation A linear equation in unknowns    is an equation that can beLinear Equation A linear equation in unknowns is an equation that can be put in the standard form where , and b are constants. The constant a k is called the coefficient of x k , and b is called the constant term of the equation. Линейное уравнение неизвестных это уравнение, которое может быть представлено в форме , где и b – константы. Постоянная a k называется коэффициентом x k , и b называется постоянным членом уравнения. 13 linear линейный equation уравнение unknown неизвестная put вложить constant постоянный term член 1 2, , . . . nx x x 1 1 2 2. . . n na x a x a x b 1 2, , . . . na a a

Linear Equation A solution of the linear equation is a list of values for the unknownsLinear Equation A solution of the linear equation is a list of values for the unknowns such that the following statement (obtained by substituting k i for x i in the equation) is true: . In such a case we say that vector satisfies the equation. Решение линейного уравнения – это список значений неизвестных, такой, что следующее высказывание (полученное подстановкой k i вместо x i в уравнение) верно В этом случае, мы говорим, что вектор u удовлетворяет уравнению 14 solution решение value значение statement высказывание true истина say сказать vector вектор satisfy удовлетворять1 1 2 2. . . n na k a k b 1 2, , . . . , nu k k k 1 1 2 2. . . n na k a k b

System of Linear Equations  A system of linear equations is a list of linear equationsSystem of Linear Equations A system of linear equations is a list of linear equations with the same unknowns. In particular, a system of m linear equations L 1 , L 2 , . . . , Lm in n unknowns can be put in the standard form where the a ij and bi are constants. The number aij is the coefficient of the unknown x j in the equation Li , and the number bi is the constant of the equation L i. Система линейных уравнений– это множество линейных уравнений с одинаковыми неизвестными. В частности, система m линейных уравнений L 1 , L 2 , . . . , Lm с n неизвестными может быть представлена в стандартной форме, где a ij и bi – постоянные. Величина a ij – коэффициент при неизвестной x j в уравнении Li , и величина bi – это постоянная уравнения L i. 15 system система list множество In particular в частности can be put может быть представлено standard стандартный coefficient коэффициент 1 11 1 12 2 1 1 2 21 1 22 2 1 1 2 2: . . . : . . . n n m mn n m. L a x a x a x b L a x a x b

System of Linear Equations The system is said to be homogeneous if all the constant termsSystem of Linear Equations The system is said to be homogeneous if all the constant terms are zero. Otherwise the system is said to be nonhomogeneous. The system of linear equations is said to be consistent if it has one or more solutions, and it is said to be inconsistent if it has no solution. Система называется однородной , если все постоянные члены равны нулю. В противном случае, система называется неоднородной Система линейных уравнений называется совместной , если она имеет одно или более решений, и называется несовместной , если она не имеет решений 16 homogeneous однородный nonhomogeneous неоднородный zero ноль otherwise иначе consistent совместный inconsistent несовместный

System of Linear Equations A linear equation is said to be degenerate if all the coefficientsSystem of Linear Equations A linear equation is said to be degenerate if all the coefficients are zero. A system in echelon form has the following form: where 1 < j 2 <. . . < jr and are not zero. The pivot variables are. Note that r n. If r = n , the echelon form usually is called a triangular form. Линейное уравнение называется вырожденным, если все коэффициенты равны нулю. Система в ступенчатой форме имеет следующий вид где 1 < j 2 <. . . < jr и не равны нулю. Разрешающими переменными являются …. Заметим, что r n. Если r = n , ступенчатая форма обычно называется треугольной формой. 17 degenerate вырожденный echelon ступенчатый pivot разрешающий variable переменная note заметить usually обычно triangular треугольный 2 211 1 12 2 13 3 14 4 1 1 2 2. . . . r r n n j j n n rj j rn n ra x a x a x b 2 1, , . . . , rj jx x x

Gaussian Elimination (Гауссово исключение)  The main method for solving the general system of linear equationsGaussian Elimination (Гауссово исключение) The main method for solving the general system of linear equations is called Gaussian elimination. Part A. (Forward Elimination) Step-by-step reduction of the system yielding an equivalent simpler system in triangular or echelon form. Part B. (Backward Elimination) Step-by-step back-substitution to find the solution of the simpler system. Основной метод для решения общих систем линейных уравнений называется Гауссовым исключением. Он, в основном, состоит из двух частей. Часть А. (Прямое исключение) Пошаговым преобразованием системы (получение) на выходе более простой системы в треугольной или ступенчатой форме. Часть B (Обратное исключение) Пошаговая обратная подстановка, чтобы найти решение упрощенной системы. 18 elimination исключение forward прямой step-by-step пошаговый reduction приведение backward обратный back-substitution обратная подстановка

