Скачать презентацию 1 Логические основы компьютеров 3 1 Логика и Скачать презентацию 1 Логические основы компьютеров 3 1 Логика и

cfa73df52d59119c30c541f4209e2d38.ppt

  • Количество слайдов: 79

1 Логические основы компьютеров 3. 1 Логика и компьютер 3. 2 Логические операции 3. 1 Логические основы компьютеров 3. 1 Логика и компьютер 3. 2 Логические операции 3. 3 Диаграммы 3. 4 Упрощение логических выражений 3. 5 Синтез логических выражений 3. 6 Предикаты и кванторы 3. 7 Логические элементы компьютера 3. 8 Логические задачи Задачи ЕГЭ К. Поляков, 2007 -2012

2 Логические основы компьютеров Логика и компьютер К. Поляков, 2007 -2012 2 Логические основы компьютеров Логика и компьютер К. Поляков, 2007 -2012

3 Логические основы компьютеров Логика, высказывания Логика (др. греч. λογικος) – это наука о 3 Логические основы компьютеров Логика, высказывания Логика (др. греч. λογικος) – это наука о том, как правильно рассуждать, делать выводы, доказывать утверждения. Формальная логика отвлекается от конкретного содержания, изучает только истинность и ложность высказываний. Аристотель (384 -322 до н. э. ) Логическое высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. К. Поляков, 2007 -2012

Логические основы компьютеров Высказывание или нет? Сейчас идет дождь. Жирафы летят на север. История Логические основы компьютеров Высказывание или нет? Сейчас идет дождь. Жирафы летят на север. История – интересный предмет. У квадрата – 10 сторон и все разные. Красиво! В городе N живут 2 миллиона человек. Который час? К. Поляков, 2007 -2012 4

Логические основы компьютеров Логика и компьютер Двоичное кодирование – все виды информации кодируются с Логические основы компьютеров Логика и компьютер Двоичное кодирование – все виды информации кодируются с помощью 0 и 1. Задача – разработать оптимальные правила обработки таких данных. Почему «логика» ? Результат выполнения операции можно представить как истинность (1) или ложность (0) некоторого высказывания. Джордж Буль разработал основы алгебры, в которой используются только 0 и 1 (алгебра логики, булева алгебра). К. Поляков, 2007 -2012 5

6 Логические основы компьютеров 3. 2 Логические операции К. Поляков, 2007 -2012 6 Логические основы компьютеров 3. 2 Логические операции К. Поляков, 2007 -2012

7 Логические основы компьютеров Обозначение высказываний A – Сейчас идет дождь. B – Форточка 7 Логические основы компьютеров Обозначение высказываний A – Сейчас идет дождь. B – Форточка открыта. ! простые высказывания (элементарные) Любое высказывание может быть ложно (0) или истинно (1). Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) «и» , «или» , «не» , «если … то» , «тогда и только тогда» и др. Aи. B A или не B если A, то B A тогда и только тогда, когда B К. Поляков, 2007 -2012 Сейчас идет дождь и открыта форточка. Сейчас идет дождь или форточка закрыта. Если сейчас идет дождь, то форточка открыта. Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта форточка.

8 Логические основы компьютеров Операция НЕ (инверсия) Если высказывание A истинно, то «не А» 8 Логические основы компьютеров Операция НЕ (инверсия) Если высказывание A истинно, то «не А» ложно, и наоборот. А не А 0 1 1 0 также , , not A (Паскаль), ! A (Си) таблица истинности операции НЕ Таблица истинности логического выражения Х – это таблица, где в левой части записываются все возможные комбинации значений исходных данных, а в правой – значение выражения Х для каждой комбинации. К. Поляков, 2007 -2012

9 Логические основы компьютеров Операция И Высказывание «A и B» истинно тогда и только 9 Логические основы компьютеров Операция И Высказывание «A и B» истинно тогда и только тогда, когда А и B истинны одновременно. Aи. B A B 220 В К. Поляков, 2007 -2012

10 Логические основы компьютеров Операция И (логическое умножение, конъюнкция) A 0 1 2 3 10 Логические основы компьютеров Операция И (логическое умножение, конъюнкция) A 0 1 2 3 B Аи. B 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 также: A·B, A and B (Паскаль), A && B (Си) A B конъюнкция – от лат. conjunctio — соединение К. Поляков, 2007 -2012

