1 Лекция 2 Механические свойства твердых тел (ТТ).

1 Лекция 2 Механические свойства твердых тел (ТТ). Деформации Замечание: при описании движения тела обычно предполагается, что размеры и форма тела при движении неизменны, т. е. тело является абсолютно твердым (АТТ). Расстояния между двумя любыми точками АТТ постоянны

2 Связь с последующей деятельностью Изучение курса «Биофизика» : 1. Гемодинамика 2. Биофизика дыхания 3. Биофизика слуха Практическое применение: 1. Хирургия и травматология. 2. Лечебная физкультура 3. Физиотерапия.

3 Главные свойства твердых тел Постоянство размеров и формы Кристаллические (ближний и дальний порядок) Аморфные (переохлажденные жидкости) Высокая температура – жидкость или высокоэластичное состояние Низкая температура – твердое тело. Отсутствие порядка

4 Анизотропия свойств: 1 d 2 d Различные расстояния между атомными плоскостями → различные свойства в различных направлениях z x x zn n Поликристаллические тела Существует ближний порядок внутри микрокристалла, отсутствует дальний порядок: Изотропия свойств: x y z n n n

5 Способность ТТ сохранять размеры и форму обусловлена значительными силами взаимодействия (притяжения и отталкивания) между атомами ТТ, находящимися на малом расстоянии друг от друга, и макроскопически определяется упругими свойствами ТТ Упругие свойства проявляются при внешнем воздействии на ТТ Меры воздействия (причины проявления упругих свойств) : силы, вращающие и крутящие моменты сил нагрузки

6 P CF r – сила, действующая вдоль оси стержня (деформация растяжения — сжатия) ИЗF r – сила, создающая изгибающий момент. Зависит от точки приложения силы (деформация изгиба и сдвига) KPF r – сила, создающая крутящий момент. Зависит от точки приложения силы (деформация кручения)

7 Следствиями воздействий являются деформации – изменение размеров и формы ТТ Растяжение – сжатие: P CF r Изгиб: ИЗF r Сдвиг: СДF r Кручение: KPF r

8 Упругие (обратимые) деформации: Реальное ТТ с упругопластическими свойствамипосле снятия нагрузки ТТ восстанавливает свои форму и размеры Кристаллические и поликристаллические тела при малых деформациях Пластические (необратимые) деформации: после снятия нагрузки ТТ частично восстанавливает свои форму и размеры Кристаллические ТТ при больших деформациях аморфные тела, полимеры+ ||

9 Деформация растяжения – сжатия: 0 l l. S F r Закон Гука: F k l σ F S – мех. напряжение в сечении цилиндра Закон Гука для малых упругих деформаций: 0ε l l – относительная деформация σ ε E причина свойствоследствиеk – коэффициент упругости Упругие деформации: 2 3. . . E A B Для ТТ в целом : Δ l – абсолютная деформация цилиндра Для вещества ТТ : Аналогия:

10 l l Метод анализа размерностей: размерность искомой величины определяется соотношением размерностей величин, входящих в определение искомой величины 2 σ FН Па Sм σ εE – модуль Юнга численно равен механическому напряжению в сечении тела при единичной относительной деформации σ ε Па E Па

11εσ σ пропσ упрσ тσ проч Зависимость σ = f ( ε ) для ТТ: Р а з р у ш е н и е σ проп – предел пропорциональности (граница действия закона Гука) σ упр – предел упругости (граница упругих деформаций) σ т – предел текучести: зона неопределенности зависимости σ = f ( ε ) , характерная для пластических деформаций σ проч – предел прочности материала ТТ

12 Полимеры (элементы костной ткани, мышцы, сухожилия): Нет воздействия: Горизонтальная сила: Снятие нагрузки: Каучукоподобная эластичность или ползучесть Свойство ползучести определяет время деформации и время восстановления исходных размера и формы Почти то же самое, но не то, что в начале Вязкоупругие деформационные свойства ТТ

13 Биологические ткани (условные ТТ) Кристаллическая структура + полимеры Механические свойства = = упругие + вязкие свойства = = вязкоупругие свойства Задача: математически (универсально) описать свойства биологических тканей, используя простые физические модели упругого и вязкого ТТ

14 Упругие свойства моделируются упругой пружиной (мгновенный ответ на воздействие) Вязкие свойства моделируются поршнем, движущимся в цилиндре с вязкой жидкостью х. COΠPv dx F r r dt σ η ε ε σ η B B d dt σ ε y y

15ε у и ε В – упругая и вязкая относительные деформации (в дальнейшем – просто деформации) σ у и σ В – напряжения упругой и вязкой деформаций r – коэффициент сопротивления вязкой среды η – коэффициент динамической вязкости среды (см. Лекция 3)

16 Простейшая комбинация, реализующая вязкоупругие свойства: последовательная модель Пружина мгновенно растягивается и закрепляется: Начинается деформация вязкого элемента:

17 Скорость суммарной деформации: ε ε ε y B Суммарная деформация при последовательном соединении элементов: ε ε ε y Bd d d dt dt dt Напряжения упругой и вязкой деформаций при последовательном соединении равны: σ σ σy Bconst

18σ ε y E ε 1 σ yd d dt E dt ε σ η Bd dt ε 1 σ σ ηd d dt E dt Упругая: Вязкая: Скорость суммарной деформации: σ = const → = 0 σ ε ηd dt 0 0 σ ε ηt d dt σ ε η t ε t

19ε = const → ε 1 σ σ ηd d dt E dt = 0 σ σ η d E dt 0 0σ σ η t d E dt η 0σ σ E t e Пружина закреплена: Разделяем переменные и «кучкуем» постоянные: 1 σ σ ηd E dt σ – напряжение в элементах в начальный момент времени (мгновенная деформация и закрепление пружины) σ tσ

20 Параллельная модель: σ σ σy Bconst ε ε =εy B ε σ ε η d E dt ε η σ εdt d E Разделение переменных: Суммарное напряжение: 0 0 ε η σ ε t dt d E 1 σ ε ln η σ t E E ε ln 1 η σ t E E η ε 1 σE t E e η σ ε 1 E te E F const

21ε 0ε η d E dt ε 0η ε d Edt ε η εE d dt После снятия нагрузки F в момент времени t 0 при ε = ε max : σ 0 Пружина начинает сжиматься, перемещая поршень: 0 max ε η ε t t. E d dt 0 max ε ( ) lnε ln η ε E t t 0 ) ( η maxε ε E t t e

22ε tt 0σ = const σ = 0ε max 0( ) η maxε ε E t t e ησ ε 1 E t e E 0 η maxσ ε 1 E te

23 Реальная костная ткань ε t t 0σ = const σ = 0ε max 0 1 0 – 1: быстрая деформация 2 1 – 2: прямая ползучесть 3 2 – 3: быстрое сокращение 43 – 4: обратная ползучесть

24 Смешанная модель У 1 В 1 У

25 Смешанная модель: ε t t 0σ = const σ = 0ε max 01 0 – 1: быстрая деформация У 2 2 1 – 2: прямая ползучесть В 1 и У 1 3 2 – 3: быстрое сокращение У 2 43 – 4: обратная ползучесть В 1 и У

26 Общие выводы: 3. Реальные твердые тела одновременно обладают и упругими и вязкими свойствами 2. Под внешними воздействиями твердые тела деформируются 1. Твердые тела в отсутствие внешних воздействий сохраняют форму и объем

274. Вязкоупругие свойства моделируются различными сочетаниями упругих и вязких элементов 5. Моделирование механических свойств тел используется в реологии: σ = f ( ε ); σ = f ( t ); ε = f ( t )