Gaussian Elimination ELIMINATION STEP : Find the first unknown in the system with a nonzero coefficientGaussian Elimination ELIMINATION STEP : Find the first unknown in the system with a nonzero coefficient (which now must be x 1 ). (a) Arrange so that a 11 0. That is, if necessary, interchange equations so that the first unknown x 1 appears with a nonzero coefficient in the first equation. (b) Use a 11 as a pivot to eliminate x 1 from all equations except the first equation. That is, for i > 1: (1) Set m =- a i 1 / a 11 ; (2) Replace L i by m. L 1 + L i The system now has the following form: where x 1 does not appear in any equation except the first, a 11 0, and denotes the first unknown with a nonzero coefficient in any equation other than the first. (c) Examine each new equation L. (1) If L has the form 0 x 1 + 0 x 2 +. . . +0 x n = b with b 0, then STOP The system is inconsistent and has no solution. (2) If L has the form 0 x 1 + 0 x 2 +. . . +0 x n = 0 then delete L from the system. 192 2 2 2 211 1 12 2 13 3 14 4 1 1 2 2 1 1. . . . n n j j n n mj j mn n m a x a x a x b

Gaussian Elimination RECURSION STEP : Repeat the Elimination Step with each new ‘‘smaller’’ subsystem formed byGaussian Elimination RECURSION STEP : Repeat the Elimination Step with each new ‘‘smaller’’ subsystem formed by all the equations excluding the first equation. OUTPUT : Finally, the system is reduced to triangular or echelon form, or a degenerate equation with no solution is obtained indicating an inconsistent system. Part B. (Backward Elimination). The input is a matrix A =[ a ij ] in echelon form with. Step 1. (a) (Use row scaling so the last pivot equals 1. ) Multiply the last nonzero equation L r by (b) (Use to obtain 0’s above the pivot. ) For i = r -1, r -2, . . . , 2, 1: : (1) Set ; (2) Replace L i by m. L r + L i (That is, apply the operations. ) Steps 2 to r -1. Repeat Step 1 for equation L r -1 , L r -2 , . . . ; L 2. Step r. (Use row scaling so the first pivot equals 1. ) Multiply L 1 by 202 2 11 1 12 2 13 3 14 4 1 1 2 2. . . . r r n n j j n n rj j rn n ra x a x a x b

Gaussian Elimination ELIMINATION STEP : Find the first unknown in the system with a nonzero coefficientGaussian Elimination ELIMINATION STEP : Find the first unknown in the system with a nonzero coefficient (which now must be x 1 ). (a) Arrange so that a 11 0. That is, if necessary, interchange equations so that the first unknown x 1 appears with a nonzero coefficient in the first equation. (b) Use a 11 as a pivot to eliminate x 1 from all equations except the first equation. That is, for i > 1: (1) Set m =- a i 1 / a 11 ; (2) Replace L i by m. L 1 + L i ШАГ ИСКЛЮЧЕНИЯ. Найти первое неизвестное в системе с ненулевым коэффициентом (который сейчас должен быть x 1 ). (а) Устраиваем так, чтобы a 11 0. Для этого, если необходимо, переставляем уравнения так, чтобы первое неизвестное x 1 оказалось с ненулевым коэффициентом в первом уравнении. (б) Используем a 11 как разрешающий элемент для исключения x 1 из всех уравнений за исключением первого уравнения. Так, для for i > 1: (1) Устанавливаем m =- a i 1 / a 11 ; (2) заменяем L i на m. L 1 + L i 21 arrange устраивать, располагать necessary необходимо appear появляться set устанавливать replace заменить

Gaussian Elimination The system now has the following form: where x 1 does not appear inGaussian Elimination The system now has the following form: where x 1 does not appear in any equation except the first, a 11 0, and denotes the first unknown with a nonzero coefficient in any equation other than the first. Система теперь имеет следующую форму, где x 1 не появляется в каком-либо уравнении, за исключением первого, и обозначает первое неизвестное с ненулевым коэффициентом в любом уравнении, отличным от первого. 22 except исключать other другой 2 2 2 2 11 1 12 2 13 3 14 4 1 1 2 2 1 1. . . . n n j j n n mj j mn n m a x a x a x b

Gaussian Elimination (c) Examine each new equation L.  (1) If L has the form 0Gaussian Elimination (c) Examine each new equation L. (1) If L has the form 0 x 1 + 0 x 2 +. . . +0 xn = b with b 0, then STOP The system is inconsistent and has no solution. (2) If L has the form 0 x 1 + 0 x 2 +. . . +0 xn = 0 then delete L from the system. RECURSION STEP : Repeat the Elimination Step with each new ‘‘smaller’’ subsystem formed by all the equations excluding the first equation. (с) Проверяем каждое новое уравнение (1) Если L имеет вид 0 x 1 + 0 x 2 +. . . +0 xn = b и b 0, тогда ОСТАНОВКА Система несовместна и не имеет решения. (2) Если L имеет вид 0 x 1 + 0 x 2 +. . . +0 xn = 0 тогда удаляем L из системы. РЕКУРСИВНЫЙ ШАГ: Повторяем шаг исключения с каждой новой «меньшей» подсистемой, образованной всеми уравнениями, исключая первое уравнение 23 examine исследовать repeat повторить exclude исключать