11 Логические основы компьютеров Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция) Высказывание «A или B» истинно 11 Логические основы компьютеров Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция) Высказывание «A или B» истинно тогда, когда истинно А или B, или оба вместе. A или B A B 220 В К. Поляков, 2007 -2012

12 Логические основы компьютеров Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция) A B А или B 12 Логические основы компьютеров Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция) A B А или B 0 0 1 1 0 1 также: A+B, A or B (Паскаль), A || B (Си) 0 1 1 1 дизъюнкция – от лат. disjunctio — разъединение К. Поляков, 2007 -2012

Логические основы компьютеров Задачи В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов Логические основы компьютеров Задачи В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической операции «И» – &. 1) принтеры & сканеры & продажа 2) принтеры & продажа 3) принтеры | продажа 4) принтеры | сканеры | продажа 1234 К. Поляков, 2007 -2012 13

14 Логические основы компьютеров Операция «исключающее ИЛИ» Высказывание «A B» истинно тогда, когда истинно 14 Логические основы компьютеров Операция «исключающее ИЛИ» Высказывание «A B» истинно тогда, когда истинно А или B, но не оба одновременно (то есть A B). «Либо пан, либо пропал» . A B А B 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 также: A xor B (Паскаль), A ^ B (Си) арифметическое сложение, 1+1=2 остаток сложение по модулю 2: А B = (A + B) mod 2 К. Поляков, 2007 -2012

15 Логические основы компьютеров Свойства операции «исключающее ИЛИ» A A=0 (A B) B = 15 Логические основы компьютеров Свойства операции «исключающее ИЛИ» A A=0 (A B) B = ? A 0= A A 1= A A 0 0 1 1 B 0 1 К. Поляков, 2007 -2012 А B 0 0 1 0 0 0 1 1 0

16 Логические основы компьютеров Импликация ( «если …, то …» ) Высказывание «A B» 16 Логические основы компьютеров Импликация ( «если …, то …» ) Высказывание «A B» истинно, если не исключено, что из А следует B. A – «Работник хорошо работает» . B – «У работника хорошая зарплата» . A 0 0 1 1 К. Поляков, 2007 -2012 B 0 1 А B 1 1 0 1

17 Логические основы компьютеров Импликация ( «если …, то …» ) «Если Вася идет 17 Логические основы компьютеров Импликация ( «если …, то …» ) «Если Вася идет гулять, то Маша сидит дома» . A – «Вася идет гулять» . A B А B B – «Маша сидит дома» . ? А если Вася не идет гулять? Маша может пойти гулять (B=0), а может и не пойти (B=1)! К. Поляков, 2007 -2012 0 0 1 1 1 0 1

18 Логические основы компьютеров Эквивалентность ( «тогда и только тогда, …» ) Высказывание «A 18 Логические основы компьютеров Эквивалентность ( «тогда и только тогда, …» ) Высказывание «A B» истинно тогда и только тогда, когда А и B равны. A 0 0 1 1 К. Поляков, 2007 -2012 B 0 1 А B 1 0 0 1

19 Логические основы компьютеров Базовый набор операций С помощью операций И, ИЛИ и НЕ 19 Логические основы компьютеров Базовый набор операций С помощью операций И, ИЛИ и НЕ можно реализовать любую логическую операцию. И ИЛИ НЕ базовый набор операций ? Сколько всего существует логических операции с двумя переменными? К. Поляков, 2007 -2012

20 Логические основы компьютеров Штрих Шеффера, «И-НЕ» A 0 0 1 1 B 0 20 Логические основы компьютеров Штрих Шеффера, «И-НЕ» A 0 0 1 1 B 0 1 Базовые операции через «И-НЕ» : К. Поляков, 2007 -2012 А|B 1 1 1 0

21 Логические основы компьютеров Стрелка Пирса, «ИЛИ-НЕ» A 0 0 1 1 B 0 21 Логические основы компьютеров Стрелка Пирса, «ИЛИ-НЕ» A 0 0 1 1 B 0 1 Базовые операции через «ИЛИ-НЕ» : ! К. Поляков, 2007 -2012 Самостоятельно… А|B 1 0 0 0

22 Логические основы компьютеров Формализация Прибор имеет три датчика и может работать, если два 22 Логические основы компьютеров Формализация Прибор имеет три датчика и может работать, если два из них исправны. Записать в виде формулы ситуацию «авария» . A – «Датчик № 1 неисправен» . B – «Датчик № 2 неисправен» . Формализация – это переход к записи на C – «Датчик № 3 неисправен» . формальном языке! Аварийный сигнал: X – «Неисправны два датчика» . X – «Неисправны датчики № 1 и № 2» или «Неисправны датчики № 1 и № 3» или «Неисправны датчики № 2 и № 3» . логическая формула ! К. Поляков, 2007 -2012

23 Логические основы компьютеров Вычисление логических выражений 1 4 Порядок вычислений: • • • 23 Логические основы компьютеров Вычисление логических выражений 1 4 Порядок вычислений: • • • 2 5 3 + скобки + НЕ И ИЛИ, исключающее ИЛИ B импликация эквивалентность A B A С К. Поляков, 2007 -2012 C

24 Логические основы компьютеров Составление таблиц истинности A 0 1 2 3 B A·B 24 Логические основы компьютеров Составление таблиц истинности A 0 1 2 3 B A·B 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 X 0 1 0 1 0 1 1 Логические выражения могут быть: • тождественно истинными (всегда 1, тавтология) • тождественно ложными (всегда 0, противоречие) • вычислимыми (зависят от исходных данных) К. Поляков, 2007 -2012

25 Логические основы компьютеров Составление таблиц истинности A 0 1 2 3 4 5 25 Логические основы компьютеров Составление таблиц истинности A 0 1 2 3 4 5 6 7 B C A∙B A∙C B∙C X 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 К. Поляков, 2007 -2012

26 Логические основы компьютеров Задачи (таблица истинности) Символом F обозначено одно из указанных ниже 26 Логические основы компьютеров Задачи (таблица истинности) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F? 1) 1) ¬X ¬Y ¬Z 2) 2) X Y Z 3) 3) X Y Z 4) 4) ¬X ¬Y ¬Z К. Поляков, 2007 -2012 X 1 0 1 Y 0 0 1 Z 0 0 1 F 1 1 0

27 Логические основы компьютеров 3. 3 Диаграммы К. Поляков, 2007 -2012 27 Логические основы компьютеров 3. 3 Диаграммы К. Поляков, 2007 -2012

28 Логические основы компьютеров Диаграммы Венна (круги Эйлера) A A A B B A·B 28 Логические основы компьютеров Диаграммы Венна (круги Эйлера) A A A B B A·B A+B A A A B К. Поляков, 2007 -2012 B A B

29 Логические основы компьютеров Диаграмма с тремя переменными Хочу Могу 3 2 1 5 29 Логические основы компьютеров Диаграмма с тремя переменными Хочу Могу 3 2 1 5 6 4 7 8 Надо ! Логические выражения можно упрощать! К. Поляков, 2007 -2012

30 Логические основы компьютеров Задачи Известно количество сайтов, которых находит поисковый сервер по следующим 30 Логические основы компьютеров Задачи Известно количество сайтов, которых находит поисковый сервер по следующим запросам : Запрос огурцы помидоры огурцы & помидоры Количество сайтов 100 200 50 Сколько сайтов будет найдено по запросу огурцы | помидоры К. Поляков, 2007 -2012

31 Логические основы компьютеров Задачи A B NA|B = NA+ NB 50 огурцы & 31 Логические основы компьютеров Задачи A B NA|B = NA+ NB 50 огурцы & помидоры A B NA|B = NA+ NB – NA&B огурцы | помидоры 250 К. Поляков, 2007 -2012 огурцы помидоры 100 200

32 Логические основы компьютеров Задачи Известно количество сайтов, которых находит поисковый сервер по следующим 32 Логические основы компьютеров Задачи Известно количество сайтов, которых находит поисковый сервер по следующим запросам : Запрос Динамо & Рубин Спартак & Рубин (Динамо | Спартак) & Рубин Количество сайтов 320 280 430 Сколько сайтов будет найдено по запросу Динамо & Спартак & Рубин К. Поляков, 2007 -2012