Gaussian Elimination OUTPUT : Finally, the system is reduced to triangular or echelon form, or aGaussian Elimination OUTPUT : Finally, the system is reduced to triangular or echelon form, or a degenerate equation with no solution is obtained indicating an inconsistent system. ИТОГ : окончательно система сводится к треугольной или ступенчатой форме, или вырожденному уравнение без решения получится, указывая на несовместную систему. 24 output выход, итог finally окончательно reduce приводить indicate указывать2 2 2 211 1 12 2 13 3 14 4 1 1 2 2. . . . r r n n j j n n rj j rn n r a x a x a x b

Gaussian Elimination Part B. (Backward Elimination). The input is a matrix A =[ aij ] inGaussian Elimination Part B. (Backward Elimination). The input is a matrix A =[ aij ] in echelon form with. Step 1. (a) (Use row scaling so the last pivot equals 1. ) Multiply the last nonzero equation L r by (b) (Use to obtain 0’s above the pivot. ) For i = r -1, r -2, . . . , 2, 1: (1) Set ; (2) Replace L i by m. Lr + Li (That is, apply the operations . ) Часть B (Обратное исключение). Входом является матрица A =[ a ij ] ступенчатой формы. Шаг 1. (a) (Используйте масштабирование строки так, чтобы разрешающий элемент равнялся 1. ) Умножьте последнюю ненулевую строку L r на (b) (Используйте , чтобы получить нули выше разрешающего элемента). Для i = r -1, r -2, . . . , 2, 1: (1) Установите ; (2) Замените L i на m. Lr + Li (То есть примените операцию . ) 25 scaling масштабирование apply применять 1 rrja 1 rrja rrjm a rij r i ia L L L 1 rrja

Gaussian Elimination Steps 2  to r -1. Repeat Step 1 for equation Lr-1 , Gaussian Elimination Steps 2 to r -1. Repeat Step 1 for equation Lr-1 , Lr-2 , . . . ; L 2. Step r. (Use row scaling so the first pivot equals 1. ) Multiply L 1 by Шаги 2 до r -1. Повторяйте Шаг 1 для строк L r-1 , Lr-2 , . . . ; L 2. Шаг r. (Используйте масштабирование так, чтобы разрешающий элемент равнялся 1. )

Gaussian Elimination ELIMINATION STEP : Find the first unknown in the system with a nonzero coefficientGaussian Elimination ELIMINATION STEP : Find the first unknown in the system with a nonzero coefficient (which now must be x 1 ). (a) Arrange so that a 11 0. That is, if necessary, interchange equations so that the first unknown x 1 appears with a nonzero coefficient in the first equation. (b) Use a 11 as a pivot to eliminate x 1 from all equations except the first equation. That is, for i > 1: (1) Set m =- a i 1 / a 11 ; (2) Replace L i by m. L 1 + L i The system now has the following form: where x 1 does not appear in any equation except the first, a 11 0, and denotes the first unknown with a nonzero coefficient in any equation other than the first. (c) Examine each new equation L. (1) If L has the form 0 x 1 + 0 x 2 +. . . +0 x n = b with b 0, then STOP The system is inconsistent and has no solution. (2) If L has the form 0 x 1 + 0 x 2 +. . . +0 x n = 0 then delete L from the system. 272 2 2 2 211 1 12 2 13 3 14 4 1 1 2 2 1 1. . . . n n j j n n mj j mn n m a x a x a x b

Gaussian Elimination RECURSION STEP : Repeat the Elimination Step with each new ‘‘smaller’’ subsystem formed byGaussian Elimination RECURSION STEP : Repeat the Elimination Step with each new ‘‘smaller’’ subsystem formed by all the equations excluding the first equation. OUTPUT : Finally, the system is reduced to triangular or echelon form, or a degenerate equation with no solution is obtained indicating an inconsistent system. Part B. (Backward Elimination). The input is a matrix A =[ a ij ] in echelon form with. Step 1. (a) (Use row scaling so the last pivot equals 1. ) Multiply the last nonzero equation L r by (b) (Use to obtain 0’s above the pivot. ) For i = r -1, r -2, . . . , 2, 1: : (1) Set ; (2) Replace L i by m. L r + L i (That is, apply the operations. ) Steps 2 to r -1. Repeat Step 1 for equation L r -1 , L r -2 , . . . ; L 2. Step r. (Use row scaling so the first pivot equals 1. ) Multiply L 1 by 282 2 11 1 12 2 13 3 14 4 1 1 2 2. . . . r r n n j j n n rj j rn n ra x a x a x b