33 Логические основы компьютеров Задачи Спартак Динамо Спартак & Рубин = 2 + 3 33 Логические основы компьютеров Задачи Спартак Динамо Спартак & Рубин = 2 + 3 = 280 2 Динамо & Рубин = 1 + 2 = 320 1 3 Рубин (Динамо | Спартак) & Рубин = 1 + 2 + 3 = 430 Динамо & Спартак & Рубин = 2 = (320 + 280) – 430 = 170 К. Поляков, 2007 -2012

34 Логические основы компьютеров Задачи Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый 34 Логические основы компьютеров Задачи Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот ее фрагмент: Ключевое слово сканер принтер монитор Количество сайтов, для которых данное слово является ключевым 200 250 450 Сколько сайтов будет найдено по запросу (принтер | сканер) & монитор если по трем следующим запросам найдено: принтер | сканер – 450 сайтов, принтер & монитор – 40 сайтов сканер & монитор – 50 сайтов. К. Поляков, 2007 -2012

35 Логические основы компьютеров Задачи (принтер | сканер) & монитор = ? А (сканер) 35 Логические основы компьютеров Задачи (принтер | сканер) & монитор = ? А (сканер) B (принтер) 450 принтер | сканер 0 NA|B = NA+ NB – NA&B сканер 200 принтер 250 принтер сканер принтер & монитор = 40 50 40 сканер & монитор = 50 монитор К. Поляков, 2007 -2012 40 + 50 = 90

36 Логические основы компьютеров 3. 4 Упрощение логических выражений К. Поляков, 2007 -2012 36 Логические основы компьютеров 3. 4 Упрощение логических выражений К. Поляков, 2007 -2012

37 Логические основы компьютеров Законы алгебры логики название двойного отрицания исключения третьего операции с 37 Логические основы компьютеров Законы алгебры логики название двойного отрицания исключения третьего операции с константами повторения поглощения переместительный сочетательный распределительный законы де Моргана К. Поляков, 2007 -2012 для ИЛИ

Логические основы компьютеров Упрощение логических выражений Шаг 1. Заменить операции на их выражения через Логические основы компьютеров Упрощение логических выражений Шаг 1. Заменить операции на их выражения через И, ИЛИ и НЕ: Шаг 2. Раскрыть инверсию сложных выражений по формулам де Моргана: Шаг 3. Используя законы логики, упрощать выражение, стараясь применять закон исключения третьего. К. Поляков, 2007 -2012 38

39 Логические основы компьютеров Упрощение логических выражений раскрыли формула де Моргана распределительный исключения третьего 39 Логические основы компьютеров Упрощение логических выражений раскрыли формула де Моргана распределительный исключения третьего повторения поглощения К. Поляков, 2007 -2012

Логические основы компьютеров Задачи (упрощение) Какое логическое выражение равносильно выражению A ¬(¬B C)? 1) Логические основы компьютеров Задачи (упрощение) Какое логическое выражение равносильно выражению A ¬(¬B C)? 1) ¬A ¬B ¬C 1) 2) A ¬B ¬C 2) 3) A B ¬C 3) 4) A ¬B C 4) К. Поляков, 2007 -2012 40

41 Логические основы компьютеров Логические уравнения A=1, B=0, C=1 или A=0, B=1, C – 41 Логические основы компьютеров Логические уравнения A=1, B=0, C=1 или A=0, B=1, C – любое 2 решения: (0, 1, 0), (0, 1, 1) K=1, L=1, M и N – любые 4 решения M=1, L=1, N=1, K – любое 2 решения ! K=1, L=1, M=0, N – любое 2 решения ! К. Поляков, 2007 -2012 Всего 3 решения! Всего 5 решений!

42 Логические основы компьютеров 3. 5 Синтез логических выражений К. Поляков, 2007 -2012 42 Логические основы компьютеров 3. 5 Синтез логических выражений К. Поляков, 2007 -2012

43 Логические основы компьютеров Синтез логических выражений A B X 0 0 1 1 43 Логические основы компьютеров Синтез логических выражений A B X 0 0 1 1 0 1 0 1 Шаг 1. Отметить строки в таблице, где X = 1. Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое истинно только для этой строки. Шаг 3. Сложить эти выражения и упростить результат. распределительный исключения третьего К. Поляков, 2007 -2012 распределительный исключения третьего

44 Логические основы компьютеров Синтез логических выражений (2 способ) Шаг 1. Отметить строки в 44 Логические основы компьютеров Синтез логических выражений (2 способ) Шаг 1. Отметить строки в таблице, где X = 0. Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое истинно только для этой строки. Шаг 3. Сложить эти выражения и упростить результат, который равен. Шаг 4. Сделать инверсию. A B X 0 0 1 1 1 0 1 ? Когда удобнее применять 2 -ой способ? К. Поляков, 2007 -2012

45 Логические основы компьютеров Синтез логических выражений (3 способ) A B X 0 0 45 Логические основы компьютеров Синтез логических выражений (3 способ) A B X 0 0 1 1 0 1 0 1 К. Поляков, 2007 -2012 Шаг 1. Отметить строки в таблице, где X = 0. Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое ложно только для этой строки. Шаг 3. Перемножить эти выражения и упростить результат.

Логические основы компьютеров Синтез логических выражений A B C X 0 0 1 1 Логические основы компьютеров Синтез логических выражений A B C X 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 К. Поляков, 2007 -2012 46

47 Логические основы компьютеров Синтез логических выражений (2 способ) A B C X 0 47 Логические основы компьютеров Синтез логических выражений (2 способ) A B C X 0 0 1 1 1 1 0 1 К. Поляков, 2007 -2012 0 1 0 1 ! 3 -й способ – самостоятельно.

48 Логические основы компьютеров 3. 6 Предикаты и кванторы К. Поляков, 2007 -2012 48 Логические основы компьютеров 3. 6 Предикаты и кванторы К. Поляков, 2007 -2012

Логические основы компьютеров Предикаты Предикат (логическая функция) – это утверждение, содержащее переменные. Предикат-свойство – Логические основы компьютеров Предикаты Предикат (логическая функция) – это утверждение, содержащее переменные. Предикат-свойство – от одной переменной: P(N) = «В городе N живут более 2 млн человек» P(Москва) = 1 P(Якутск) = 0 Простое(x) = «x – простое число» Спит(x) = «x всегда спит на уроке» Предикат-отношение – от нескольких переменных: Больше(x, y) = «x > y» Живет(x, y) = «x живет в городе y» Любит(x, y) = «x любит y» К. Поляков, 2007 -2012 49

50 Логические основы компьютеров Предикаты и кванторы Предикаты задают множества: Предикаты, которые всегда истинны: 50 Логические основы компьютеров Предикаты и кванторы Предикаты задают множества: Предикаты, которые всегда истинны: для всех вещественных чисел «Для любого допустимого x утверждение P(x) истинно» : высказывание квантор Квантор – знак, обозначающий количество. А К. Поляков, 2007 -2012 (all – все) E (exists – существует)

Логические основы компьютеров Кванторы Какой квантор использовать? « … моря соленые» . « … Логические основы компьютеров Кванторы Какой квантор использовать? « … моря соленые» . « … кошки серые» . « … числа чётные» . « … окуни – рыбы» . « … прямоугольники – квадраты» . « … квадраты – прямоугольники» . Истинно ли высказывание? при при К. Поляков, 2007 -2012 51

52 Логические основы компьютеров Кванторы Дано: A = «Все люди смертны» = 1. B 52 Логические основы компьютеров Кванторы Дано: A = «Все люди смертны» = 1. B = «Сократ – человек» = 1. Доказать: C = «Сократ смертен» = 1. Доказательство: A 0 0 1 B 0 1 0 А B 1 1 0 1 1 1 P(x) = «x – человек» Q(x) = «x – смертен» A = 1: Сократ при «x =Сократ» B = 1: Сократ по свойствам импликации Сократ К. Поляков, 2007 -2012

Логические основы компьютеров Несколько кванторов Квантор связывает одну переменную: – предикат от переменной y Логические основы компьютеров Несколько кванторов Квантор связывает одну переменную: – предикат от переменной y – предикат от переменной x Два квантора связывают две переменных: – высказывание «для любого x существует y, при котором P(x, y)=1» – высказывание «существует x, такой что при любом y верно P(x, y)=1» Сравните два последних высказывания при: К. Поляков, 2007 -2012 53

Логические основы компьютеров Отрицание НЕ «для любого x выполняется P(x)» «существует x, при котором Логические основы компьютеров Отрицание НЕ «для любого x выполняется P(x)» «существует x, при котором не выполняется P(x)» НЕ «существует x, при котором выполняется P(x)» «для любого x не выполняется P(x)» К. Поляков, 2007 -2012 54

55 Логические основы компьютеров 3. 7 Логические элементы компьютера К. Поляков, 2007 -2012 55 Логические основы компьютеров 3. 7 Логические элементы компьютера К. Поляков, 2007 -2012

56 Логические основы компьютеров Логические элементы компьютера значок инверсии 1 & НЕ И & 56 Логические основы компьютеров Логические элементы компьютера значок инверсии 1 & НЕ И & И-НЕ К. Поляков, 2007 -2012 ИЛИ 1 ИЛИ-НЕ

57 Логические основы компьютеров Логические элементы компьютера Любое логическое выражение можно реализовать на элементах 57 Логические основы компьютеров Логические элементы компьютера Любое логическое выражение можно реализовать на элементах И-НЕ или ИЛИ-НЕ. И: НЕ: & ИЛИ: & & & К. Поляков, 2007 -2012

58 Логические основы компьютеров Составление схем последняя операция - ИЛИ И & & К. 58 Логические основы компьютеров Составление схем последняя операция - ИЛИ И & & К. Поляков, 2007 -2012 1 &

59 Логические основы компьютеров Триггер (англ. trigger – защёлка) Триггер – это логическая схема, 59 Логические основы компьютеров Триггер (англ. trigger – защёлка) Триггер – это логическая схема, способная хранить 1 бит информации (1 или 0). Строится на 2 -х элементах ИЛИ-НЕ или на 2 -х элементах И-НЕ. set, установка вспомогательный выход 1 S R Q режим 0 0 обратные связи 1 основной выход reset, сброс К. Поляков, 2007 -2012 хранение 0 1 сброс 1 0 1 1 1 0 0 0 установка 1 запрещен

60 Логические основы компьютеров Полусумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных 60 Логические основы компьютеров Полусумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных числа. P S 0 0 0 1 1 перенос B 1 Σ A сумма 1 1 0 & 1 & & К. Поляков, 2007 -2012 ? Схема на 4 -х элементах?

61 Логические основы компьютеров Сумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных 61 Логические основы компьютеров Сумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных числа с переносом из предыдущего разряда. A 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 К. Поляков, 2007 -2012 S 1 перенос P 1 перенос сумма C 0 Σ B 1 1

62 Логические основы компьютеров Многоразрядный сумматор это логическая схема, способная складывать два n-разрядных двоичных 62 Логические основы компьютеров Многоразрядный сумматор это логическая схема, способная складывать два n-разрядных двоичных числа. перенос Σ Σ Σ перенос К. Поляков, 2007 -2012

63 Логические основы компьютеров 3. 8 Логические задачи К. Поляков, 2007 -2012 63 Логические основы компьютеров 3. 8 Логические задачи К. Поляков, 2007 -2012

64 Логические основы компьютеров Метод рассуждений Задача 1. Министры иностранных дел России, США и 64 Логические основы компьютеров Метод рассуждений Задача 1. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты договора, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: «Чей именно проект был принят? » , министры дали такие ответы: Россия — «Проект не наш (1), проект не США (2)» ; США — «Проект не России (1), проект Китая (2)» ; Китай — «Проект не наш (1), проект России (2)» . Один из них оба раза говорил правду; второй – оба раза говорил неправду, третий один раз сказал правду, а другой раз — неправду. Кто что сказал? проект США (? ) проект Китая (? ) (1) (2) проект России (? ) (1) (2) Россия + – Россия + + Россия – + США + – США + + США – Китай + – + Китай К. Поляков, 2007 -2012 Китай

65 Логические основы компьютеров Табличный метод Задача 2. Дочерей Василия Лоханкина зовут Даша, Анфиса 65 Логические основы компьютеров Табличный метод Задача 2. Дочерей Василия Лоханкина зовут Даша, Анфиса и Лариса. У них разные профессии и они живут в разных городах: одна в Ростове, вторая – в Париже и третья – в Москве. Известно, что • Даша живет не в Париже, а Лариса – не в Ростове, • парижанка – не актриса, • Много вариантов. • в Ростове живет певица, • Есть точные данные. • Лариса – не балерина. Париж Ростов Москва 0 1 0 0 1 ! Певица Даша Анфиса Лариса 1 0 0 Балерина Актриса 0 1 0 0 0 1 В каждой строке и в каждом столбце может быть только одна единица! К. Поляков, 2007 -2012

Логические основы компьютеров Использование алгебры логики Задача 3. Следующие два высказывания истинны: 1. Неверно, Логические основы компьютеров Использование алгебры логики Задача 3. Следующие два высказывания истинны: 1. Неверно, что если корабль A вышел в море, то корабль C – нет. 2. В море вышел корабль B или корабль C, но не оба вместе. Определить, какие корабли вышли в море. Решение: … если корабль A вышел в море, то корабль C – нет. 1. Неверно, что если корабль A вышел в море, то корабль C – нет. 2. В море вышел корабль B или корабль C, но не оба вместе. К. Поляков, 2007 -2012 66

67 Логические основы компьютеров Использование алгебры логики Задача 4. Когда сломался компьютер, его хозяин 67 Логические основы компьютеров Использование алгебры логики Задача 4. Когда сломался компьютер, его хозяин сказал «Память не могла выйти из строя» . Его сын предположил, что сгорел процессор, а винчестер исправен. Мастер по ремонту сказал, что с процессором все в порядке, а память неисправна. В результате оказалось, что двое из них сказали все верно, а третий – все неверно. Что же сломалось? Решение: A – неисправен процессор, B – память, C – винчестер хозяин: Если ошибся сын: Если ошибся мастер: К. Поляков, 2007 -2012 сын: мастер:

Логические основы компьютеров Использование алгебры логики Задача 5. На вопрос «Кто из твоих учеников Логические основы компьютеров Использование алгебры логики Задача 5. На вопрос «Кто из твоих учеников изучал логику? » учитель ответил: «Если логику изучал Андрей, то изучал и Борис. Однако неверно, что если изучал Семен, то изучал и Борис» . Кто же изучал логику? Решение: A – логику изучал Андрей, B – Борис, C – Семен «Если логику изучал Андрей, то изучал и Борис» . «Неверно, что если изучал Семен, то изучал и Борис» . 1 способ: К. Поляков, 2007 -2012 68

69 Логические основы компьютеров Использование алгебры логики Задача 5. На вопрос «Кто из твоих 69 Логические основы компьютеров Использование алгебры логики Задача 5. На вопрос «Кто из твоих учеников изучал логику? » учитель ответил: «Если логику изучал Андрей, то изучал и Борис. Однако неверно, что если изучал Семен, то изучал и Борис» . Кто же изучал логику? Решение: A – логику изучал Андрей, B – Борис, C – Семен «Неверно, что если изучал Семен, то изучал и Борис» . «Если логику изучал Андрей, то изучал и Борис» . 2 способ: С С B A B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 К. Поляков, 2007 -2012 B 1 1 1

70 Логические основы компьютеров Использование алгебры логики Задача 6. Суд присяжных пришел к таким 70 Логические основы компьютеров Использование алгебры логики Задача 6. Суд присяжных пришел к таким выводам: • если Аськин не виновен или Баськин виновен, то виновен Сенькин • если Аськин не виновен, то Сенькин не виновен Виновен ли Аськин? Решение: A – виновен Аськин, B – Баськин, C – Сенькин «Если Аськин не виновен или Баськин виновен, то виновен Сенькин» . «Если Аськин не виновен, то Сенькин не виновен» . Аськин виновен К. Поляков, 2007 -2012

71 Логические основы компьютеров Использование алгебры логики Задача 6 б. Суд присяжных пришел к 71 Логические основы компьютеров Использование алгебры логики Задача 6 б. Суд присяжных пришел к таким выводам: • если Аськин не виновен или Баськин виновен, то виновен Сенькин • если Аськин не виновен, то Сенькин не виновен Виновен ли Баськин? Решение: A – виновен Аськин, B – Баськин, C – Сенькин Не получили противоречия: возможно, что и виновен К. Поляков, 2007 -2012

72 Логические основы компьютеров Использование алгебры логики Задача 6 в. Суд присяжных пришел к 72 Логические основы компьютеров Использование алгебры логики Задача 6 в. Суд присяжных пришел к таким выводам: • если Аськин не виновен или Баськин виновен, то виновен Сенькин • если Аськин не виновен, то Сенькин не виновен Виновен ли Сенькин? Решение: A – виновен Аськин, B – Баськин, C – Сенькин Не получили противоречия: возможно, что и виновен К. Поляков, 2007 -2012

73 Логические основы компьютеров Задачи ЕГЭ К. Поляков, 2007 -2012 73 Логические основы компьютеров Задачи ЕГЭ К. Поляков, 2007 -2012

Логические основы компьютеров Задачи ЕГЭ Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬((X Логические основы компьютеров Задачи ЕГЭ Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬((X > 2)→(X > 3))? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению A ¬(¬B C). 1) 1) ¬A ¬B ¬C 2) 2) A ¬B ¬C 3) 3) A B ¬C 4) 4) A ¬B C К. Поляков, 2007 -2012 74

75 Логические основы компьютеров Задачи ЕГЭ (2) Каково наибольшее целое число X, при котором 75 Логические основы компьютеров Задачи ЕГЭ (2) Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание (50 < X·X) → (50 > (X+1)·(X+1)) В целых числах: К. Поляков, 2007 -2012 A B

76 Логические основы компьютеров Задачи ЕГЭ (6) Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие 76 Логические основы компьютеров Задачи ЕГЭ (6) Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров: А) Макс победит, Билл – второй; В) Билл – третий, Ник – первый; С) Макс – последний, а первый – Джон. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс? (В ответе перечислите подряд без A B C пробелов места участников в указанном порядке имен. ) Джон 1 Ник 1 Билл 2 3 Ответ: 3124 К. Поляков, 2007 -2012 Макс 1 4

Логические основы компьютеров Задачи ЕГЭ (7) На одной улице стоят в ряд 4 дома, Логические основы компьютеров Задачи ЕГЭ (7) На одной улице стоят в ряд 4 дома, в каждом из них живет по одному человеку. Их зовут Василий, Семен, Геннадий и Иван. Известно, что все они имеют разные профессии: скрипач, столяр, охотник и врач. Известно, что (1) Столяр живет правее охотника. (2) Врач живет левее охотника. (3) Скрипач живет с краю. (4) Скрипач живет рядом с врачом. (5) Семен не скрипач и не живет рядом со скрипачом. (6) Иван живет рядом с охотником. (7) Василий живет правее врача. (8) Василий живет через дом от Ивана. Определите, кто где живет, и запишите начальные буквы имен жильцов всех домов слева направо. Например, если бы в домах жили (слева направо) Кирилл, Олег, Мефодий и Пафнутий, ответ был бы КОМП. К. Поляков, 2007 -2012 77

Логические основы компьютеров Задача Эйнштейна Условие: Есть 5 домов разного цвета, стоящие в ряд. Логические основы компьютеров Задача Эйнштейна Условие: Есть 5 домов разного цвета, стоящие в ряд. В каждом доме живет по одному человеку отличной от другого национальности. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит животное. Никто из пяти человек не пьет одинаковые напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковых животных. Известно, что: 1. Англичанин живет в красном доме. 2. Швед держит собаку. 3. Датчанин пьет чай. 4. Зеленой дом стоит слева от белого. 5. Жилец зеленого дома пьет кофе. 6. Человек, который курит Pallmall, держит птицу. 7. Жилец среднего дома пьет молоко. 8. Жилец из желтого дома курит Dunhill. 9. Норвежец живет в первом доме. 10. Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку. 11. Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill. 12. Курильщик Winfield пьет пиво. 13. Норвежец живет около голубого дома. 14. Немец курит Rothmans. 15. Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду. Вопрос: У кого живет рыба? К. Поляков, 2007 -2012 78

Логические основы компьютеров Конец фильма ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич д. т. н. , учитель информатики Логические основы компьютеров Конец фильма ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич д. т. н. , учитель информатики высшей категории, ГОУ СОШ № 163, г. Санкт-Петербург [email protected] ru К. Поляков, 2007 -2012 79